第二章 第2节 函数的单调性与最值（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

高考总复习数学(BS) 第三步：解《0时f)十f(x-号)>】 解析：A[因为f(x)= x+1)2+2x<1所以 {-2x,x≥1， 当x≤0时，x十1十x- +1>1，解得>-1，即 2 f(3)=-6,f(-3)=(-3+1)2+2=6, -1<x≤0. 则f(3)+f(|x|-4)>0,即f(|x|-4)>-f(3) 4 =6=f(-3), 第四步：取并集计算x的取值范围 f(x)的函数图象如图所示： 综上x的取值范围是 1 [答案] 方法总结 3 分段函数与不等式问题的求解思路：依据分段函数 的解析式，对不同范围的不同段分类讨论求解，最 后将各段结果取并集.注意每段不等式结果与本段 自变量的范围取交集得本段的最后结果。 4-3-2-101234 跟踪训练 -2 2.设函数f(x)= x+1)2+2x<1,则不等式 -3 -2x,x≥1， -4 f(3)十f(x|-4)>0的解集为 -5引 A.(-1,1) 由函数图象可知当x>-3时，f(x)<6且f(x)在 B.(-o∞，-1)U(1,+o∞) (-∞，-3)上单调递减，所以f(|x|-4)>f(-3)》 C.(-7,7) D.(-∞，-7)U(7,+∞) 等价于|x|-4<-3,即|x<1,解得-1<x<1, 即x∈(-1,1).] 第2节函数的单调性与最值 ★[课程标准] 1.借助函数的图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义， 2.掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值. 复盘必备知识 学生用书P20 打通教材强基固本 必备知识掌握 (2)单调区间的定义 1.函数的单调性 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递 (1)单调函数的定义 减，那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调 增函数 减函数 性.此时，区间I为函数y=f(x)的单调区间 设函数y=f(x)的定义域是D 2.函数的最值 如果对于任意的x,x2如果对于任意的x1,x (1)若存在实数M,对所有的x∈D,都有f(x)≤M, ∈D,当x1<x2时，都有∈D,当x1<x2时，都有 且存在xo∈D,使得f(.xo)=M,则称M为函数 公 f(x1)<f(x2),那么就f(x1)>f(x2),那么就 y=f(x)的最大值， 义 称函数y=f(x)是增函称函数y=f(x)是减函 (2)若存在实数M,对所有的x∈D,都有f(x)≥M, 数.特别地，当I是定义数.特别地，当是定义 且存在x。∈D,使得f(xo)=M,则称M为函数 域D上的一个区间时，域D上的一个区间时， 也称函数在区间I上单也称函数在区间I上单 y-f(.x)的最小值 调递增。 调递减。 函数的最大值和最小值统称为最值， y=f(x) …重要结论。 (f(x2) _y=f(x) 图 1.单调性定义的推广 象 f)月 if(x)f(x2) 设Hx1,x2∈D(x1≠x2),则①x1-x2>0(或<0)， 描 0x12x f(x1)-f(x2)>0(或<0)台f(x)在D上单调递 述 自左向右看图 自左向右看图 象是下降的 增；x1-x2>0(或<0)，f(x1)-f(x2)<0(或>0) 象是上升的 台f(x)在D上单调递减： ·28· 主题二第二章函数 @f）-f>0(或(x,-,)[f)-f(x,)]> 数fx)=上在(-∞，0)上是减函数，在(0，十∞) x1一x2 0)台f(.x)在D上单调递增； 上是减函数；函数f(x)=仄=x是幂函数，指数 8fx)-f）<0(或a,-,)[fx)-fx]< 日>0，所以函数f(x)在R上是增函数， C1一x2 0)台f(x)在D上单调递减. 2.函数y=f(x)的图象如图所示，其单调递增区间是 2.单调性的几个结论 ( (1)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0, 则kf(.x)与f(x)单调性相反. (2)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y 1 =一f(x),y0的单调性相反. A.[-4,4] (3)复合函数y=f[g(x)门的单调性与y=f(u)和 B.[-4,-3]U[1,4] u=g(x)的单调性有关.简记：“同增异减”. C.[-3,1] (4)“对勾函数”y=x十4(a>0)的增区间为(-o0, D.[-3,4] 解析：C[由题图可知，函数y=f(x)的单调递增 -a).(Wa,十o∞)：单调减区间是[-a,0).(0Wa] 区间为[-3,1].] 自主诊断查验 3.