第二章 第4节 幂函数与二次函数-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

主题二第二章函 数 题型4 函数的周期性与对称性 [例7]已知函数f(x)满足f(x+3)=f(1一x)+ 9f(2)对任意x∈R恒成立，又函数f(x+9)的 图象关于点(-9,0)对称，且f(1)=2025,则 f(53)= () A.函数g(x)=f(x)-2√2在[-3,9]上有两个零点 A.2024 B.-2024 B.函数y=f(x)是偶函数 C.2025 D.-2025 C.函数y=f(x)在[一8，-6]上单调递增 [例8]已知函数f(x)、g(x)的定义域均为R,函 数f(2x一1)+1的图象关于原点对称，函数g(x D对任意的xR都有十)= f(x) +1)的图象关于y轴对称，f(x十2)十g(x+1) [例10]（多选）已知定义在R上的函数f(x)满 =一1，f(-4)=0,则f(2030)-g(2017)= 足f(x)=-f(4-x),且f(x+1)=f(1-x),则 ( () A.-4 B.-3 C.3 D.4 A.f(x)为奇函数 方法指导 B.f(x)的图象关于x=2对称 周期性与对称性的综合解题，尤其要注意对称性与 C.f(x+2)为偶函数 周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中 D.f(x)是周期为4的函数 心)之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距 离的4倍 方法指导 函数的奇偶性、对称性、周期性与单调性是函数 题型5 函数的奇偶性、对称性、周期性与 的四大性质，在高考中常常将它们综合到一起命 单调性的综合 题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性 [例9]（多选)在平面直角坐标系xOy中，如图放 和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区 置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无 间的转化，再利用单调性解决相关问题。 滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点 B(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则对函数y= ©温馨提今 f(x)的判断正确的是 ( 学习至此，请完成配套训练 课时冲关9 第4节 幂函数与二次函数 ★[课程标准] 1.通过具体事例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、 最值等) 复盘>必备知识 打通教材强基固本 必备知识掌握 续表 1.幂函数 函数 y=x (1)幂函数的定义 y=r2 y=r3 y=ri y=x-1 一般地，形如y=x“(α为常数)的函数，即底数 值域 [0,十∞) 是自变量，指数是常数的函数称为幂函数. (2)常见的5种幂函数的图象 奇偶性 偶 非奇非偶 奇 在R 上单 单调性 调递 (3)常见的5种幂函数的性质 增 函数 y=I y=r y=x3 y=rt y=x-1 定义域 xx≠0 公共点 R R 27 高考总复习数学(BS) 2.二次函数 自主诊断查验 (1)二次函数解析式的三种形式 ◆[思考辨析] 一般式：f(x) 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)，顶点坐标 里打“√”，错误的打“×” 为 (1)函数y=2x是幂函数 ) 零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，x1, (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一 x2为f(x)的零点. 定是原点 ( (2)二次函数的图象和性质 (3)当n<0时，幂函数y=x”是定义域上的减 函数. ( ) f(x)=a.x2+ f(x)=a.x2+ 解析式 (4)二次函数y=a.x2+bx+十c(a>0),x∈[m,n] bx+c(a>0) bx+c(a<0) 的辰小值一定是如。 (5)关于x的不等式ax2+bx十c>0恒成立的充 图象 要条件是0>0， b2-4ac<0. ◆[小题查验] 定义域 (-0∞，十∞) (-0∞，十∞) 1.若幂函数的图象经过点 〔2，)则它的单调递增 区间是 ) 值域 A.(0,+∞) B.[0,+o∞) C.(-∞，十∞) D.(-∞，0) 2.下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应 -0，一]上单 在 的是 上单调递增； 单调性 调递减； 在 上单 在[一会+ 调递增 上单调递减 A.①y=x,②y=x2,③y=x,④y=x B.①y=x3,②y=x2,③y=x,④y=x-1 对称性 函数的图象关于x=一 对称 C.①y=x2,②y=x3,③y=x立，④y=x1 ·重要结论· D.①y=x,②y=x,③y=x2,④y=x1 1.幂函数y=x(a∈R)在第一象限内图象的画 3.已知函数f(x)=az2+x+5的图象在x轴上 法如下 方，则a的取值范围是 1 ①当α<0时，其图象可类似y=x一1画出； A.（0,20 B. ②当0<a<1时，其图象可类似y=xz画出； ③当a>1时，其图象可类似y=x2画出， 4.在函数f(x)=a.x2+bx+c中，若a,b,c成等比 2.关于x的一元二次不等式恒成立的条件 数列且f(0)=一4，则f(x)有最 值（填 (1)“a.x2+bx十c>0(a≠0)在R上恒成立”的充 “大”或“小”)，且该值为 要条件是“a>0,且△<0”. 5.(判定图象的位置致误)设二次函数f(x)=x2一 (2)“ax2+bx+c<0(a≠0)在R上恒成立”的充 x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1)0(填 要条件是“a<0,且△<0”， “>”“<”或“=”). ·28… 主题二第二章函 数 跃升>关键能力 题型突破素养提升 题型1 幂函数的图象与性质 3.幂函数的性质 (1)若a为偶数，则暴函数y=x“(α∈R)是偶函 1.已知幂函数y=x(p,g∈Z 数；若a为奇数，则幂函数y=x(a∈R)是奇 且p,q互质)的图象关于y 函数.反之，不成立.当α是分数时，一般将其 轴对称，如图所示，则( 先化为根式，再判断奇偶性。 (2)若幂函数y=x“在(0，十∞)上单调递增，则 A.p,g均为奇数，且>0 9 a>0;若在(0，十o∞)上单调递减，则a<0. 4.幂值大小的比较 B.9为偶数，p为奇数，且卫<0 结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单 调性进行比较 C.9为奇数，中为偶数，且卫>0 9 题型2〔二次函数的图象与性质（多维探究） D.q为奇数，p为偶数，且卫<0 [命题点1]二次函数的图象 1.已知函数y=a.x2+bx+c,如果a>b>c且a+ 2.设a=8356=0.350,c=0.530,则 b十c=0,则它的图象可能是 1n0.53 A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>c>b 3.如图是幂函数y=xm与 ◆[命题点2]二次函数的单调性与最值 ↑y y=x 2.已知函数f(x)=x2一2ax-3. y=x”在第一象限内的图 (1)已知f(x)在[3，十∞)上单调递增，求a的取 象，则 ( 值范围； A.-1<n<0<m<1 (2)求f(x)在[-1,2]上的最小值. B.n<-1,0<m<1 C.-1<n<0,m>1 D.n<-1,m>1 4.已知函数f(x)=(m2一m一5)·xm-6是幂函 数，对任意x1,x2∈(0，十∞)，且x1≠x2,满足 fx)-f22>0,若a,b∈R,且a+b>0,则 x1-x2 f(a)+f(b)的值 ( ) A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断 题后反思 1.幂函数的解析式 y=x“(a∈R),其中只有参数a,因此只需一个 条件即可确定其解析式。 2.