第二章 第6节 对数与对数函数（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

高考总复习数学(BS) 第6节对数与对数函数 ★[课程标准] 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过具体实例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出对数函数的图象，探索并了解对数函 数的单调性与特殊点， 3.知道对数函数y=log.x与指数函数y=a'互为反函数(a>0,且a≠1). 复盘>必备知识 学生用书P34 打通教材强基固本 必备知识掌握 (2)对数函数的图象与性质 1.对数的概念 底数 a>1 0<a<1 (1)对数的定义：一般地，如果a(a>0,且a≠1)的b 次幂等于N,即a=N,那么数b称为以a为底N 的对数，记作logN=b,其中a叫作对数的底数， 倒 x=1 y=log.x N叫作真数， (10) 录 (2)对数与指数的关系：给定底数后，对数运算是指数 07(1,0) y=log x 运算的逆运算，即a=N台b=log。N, (3)两种常见对数 定义域：(0，十∞) 对数形式 特点 记法 值域：R 常用对数 底数为10 Ig N 自然对数 底数为e In N 当x=1时，y=0,即过定点(1,0) 2.对数的性质、换底公式与运算性质 性质 (1)对数的性质：①loga1=0;②1oga=1;③ae,N= 当x>1时，y>0; 当x>1时，y<0; N;④loga=b(a>0,且a≠1). 当0<x<1时，y≤0 当0<x<1时，y>0 (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0,N>0,b>0,那么 在(0，十∞)上 在(0，+∞)上 ①log。(MN)=logM+log N; 是增函数 是减函数 M ②log.N-logM-log,V: 4.反函数 ③log,M=blog M(n∈R). (3)对数的重要公式 习惯上，对数函数表示为y=logx(a>0,且a≠1)， ①换底公式：一般地，若a>0,b>0,c>0,且a≠1， 指数函数表示为y=a(a>0,且a≠1).指数函数 c≠1，则1ogb= logb y=a是对数函数y=logx的反函数，对数函数 oga y=logx也是指数函数y=a的反函数.即它们互 ②logb= 1 logia ,推广logb·logc·logd 为反函数，它们的图象关于直线y=x对称， =logd. …重要结论· 3.对数函数及其性质 对数函数的图象与底数大小的比较 (1)概念：给定正数a,且a≠1，指数函数y=-a是定 如图，作直线y=1,则该直 log x 义在R上，值域为(0，十∞)的单调函数，所以对于 线与四个函数图象交点的 每一个正数y,都存在唯一确定的实数x,使得y =a.由函数的定义，x就是y的函数，称为以a 横坐标为相应的底数， 为底的对数函数，记作x=1ogy.习惯上，将自变 故0<c<d<1<a<b.由 量写成x,函数值写成y,因此，一般将对数函数写 此我们可得到以下规律：在 成y=logx(a>0,且a≠1)，其中a称为底数. 第一象限内从左到右底数逐渐增大 ·52. 主题二第二章函数 自主诊断查验 解析：C[以(=为中间重，构造增函数y ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 1og,r和y=1bg:x,lg:2<log5=是=log22 打“√”，错误的打“X”. <1ogs3.] (1)函数y=log2(x十1)是对数函数. ( ) 3.若函数y=f(.x)是函数y=a(a>0,且a≠1)的反 (2)logzx2=21og2x. 函数，且f(2)=1,则f(x)= (3)当x>1时，logar>0. ( (4)对数函数y=log.x(a>0且a≠1)的图象过定点 A.logzx 1,0.且过点(a1…(合-小雨数图象只在第 C.logo. D.2r- 解析：A[由题意知f(x)=logx(a>0,且a≠1). 一、四象限. ( f(2)=1,.log2=1..a=2..f(x)=log2x.] 6)函数y=ln声与y=ln1+)-ln1-x)的 4.(BSD必修第一册P3练习T22,改编)函数y= 定义域相同. 1。的定义域为 l10g71-3.x 答案：(1)× (2)×(3)×(4)/(5)/ ◆[小题查验] 答案：{<} 1.(BSD必修第一册Po1练习TxD改编)计算：21g√5 5.(忽视定义域的限制致误)已知y=-log.(2-a.x)在 [0,1]上是减函数，则a的取值范围是 -lg4安= ( ) 解析：，y=log(2-a.x)是由y=logu,u=2-ax A.10 B.1 复合而成，又a>0, C.2 D.1g 5 .u=2-ax在[0,1]上是减函数， 解析：B[原式=1g(√5)2+1g√4=1g5+lg2 由复合函数关系知y=log4应为增函数，.a>1, =lg10=1.] 