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实 ◆[思考辨析] 数a,b,总有f@）二f)>0成立，则必有( a-b 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 打“√”，错误的打“X” A.f(x)在R上是增函数 (1)函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单 B.f(x)在R上是减函数 调增区间是(-∞，0]U(0,+∞). ( ) C.函数f(x)先增后减 ◆y D.函数f(x)先减后增 解析：A[由fa)二fb>0,知fa)-fb)与 a-b a-b同号，即当a<b时，f(a)<f(b),或当a>b 时，f(a)>f(b),所以f(x)在R上是增函数.] (2)若定义在R上的函数f(x),有f(-1)<f(3), 4.(忽视定义域致误)函数f(x)=1og2(x2-4)的单调 则函数f(x)在R上为增函数. ) 递增区间为 (3)函数y=x是R上的增函数， A.(0,十c∞) B.(-∞，0) (4)函数y=f(x)在[1，十o∞)上是增函数，则函数 C.(2,+∞) D.(-∞，-2) 的单调递增区间是[1，十©∞). ( ) 解析：C[由x2-4>0,可得x<-2或x>2,∴.函 (5)对于函数f(x),x∈D,若x1x2∈D,且(x1一x2)· 数f(x)的定义域为(-o∞，-2)U(2,十o∞).设t [f(x1)-f(x2门]>0，则函数f(.x)在D上是增函数. x2一4，则t在(2，十o∞)上单调递增，又函数y= ( log2t为增函数，.函数f(x)=log2(x2-4)在(2， (6)在闭区间上单调的函数，其最值一定在区间端 十∞)上单调递增，.函数f(x)的单调递增区间为 点取到 ( (2,十∞).] 答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)/ 5.(BSD必修第一册Po例1改编)已知函数f(x) (6)/ x十x∈[0,2]，则f(x)的最大值为 2 ,最 ◆[小题查验] 1.(多选)下列函数中是增函数的为 小值为 A.f(x）=-x B.f(x)=x+2 解析：因为函数f(x)在[0,2]上单调递减， C. D.f(.x)=元 所以f()a=f0)=2,fx)m=f(2)=号 解析：BD[函数f(x)=一x是一次函数，在R上 是减函数；函数f(x)=x十2在R上是增函数；函 答案2号 ·29· 高考总复习数学(BS) 跃升>关键能力 学生用书P21 题型突破素养提升 题型1 函数单调性的判断或证明 [命题点2]确定含参函数的单调性 [命题点1]求具体函数的单调区间 [典例] 判断并证明函数f(x)-a(a≠0)在 L.函数y=log(-x2+4x十12)单调递减区间是 (-1,1)上的单调性， [证明]法一（定义法）：第一步，取值、作差、变形： A.(-∞，2) B.(2,十∞) 设-1<x1<x2<1, C.(-2,2) D.(-2,6) 解析：C[令y=log,u=-x2+4.x十12.由u= -x2+4.x十12>0，得-2<x<6. 别f)-f)=a(+)+） 因为函数y=logu是关于u的递减函数，且x a(x2-x1） (一2,2)时，u=-x2十4x十12为增函数，所以y= (x1-1)(x2-1) 1og(-x2+4x十12)为减函数， 第二步，判号、定论：由于一1<x1<x2<1, 所以函数y=10g1(一x2十4x十12)的单调减区间 所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 是(-2,2).] 故当a>0时，f(x1)-f(x2)>0, 2.由方程xx|十yy=1确定函数y=f(x),则y= 即f(x1)>f(x2), f(x)在(-∞，+o∞)上是 函数f(x)在（一1,1）上单调递减； A.增函数 B.减函数 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), C.奇函数 D.偶函数 函数f(x)在(-1,1)上单调递增， 解析：B[当x≥0且y≥0时，x2+y2=1, 法二（导数法）：第一步，求导、变形： 当x>0且y<0时，x2-y2=1, f(x)=ax'(x-1)-a.x(x-1)y 当x<0且y>0时，y2-x2=1, (x-1) 当x<0且y<0时，无意义， =a(x-1)-ax=- （x-1)21 如图： (x-1)2 第二步，判号、定论：当a>0时，f(x)<0,函数 f(x)在(-1,1)上单调递减； y=f(x) 当a<0时，f'(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上单调 递增 。[互动探究] 若只将本例巾函数解析式改为“子)一兰（其 结合图象可知，y=f(x)在（一∞，十∞）上是减 函数.