幂函数的图象特征 ①在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越 靠近x轴（简记为“指大图低”），在(1，十∞) 上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴， ②曲线在第一象限的凹凸性：a>1时，曲线下凸； 0<a<1时，曲线上凸；a<0时，曲线下凸. ·29· 高考总复习数学(BS) O[引申探究] [破题关键点]构造函数f(x)=ax2-2(a十 本题条件不变，求f(x)在[一1,2]上的最大值， 1)x十a一1，借助于二次函数的图象与性质，列 出不等式组进行求解， 规律总结 二次函数求最值问题，一般先用配方法化为 y=a(x一m)2+n的形式，得顶点(m,n)和对 称轴方程x=m,结合二次函数的图象求解.常 见有三种类型： (1)顶点固定，区间也固定； (2)顶点含参数（即顶点为动点），区间固定，这时 …方法指导… 要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在 解决有关根的分布问题应注意以下几点 区间之外； (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题 (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参 (2)结合草图考虑四个方面：①△与0的大小： 数.讨论的目的是确定对称轴和区间的关系， ②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函 明确函数的单调性，从而确定函数的最值. 数值与零的关系；④开口方向， [命题点3]二次函数中恒成立问题 (3)写出由题意得到的不等式. 3.已知正实数x,y满足2x+3y=1,且tx2一y2≥ (4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意. x一y对任意x,y恒成立，则实数t的最小值是 这类问题充分体现了函数与方程的思想，也 体现了方程的根就是函数的零点.在写不等 4.已知函数f(x)=一x2+2x+1,x∈[0,2]，函数 式时要注意条件的完备性， g(x)=ax-1,x∈[-1,1]，对于任意x1∈ 。[互动探究] [0,2],总存在x2∈[-1,1]，使得g(x2)=f(x1) 本例已知条件不变，求a为何值时？ 成立，则实数a的取值范围是 (1)方程有唯一实根； A.(-∞，-3] (2)方程一根大于1，一根小于1. B.[3,+∞) C.(-∞，-3]U[3,+o∞) D.(-∞，-3)U(3,+∞) 规律总结 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数求解；二 是构造函数，数形结合求解. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值， 至于用哪种方法，关键是看参数是否能分离 这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立台a≥ f(x)mx,a≤f(x)恒成立一a≤f(x)mim 题型3 二次函数零点的分布问题 [典例]关于x的方程a.x2-2(a+1)x十a-1=0, 求a为何值时？ (1)方程有一正根一负根； ©温馨提污 (2)方程两根都大于1. 学习至此，请完成配套训练 课时冲关10 ·30·将s(x)=4x十sin4x的图象向右平移 两式相加，f(x)十f(一2-x)+g(r 是个单位，再向上平移于个单位得到 1)+g(一x-3)=一2，将①式代入，得 g(x-1)+g(-x-3)=0, g(x)的图象， 则得g(x-5)十g(-x十1)=0，将② ,g(工)的对称中心为 式代入得，g(x十1)=-g(x-5),则 (停+最x+子)e, g(x十6)=-g(x),于是g(x+12)= 一g(x十6)=g(x),即g(x)的周期为12 当气+音号时=子不合题意， 又由f(-4)=0,由①可得f(2)十 f(-4)=-2,得f(2)=-2, 可知不可能为C,又当k=1,0,5时分 又由f(x十2)+g(x+1)=-1,可得 别对应选项A,B,D,可知A,B,D均 f(2)+g(1)=-1,即得g(1)=1. 