又由于x在[0,1]上时y=log(2-ax)有意义， 2.已知a=1og:2,b=lg,36=合则下列判断正确 u=2一ax又是减函数， x=1时，u=2-a.x取最小值是4min=2-a>0 的是 ( ) 即可，∴a<2, A.c<b<a B.b<a<c 综上可知，所求a的取值范围是(1,2). C.a<c<b D.a<b<c 答案：(1,2) 跃升>关键能力 学生用书P35 题型突破素养提升 题型1 对数的基本运算 解析：B [因为1og312=x,log412=y,所以x= 1og1212 log1212 1 1.(多选)已知a,b均为正实数，若logb十loga= 5 29 10g123 10g123y= l0g124 10g21所以1 a=b6,则4可以是 10g123,1 =lo81,周此，+1ogr3+lo84 y b =1og12(3×4)=1.] A.2 R号 C.2 D.2 3.已知9=4=6，则x+) 解析：AD[令t=logb,则t+1=5 t-2 A.25 B.16 C.9 D.4 .2t2-5t+2=0,(2t-1)(t-2)=0, 解析：B[,9=4=√6，.x=log9√6=log26 ∴1=号减1=2.lgb=号或10gb=2. .a=b或a2=b. :a=b,代入得2b=a=b2或b=2a=a2, y=log-log6og:6. 4 1 4 6=2a=4或a=2.6=4,∴号=2支号=合J =41og63, 'y-1og26 =41og62, 2.若1og12=x,log12=y,则1+1- ..(ty) x y -位+ A.-1 B.1 C.3 D.4 =(410g63+41og62)2=(41og66)2=16.] ·53 高考总复习数学(BS) 4.√0g3)-lg9+11gV27+1g8-1g1000 1g0.3·1g1.2 要使r(0,）时，不等式x<gr恒成立， 解析：原式 只需f,)=在(0，)上的象在f) g3-2g3+2g3+8g2- logx图象的下方即可.当a>1时，显然不成立； 2 当0<a<1时，如图所示，要使 ↑yx)=2 (1g3-1)·(lg3+21g2-1) (1-lg3)· 2(g3+21g2-1） <10ogx在x(0,号)上成 011 3 (1g3-1)·(1g3+21g2-1)= 2 立，f(侣》()月 2f(x)=logx 答案：一是 所以有（合》）≤g合解得a≥a<1. 1 题后反思 对数运算的一般思路 即实数a的取值范因是[信月 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化 成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正 答案信 用对数运算性质化简合并. (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算， [子题2] 将母题变为：当0<x≤时，<1ogx, 然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真 则实数a的取值范围是 数的积、商、幂的运算 解析：若√G<logx在x∈ 题型2 对数函数的图象及应用 （0,]成主，则0<a<1,且y [母题] 当0<≤号时，<ogc,则a的取值范围是 √（的图象在y=logx图象的下 01 方，如图所示， y=log x C.(1,√2) D.(2,2) 0<a<1, :[破题关键点]方法一：构造函数f(x)=4和 a>1,解得6<a<1. g(x)=logx,利用这两个函数图象的上下位置关 4 系，求出α的取值范围；方法二：采用排除法 即实数a的取值范围是 [解析]法一：构造函数f(x)= 4'和g(x)=logx,当a>1时不 答案(6 满足条件，当0<a<1时，画出两f( [子题3] 将母题变为：已知函数f(x)= 个函数在(0，]上的因象，可 (og2x,x>0, 3,x≤0， 且关于x的方程f(x)十x-a=0有 如，大合 g(x) 且只有一个实根，则实数a的取值范围是 即2<1og，a>号，所以a的取值范国 解析：如图，在同一坐标 系中分别作出y=f(x) 与y=一x十a的图象，其 中a表示直线在y轴上 法二：0<x≤21K4≤2，logx>4>1, 的截距，由图可知，当a> 0<a1,裤除道项C,D取a=号=号 1时，直线y=一x十a与 y=f(x)只有一个交点. 