门 中a>0)”呢？ 题后反思 证明：法一（定义法）：设-1<x1<x2<1, 判断函数单调性常用以下几种方法 则f(x1)-f(x2）=a-ax x-1x-1 (1)定义法：一般步骤为设元作差→变形→判断 符号→得出结论. _arixi-axy-ax:xFax (.x-1)(.x2-1) (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者 a(x2-x1)(x1x2+1) f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降 (.x-1)(x-1) :-1<x<,<1. 确定单调性. .x2-x1>0,x1x2十1>0，(x7-1)(x-1)>0. (3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数 因此当a>0时，f(x1)-f(x2)>0, 的单调区间. 即f(x1)>f(x2),此时函数f(x)在(-1,1)上为 (4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的 减函数 函数，根据各初等函数的增减性及f(x)士 g(x)增减性质进行判断； 法二（导数法）：f(x)=a(x2-1)-2ax (.x3-1)2 ②对于复合函数，先将函数y=f(g(x))分解 -a(x2+1) 成y=f(t)和t=g(x),再讨论（判断）这两个函 (x2-1)2 数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的 又a>0,所以f(x)<0,所以函数f(x)在(-1,1) 规则进行判断. 上为减函数. 30· 主题二第二章函数 方法指导 (2)函数f)=士8(x>1)的最小值为 1.判断或证明含有参数的函数的单调性，除了利用 x-1 增（减）函数的定义外，导数法也是一种非常有效 [解析] 法一：基本不等式法：f(x)=+8 x-1 的方法，注意分类讨论思想的应用. (x-1)2+2(x-1)+9 2.可导函数也可以利用导数判断.但是，对于抽象 x-1 =(x-1D+91+2≥ 函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断. 1跟踪训练 2-0…马+2=8，当且仅当x-1=号 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数 即x=4时，f(x)min=8. f(x)=ax2+b的图象恰如其形，因而得名三叉戟 法二：导数法：f(x)=一4)(x十2) (x-1)2 函数，因为牛顿最早研究了这个函数的图象，所以 令f(x)=0,得x=4或x=-2(合去). 当1<x<4时，f(x)<0,f(x)在(1,4)上单调递减； 也称它为牛顿三叉戟.已知函数f(x)=ax2+b的 当x>4时，f(x)>0,f(x)在(4，十∞)上单调递增， 图象经过点(2,8)，且f(-2)=0. 所以f(x)在x=4处达到最小值， (1)求函数f(.x)的解析式： 即f(x)min=f(4)=8. (2)用定义法证明：f(x)在（一∞，0）上单调递减. [答案]8 [4a+b=8, 方法指导 2 求函数最值的五种常用方法及其思路 解：(1)由题意可知 解得a=1,b=8, b0, 4a一 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求 最值. 故f(x)=x2+8(x≠0). (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、 最低点，求出最值. (2)证明：Hx1,x2∈(-∞，0)，且x1<x2, (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正 则f)f)=+(+)=-计 二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极 8-8=(x,-x)(x十)+8型 值，最后结合端点值，求出最值. (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为 熟悉的函数，再用相应的方法求最值. 提醒：(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域. 4-.[1x(1十x2)-8]. (2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的 最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大 由x1,x2∈(-∞，0)且x1<x2,得x1x2>0,x1-x2 值，最小的作为分段函数的最小值， <0,x十x,<0,所以1<0，C1x2(x1十x2)-8 [口诀助读] 单调性，左边看，上坡递增下坡减； <0,所以52.