为g(x)的对称中心. 因f(2030)+g(2029)=-1, [答案]C 可得f(2030)=-1-g(2029),于是 [例6][解析]令函数g()=1十子十 f(2030)-g(2017)=-1-g(2029) -g(2017)=-1-g(1)-g(1)=-1 tant,则g(-t)=一t一 十tan(-D= -2g(1)=-3. t [答案]B -g(++tant）=-g(), 题型5 工例9][解析]以A点为中心滚动时， 所以函数g(1)为奇函数，其图象关于 B,点轨远为以（一2,0）为圆心，2为半径 原点对称，可得f(x)=x一1 1 r-I+ 的子喝孤； tan(x一1)+2的图象关于，点(1,2)中 心对称， 即当x1十x2=2,可得f(x1)+f(x2) =4, 3 设M=f 1 202s)+f(2025) -3-2-1012345 f(2025 +…+f /4049 2025) 当以D点为中心滚动时，B点轨迹为 M=(8器)+r()十 以0.0)为国心，2E为半径的号 f(8)++f(2z) 1 圆孤； 当以C点为中心滚动时，B,点轨迹为 所以2M 以(2,0)为圆心，2为半径的一圆孤； -[r(0)+(器)]十 当以B点为中心滚动时，B点不动，然 [r()+()】 404711 后周期循环，周期为8. 十…十 画出函数图象，如图所示， [r(器) f八2025】 g(0)=f(0)-2√2=0，g(8)=f(8) 2√2=f(0)一2√2=0，A正确： =2025×4=8100,所以 根据图象和周期知B正确； ()+f(2)+f() 3 函数y=f(x)在[0,2]上单调递减，故 在[-8，一6]上单调递减，C错误； +…十f(2025 4049 =4050. 取x=-2易知f(2)≠一-2，故 [答案]C D错误 题型4 [答案]AB [例7][解析]因为对任意x∈R,都有 [例10][解析]因为f(x+1)=f(1 f(x+3)=f(1-x)+9f(2), 一x),所以f(x)关于x=1对称. 令x=一1，得f(2)=f(2)十9f(2),解 因为f(x)=一f(4-x),所以f(x+2)= 得f(2)=0,则f(x+3)=f(1-x), -f(2-x),所以f(x)关于点(2,0) 即f(x十4)=f(一x),所以函数f(x) 对称. 的图象关于直线x一2对称，又函数 对于A,由，点(2,0)关于x=1的对称，点 f(x十9)的图象关于，点（一9,0）对称， 为(0,0)，(2,0)为f(x)的对称中心，且 则函数f(x》的图象关于，点(0,0)对称 f(x)关于x=1对称，所以(0,0)为f(x) 即函数f(x)为奇函数，所以f(x十4) 的对称中心，即f(一x)=一f(x),所以 f(-x)=-f(x),所以f(x十8)= f(x)为奇函数，故A正确； 一f(x十4)=f(x),所以8是函数 对于B,因为f(x)=一f(4一x),所以 f(x)的一个周期，所以f(53)=f(7× f(x+2)=-f(2-x),f2+x) 8-3)=f(-3)=-f(3)=-f(1) =f(2一x)未必成立，所以f(x)的图象 =-2025. 不一定关于x=2对称，故B错误： [答案]D 对于C,因为f(x)=一f(4一x),令x十2 [例8][解析][由函数f(2.x一1)+1 代换x,得到f代x十2)=一f(2一x).① 的图象关于原点对称，f(-2x一1)+1 对于f(x十1)=f(1-x),令x十1代 -f(2x-1)-1,即f(-x-1)= 换x,得到f(x十2)=f(一x).② 2-f（x-1),即f(x)+f(-2-x)= 由①②得f(一x)=-f(2-x),令-x 一2①，由函数g(x十1)的图象关于y 代换x,得到f(x)=一f(2十x), 轴对称，可得g(一x十1)=g(x十 与②结合得f(x十2)=f(一x)=一f(x), 1)②， 所以f(x十2)为奇函数，故C错误： 由f(x+2)十g(x+1)=-1,可得 对于D,对于f(x十1)=f(1一x),令x f(x)+g(x-1)=-1,又得f(一2- 1代换x,得到fx)=f(2-x), x)十g(-x-3)=-1, ·389· 参考答案 又因为f(x)=一f(4一x),所以f(2-x) =一f4一x),令2一x代换x,得到 f(x)=-f(2十x),令x-2代换x,得 到f(x一2)=一f(x),所以f(x一2) =f(x十2)，令x十2代换x,得到 f(x)=f(x十4)，即f(x)是周期为4 的函数.