1 则有4在=2，og号2=1，显然4<1ogx不成立，排 答案：(1，+∞) 规律总结 除选项A 应用对数型函数的图象可求解的问题 [答案]B [子题1]将母题变为：若不等式x2-log,x<0对x∈ (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对 数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域 (（0,号)恒成立，则实数a的取值范围是 (最值)、零点时，常利用数形结合思想 解析：由x2-logx<0,得x2<logx, (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的 f()=2,f2()=logax, 函数图象问题，利用数形结合法求解. 54 主题二第二章函数 题型3 对数函数的性质及应用 ①当0<a<1时，因为y=log1为减函数，且函数 》[命题点1]比较对数值的大小 )=1ogar-(2a+3)r+6在区同[径上 1.己知a=1og315,b=1og420,2=1.9,则 ( A.a>c>b B.c>a>b 单洞递增，所以1=(x-2)ax-3)川在[径4 C.b>a>c D.a>b>c 单调递减，结合t=|(x一2)(a.x-3)的图象可得 解析：D[a=log15=log(3×5)=1+1og35>1, b=1og420=1og4(4×5)=1+1og45>1,c=-1og21.9 2+3 <1,因为1og,5=g5>g5=10g,5,所以a>b 2 1g31g4 >c.] 34 2.设a-log49,b=log25,c=31-b8,4,则a,b,c的大小 ②当a>1时，因为y=logt为增函数，且函数 关系为 A.b>a>c B.b>c>a f)=1og,lar-(2a+3)r+6在区同[24]上 C.a>b>c D.c>b>a 解析：A[因为函数y=1og2x在定义域上单调 单羽递增，所以4=(x-2)ax-3)在[子4上 递增， b=10g25>>10823=10g 9=a>>log2 2=1, 单调递增，又因为此时3<3，结合t=(x-2)(a.x 又因为C=3网4=3g31=3%子-3<1，所以 一3)的图象可知此时符合题意. 4 b>a>1>c.] 综上所述，实数。的取值范因为子≤a< 4 [命题点2]解简单的对数不等式 或a>1.] 设函数f)=lI+z主则使得f(x)》 >[命题点4]利用对数函数的性质求参数 5.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=(x十a)ln(x十b).若 f(2x一1)成立的x的取值范围是 ( f(x)≥0.则a2十b2的最小值为 A.日 c D.1 B（∞ 1 J(1,+∞) 解析：C[当x<-a时x十a<0,当x>-a时x c(-) +a>0,当x<1-b时1n(x+b)<0, 当x>1-b时1n(x十b)>0,所以要f(x)恒非负， D.- u(合+） 必须-a=1-b,即b-a=1, 解析：A [定义在R上的函数f(x)满足f(一x) 所以。+6=a-告a》≥， 2 =f(x),所以f(x)为偶函数， 当x>0时，f(x)=ln(1十x)- 1十为增函数， 当且仅当a= 日6-时取等号门 规律总结 由f(x)>f(2x一1)结合偶函数图象的对称性可知 |x>|2x-1|, 对数函数性质及应用中应注意的问题 两边平方并化简得(x-1)(3x一1)<0，解得< (1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对 3 数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找 <1.所以不等式f(x)>f(2x-1)的解集 中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再 为（合1门 比较. (2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算性 ●[命题点3]与对数有关的复合函数问题 质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单 4.已知函数f(x)=loga.x2-(2a十3)x十6|在区间 ?上单海遥瑞，则实数口的取值范周为《 调性转化为一般不等式求解. (3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复 A 合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面 <a<1 的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域 C号<a<或a>1Dg<a<1或a>1 内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函 数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而 解析：C[函数y=f(x)是由y=logt与t=(x 成的： -2)(ax-3)|复合而成， ·55·