[x1x2(x1+x)-8]>0, 函数值，若有界，上界下界值域外 X1X2 则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).故f(x)在 跟踪训练 (一∞，0)上单调递减. x 题型2 确定函数的最值（值域） 1.已知函数f(x) x+2-3x≥1·则f[f(-3)门 1g(.x2+1),x<1, ,x≤1， ,f(x)的最小值是 [典例](1)已知函数f(x) 则 x+1,x>1, 解析：，f(-3)=1g[(-3)2+1]=1g10=1, .f[f(-3]=f(1)=0, f(x)的最大值为 [解析]x∈(-o∞，1]时，f(.x)=e-1单调递增， 当≥1时，fx)=x+2-3≥22-3，当且仅当 x f(x)≤f(1)=e1=1; x=√2时，取等号， x∈1，十o0)时，f(=1一x十1单调递减， 此时f(x)min=2√2-3<0； f)K}-1+1=1. 当x<1时，f(.x)=lg(.x2十1)≥lg1=0,当且仅当 x=0时，取等号，此时f(x)min=0 所以f(x)的最大值为1. f(x)的最小值为2√2-3. [答案]1 答案：02√2-3 ·31· 高考总复习数学(BS) 2.在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I [命题点3]利用单调性求参数的取值范围或值 内单调递增且有界的函数f(x),即3M>0,Hx∈ 3.(2024·新课标I卷)已知函数f(x)= I,f(x)川≤M.则下列函数中，所有符合上述条件 -x2-2ax-a,x< 的序号是 在R上单调递增，则a的取 e+ln(x+1),x≥0 0f)=:@f)=1十7@f)-+8 e十ei 值范围是 1 A.(-∞，0] B.[-1,0] ④fx)=1十e C.[-1,1] D.[0,+o∞) 解析：对于①，f(x)=√（无界，不符合题意； 解析：B[由题意知f(x)在R上单调递增，令 对于②，f(x)= 1 1+x2s 不单调，不符合 h(x)=-x2-2ax-a,则h(x)的对称轴必大于等 1 x十 于0，否则与题意不符，即-a≥0→a≤0，排除C、D 题意； 项；又因为当x=0时，f(x)=1,所以当x=0时， 对于③，fx)=e=”=+1-2=1 h(x)≤1→-x2-2a.x-a≤1，代入x=0,得-a≤ ete e+1 e+1 1→a≥-1，所以-1≤a≤0，故a的取值范围 十e云单调递增，且f(x)∈(-1,1)，则f(x) 是[-1,0].] 规律总结 1,符合题意； 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 对于④，f(x)十。单调递增，且f)∈(0,1)y (1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到 则f(x)|<1,符合题意. 同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决 答案：③④ (2)解含“f”的不等式.在求解与抽象函数有关的 题型3 函数单调性的应用 不等式时，利用函数的单调性将“f”符号脱掉， [命题点1]比较两个函数值或两个自变量的 使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注 大小 意函数的定义域 1.设函数f(x) -2+2(x>0):若a=ln2.b= (3)利用单调性求参数 -x3(x≤0)， ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定 3.2,c=l0g032,则 义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求 A.f(a)>f(b)>f(c) B.f(b)>f(a)>f(c) 参数；②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的， C.f(a)>f(c)>f(b) D.f(c)>f(a)>f(b) 则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. -2+2(x>0), 解析：D[因为f(x) -x3(x≤0)， 又y=2 日跟踪训练 在(0，十∞)上单调递增，y=2在(0，十∞)上单调递 1.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意两 减，则g(x)=一2十2‘在(0，十∞)上单调递减且 g(0)=-2°十2°=0，又h(x)=-x3在(-∞，0)上单 个不相等的正数G1x,都有f)f>0 x1一x2 调递减且h(0)=一0=0，所以f(x)在R上单调递减， 又因为32>3°=1，即b>1,0=ln1<ln2<lne-1, 记a=1)6=22c-f,则 2 即0<a<1,log32<log.31=0,即c<0,所以b>a>c, A.c<a<b B.a<b<c 所以f(b)<f(a)<f(c).] C.c<b<a D.b<c<a [命题点2]解函数不等式 解析：B[依题意，Hx1,x2∈(0，十∞)，x1≠x2, 2.