故D正确. [答案]AD 第4节 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(3)[0,+∞)[0，+∞){y|y≠0} 奇奇在（一∞，0]上单调递减，在 [0,十∞)上单调递增在R上单调递增 在[0，十∞)上单调递增在（一∞，0） 和(0，十∞)上单调递减(1,1) 2.(1)a.x2+b.x+c(a≠0)(m,n) (2)「4ac 4a -,十∞ 4ac-21 -00, Aa b a+） (-∞，-2a] 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)/(3)×(4)×(5)× 小题查验 1.D[设f)=,则20-a=-2. 即f(x)=x2,它是偶函数，单调递增区 间是（一∞，0）.] 2.B[图象①对应的暴函数的幂指数必 然大于1，排除A,D.图象②中幂函数是 偶函数，暴指数必为正偶数，排除C,] 3.C[由题意知∫a>0, 1△0 即∫a>0, 1-20a<0,解得a>20] 4.解析：由已知得，f(0)=c=-4,a,b,c 成等比数列，b2=ac=一4a,a<0, 所以，f(x)=ax2+bx+c有最大值， 最大值为4ac-b2_4ac-ac-3。 Aa 4a 答案：大一3 5.解析：f(x)=x2一x十a图象的对称轴 为直线x=2,且f(1)>0f0)>0, 而f(m)0,∴.n∈(0,1)，.-1< 0,…f(m-1)>0. 答案：> 跃升·关键能力题型1 1.D[因函数y=x的图象关于y轴 对称，于是得函数y=x为偶函数，聊 p为偶数，又函数y=x÷的定义域为 (-∞，0)U(0,+),且在(0，十∞) 上单调递减，则有卫<0，又因，g互 质，则g为奇数，所以只有选项D正确.] ln0.35 2.D[由a-1n0.53 =1og0.530.35> 10g0.530.53=1, ,y=0.352,y=0.53在R上单调递 减，y=x.35在(0，十∞)上单调递增， 0.350.的<0.350.35<0.530.35< 0.53°=1，∴.a>c>b.] 3.B[如图，作直线x=2,y=x I y=x y=x y三x y=x- 0计 142 高考总复习数学(BS) 直线x=2与各暴函数的图象及y=x 其中x一y十y2 的图象的交，点的纵坐标分别为2n, 21,2m,21,从图中可观察得2<2 1-2x <1<2m<21,由指数函数y=2r在R 3 3 上是增函数，可得1<一1,0<n<1.门 4.A[,函数f(x)=(m2-m-5)》 =11x-2+4x2 xm-6是暴函数，，m2-m-5=1, 9x2 解得m=一2或n=3. 号（但）+号×+合 ①D ,对任意x,x2∈(0，十o), 且≠，满足f西)-f 11 ->0, x1一x2 当1 9 4 =具时①式取得最 ∴函数f(x)在(0，十∞)为增函数， 9 ∴.m2-6>0,∴.m=3(m=-2舍去)， .f(x)=x3为增函数.对任意a,b∈ 大值-号×（供）+号×+号 R,且a十b0,则a>-b,,∴.f(a)> f(-b)=-fb),.∴.f(a)+f(b)>0.] 一吕所以1的最小值是吕。 17 题型2命题点1 1.A[由题意，函数y=ax2+bx十c, 答案号 因为a十b+c=0,令x=1,可得y a十b十c=0,即函数图象过点(1,0)， 4.C[因为f(x)=-(x-2)2+2,x∈ 义由a>b>c,可得a>0,c<0,所以抛 L0,2J, 物线的开口向上，可排除B、D项， 所以{frmm=f0)=即fr)的 令x=0,可得y=c0,可排除C项.] (f(x)max=f2)=2, 命题点2 值域为[1,2]， 2.