设函数f(x)=x1, f(x1)f(x2） {(x-1)2+1,.x>1, 则不等式 f(1-|x)十f(2)>0的解集为 fx）-x1f》0片19->0， x1一x2 x1-x2 解析：由函数解析式知f(x)在R上单调递增， 且-f(2)=-2=f(-2), 于是得函数fC在(0，十∞)上单调递增，而函数 则f(1-1x)+f(2)>0→f(1-1x)>-f(2) =f(-2), f(x)是R上的偶函数，即b=fC-2=f(2) 》 2 由单调性知1一x>-2,即|x|<3,解得一3<x <3,故不等式的解集为(-3,3) 显然有9<f2<,国此得a<, 2 3 答案：(-3,3) 所以a<b<c.] ·32· 主题二第二章函数 2.x-1(x>1), 2.已知f(x)= 解析：D[依题意，f(x)= 21n x In x 则不等式f(3.x-1) 1nx(0<.x≤1)， In a In 2a <f(2x+1)的解集为 22 nIn=nadn2a·ln In 4a lna·(ln2a) A.(0,2) (o.) 显然函数y=lnx在(0，十o∞)上单调递增，而函数 f(x)在(0，十∞)上单调递减， c(合 D.(2,+o∞) 因此na.1n2a)0,而0<a<2a≤4a, 解析：C[,f(x)= 2x-1(x>1), 当0<x≤1 lnx(0<x≤1)， 则h4a<0或ha0 1 {ln2a>0, 得0<点 <a<l, 时，f(x)=lnx≤0，且单调递增；当x>1时，f(x) 所以实数a的取位范因为(0，)U(侵)门 =2x-1>1,且单调递增，所以f(x) (2-a)x+1x<1, {mz(0<<)在(0，十e0)上单调道增，不等式 (2.x-1(x>1), 4.如果函数f(x)= 满足对任意 a,x≥1， ≠，都有)-)>0成立，那么实数a f(3.x-1)<f(2.x+1)等价于0<3.x-1<2x+1, x1一x2 解得3<<2.] 的取值范围是 解析：因为对任意1≠，都有f）二f》0. 3已知0<a<1且a≠合，若函数f()=2log.x x1一x2 所以y=f(x)在(-∞，十∞)上是增函数. logzax在(0，十o∞)上单调递减，则实数a的取值范 [2-a>0, 围为 所以{a>1, (2-a)×1+1≤a, A() B(,) 故实a的取值范因是，2 c(只合 n(,u(合) 答案[ 第3节 函数的奇偶性与周期性 ★[课程标准] 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性 3.结合三角函数，了解函数周期性的概念和几何意义.4.会运用函数的图象理解和研究函数的周期性， 复盘>必备知识 学生用书P23 打通教材强基固本 必备知识掌握 2.函数的周期性 1.函数的奇偶性 (1)周期函数：一般地，对于函数y=f(x),x∈D,如果存 在一个非零常数T,使得对任意的x∈D,都有x十T 奇偶性 定义 图象特点 ∈D,且满足f(x十T)=f(x),那么函数y=f(x)称 一般地，设函数f(x)的定 作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期 义域是A,如果对任意的 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 奇函数x∈A,有-x∈A,且f(-x) 关于原点对称 存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 =一f(.x),那么称函数f(x》 f(x)的最小正周期. 为奇函数 …重要结论· 一般地，设函数f(x)的定 1.函数奇偶性的四个重要结论 义域是A,如果对任意的 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0) 偶函数x∈A,有-x∈A,且f(-x) 关于y轴对称 有意义，那么一定有f(0)=0. =f(x),那么称函数f(x)为 (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(x|). 偶函数 (3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的 当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇 单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具 偶性.奇函数和偶函数的定义域关于原点对称。 有相反的单调性. ·33·