解：(1)由函数f(x)=x2-2ax-3,可 因为对于任意x1∈[0,2]，总存在 得f(x)的图象开口向上，且对称轴为 x2∈[-1,1]，使得g(x2)-f(x1) x=a,要使得f(x)在[3，十∞)上单调 成立， 递增，则满足a≤3，所以a的取值范围 所以f(x)的值域为[1,2]是g(x)在 为（一∞，3]. [一1,1]上值域的子集， (2)由函数f(x)=x2-2a.x一3，可得 当a>0时，g(x在[-1,1]上为增函数， 所以g(一1)g(x)g(1),所以g(x)∈ f(x)的图象开口向上，且对称轴为 x=a,当a<一1时，函数f(x)在 [-a-1,a-1], [一1,2]上单调递增，所以f(x)的最 所以{a-11,解得a≥3， (a-1≥2， 小值为f(-1)=2a-2:当-1≤a2 当a<0时，g(x)在[-1,1]上为减函 时，函数f(x)在[一1，a]上单调递减 在[a,2]上单调递增，所以f(x)的最 数，所以g(1)≤g(x)≤g(一1)，所以 g(x)∈[a-1,-a-1], 小值为f(a)=一a2-3:当a>2时，函 数f(x)在[一1,2]上单调递减，所以 所以仁。12，保得。-3 f(x)的最小值为f(2)=1-4a, 综上，实数a的取值范围是（一∞，一3] 综上可得，f(x)在[一1,2]上的最小值 U[3,+∞).] (2a-2,a<-1, 题型3 为f(x)mn= -a2-3,-1≤a≤2， [典例][解]令f(x)=ax2一2(a十 1-4a,a>2. 1)x+a-1. 引申探究 (1)方程有一正一负根时，f(x)对应的 解：由函数f(x)=x2一2ax一3，可得 图象只有如图①，②两种情况. f(x)的图象开口向上，且对称轴为 x=a,当a<-1时，函数f(x)在 [一1,2]上单调递增，所以f(x)的最 大值为f(2)=1-4a: 当-1Ka≤号时，画数f)的最大值 ① ② 为f(2)=1-4a: 因此f(x)=0有一正一负根等价于 当号<a<2时，函数f(x)的最大值 {9o{00. (a>0, 为f(-1)=2a-2; 解得0<a1. 当a>2时，函数f(x)在[一1,2]上单 所以0<a<1时，方程有一正一负根. 调递减，所以f(x)的最大值为f(一1) (2)方程两根都大于1时，f(x)对应的 =2a-2. 图象只有如图③，④两种情况 综上，当a<之时，画数f)的最大 值为f2)-1-4如：当>号时f的 最大值为f(-1)=2a-2. 命题点3 1x>0, ③ ④ 3.解析：依题意， -12>0,解得 因此f(x)=0两根都大于1等价于 3 fa>0, fa<0, 0<<则士>2 △>0， △>0， 2a+1D>1,或2a+1>1. 由x2-y2≥x-y,得≥yy 2a 2a f(1)>0 f(1)0, ·390· 解得a∈. 所以不存在实数a,使方程两根都大 于1. 互动探究 解：(1)令f(x)=ax2-2(a十1)x +a-1. 当a=0时，方程变为一2x一1=0，即 工=一2，符合题意：当a≠0时，4 4(a+102-4a(a-1D=0∴a=-子 所以当。=0或一子时，方程有唯 一实根. (2)因为方程有一根大于1，一根小 于1. f(x)大致图象如图⑤，⑥. ⑤ 所以必须满足∫a>0, f1)<0或 a0, {f1)>0.解得a>0. 所以当a>0时，方程有一根大于1，一 根小于1， 第5节 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)互素=ama”a÷=a器 am(2)互素 2.(2)aa+日aga·b 3.(2)<111111 (3)R(0,+∞)(0,1)10<y<1 y>1y>10<y<1增函数正 无穷大0减函数0正无穷大y 轴相反 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)× (3)/(4)×(5)/ 小题查验 1.A 2.AC[由指数函数f(x)=ax (日)）广a>0,且a≠1.且f-2)> f(一3)，根据指数函数单调性可知 日>1，所以0<a<1.] 3.C[由0<m<n<1,.y=m2,y=n 在R上单调递减，所以排除AB选项： 令x=1,n1,C项正确.门 1解析“（号）广是减画数， ()>()>()脚 >b>1.又=（受）<（受）”- 1,∴.c<b<a. 答案：c<b<d 5.解析：√1+2)+√(1-√②)4-1+ √②+|1-√21-1+√2+2-1-2√2. 答案：2√2 跃升·关键能力题型1 1.C[原式=-6a子+分b寸-导 -6ab1=]