第二章 第2节 函数的单调性与最值-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

高考总复习数学(BS) 第2节函数的单调性与最值 ★[课程标准] 1.借助函数的图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义. 2.掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值. 复盘>必备知识 打通教材强基固本 必备知识掌握 ②f)-f(2) >0(或(x1-x2)[f(x1) 1.函数的单调性 x1一x2 (1)单调函数的定义 f(x2)]>0)台f(x)在D上单调递增； 增函数 减函数 ③fx）-f2）<0(或（1-2)[fa1） x1一x2 设函数y=f(x)的定义域是D f(x2]<0)台f(x)在D上单调递减. 2.单调性的几个结论 如果对于 如果对于 的x1, 的x1,x2 (1)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同；若 ∈D,当 时，都 x2∈D,当 k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反. 有 ,那么就称 时，都有 ,那 定 (2)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与 函数y=f(x)是增函 么就称函数y=f(x) 数.特别地，当I是定义 是减函数.特别地，当 y=一fx),y=f的单调性相反. 域D上的一个区间时， I是定义域D上的 (3)复合函数y=f[g(x)]的单调性与y=f(u)和 也称函数在区间I上 个区间时，也称函数 u=g(x)的单调性有关.简记：“同增异减”. 在区间I上 (4)“对勾函数”y=x十4(a>0)的增区间为 (-∞，一√a),(√a,十∞)；单调减区间是 y=f(x) [-√a,0),(0,wa]. f(x2) y=f(x) 图 自主诊断查验 象 f(x) f(x)i f(x2) ◆[思考辨析] 描 01x2 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 述 自左向右看图 自左向右看图 里打“√”，错误的打“X” 象是上升的 象是下降的 (1)函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的 单调增区间是（一∞，0]U(0,+∞）. () (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调 递减，那么就称函数y=f(x)在区间I上具有 此时，区间I为函数y=f(x)的 2.函数的最值 (2)若定义在R上的函数f(x),有f(一1)< (1)若 实数M,对所有的x∈D,都有 f(3),则函数f(x)在R上为增函数. () ,且 xo∈D,使得 ,则称 (3)函数y=|x是R上的增函数 M为函数y=f(x)的最大值. (4)函数y=f(x)在[1，十∞)上是增函数，则函 (2)若 实数M,对所有的x∈D,都有 数的单调递增区间是[1，+∞)· () ,且 xo∈D,使得 ,则称 (5)对于函数f(x),x∈D,若x1,x2∈D,且 M为函数y=f(x)的最小值. (x1-x2)·[f(x1)-f(x2)门>0，则函数f(x) 函数的最大值和最小值统称为 在D上是增函数 () …重要结论。 (6)在闭区间上单调的函数，其最值一定在区间 1.单调性定义的推广 端点取到。 设Hx1,x2∈D(x1≠x2),则①x1一x2>0(或 ◆[小题查验 1.(多选)下列函数中是增函数的为 <0),f(x1)-f(x2)>0(或<0)台f(x)在D A.f(x)=-x B.f(x)=x+2 上单调递增；x1-x2>0(或<0)，f(x1) f(x2)<0(或>0)台f(x)在D上单调递减； C.f(x)=1 D.f(x)=元 20 主题二第二章函 数 2.函数y=f(x)的图象如图所 A.f(x)在R上是增函数 示，其单调递增区间是() B.f(x)在R上是减函数 A.[-4,4] C.函数f(x)先增后减 D.函数f(x)先减后增 B.[-4,-3]U[1,4] 4.(忽视定义域致误)函数f(x)=1og2(x2一4)的单 C.[-3,1] 调递增区间为 () D.[-3,4] A.(0,+∞) B.(-o∞，0) 3.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等 C.(2,+∞) D.(-∞，-2) 5.(BSD必修第一册P6o例1改编)已知函数f(x) 的实数a,b,总有fa)-fb) a-b >0成立，则 x∈[0,2]，则f(x)的最大值为 2 必有 最小值为 跃升>关键能力 题型突破素养提升 题型1 函数单调性的判断或证明 O[互动探究] ax [命题点1] 求具体函数的单调区间 若只将本例中函数解析式改为“f(x)= x2-1 1.函数y=1og号(-x2+4x+12)单调递减区间是 (其中a>0)”呢？ A.(-∞，2) B.(2,+∞) C.(-2,2) D.(-2,6) 2.由方程x|x|+yly=1确定函数y=f(x),则 y=f(x)在(-∞，+o∞)上是 A.增函数 B.减函数 方法指导 C.奇函数 D.偶函数 1.判断或证明含有参数的函数的单调性，除了利 题后反思 用增（减）函数的定义外，导数法也是一种非常 判断函数单调性常用以下几种方法 有效的方法，注意分类讨论思想的应用. (1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判 2.可导函数也可以利用导数判断.但是，对于抽象 断符号→得出结论. 函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断， (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或 跟踪训练 者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数 下降确定单调性， (3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函 f(x)=ax2+6的图象恰如其形，因而得名三叉 数的单调区间. 戟函数，因为牛顿最早研究了这个函数的图象， (4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成 所以也称它为牛顿三叉戟.已知函数f(x)= 的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)士 g(x)增减性质进行判断； ax2+b的图象经过点(2,8)，且f(-2)=0. ②对于复合函数，先将函数y=f(g(x))分解 (1)求函数f(x)的解析式； 成y=f(t)和t=g(x),再讨论（判断）这两个 (2)用定义法证明：f(x)在（一∞，0）上单调递减. 函数的单调性，最后根据复合函数“同增异 减”的规则进行判断。 卜[命题点2]确定含参函数的单调性 [典例]判断并证明函数f)=兰(a≠0)在 (-1,1)上的单调性 ·21· 高考总复习数学(BS) 题型2 确定函数的最值（值域） [命题点3]利用单调性求参数的取值范围或值 3.(2024·新课标I卷)已知函数f(x) ,x1, [典例门 (1)已知函数f(x) 则 （-x2-2ax-a,x<0 在R上单调递增，则a的 x+1,x>1 ier+ln(x+1),x≥0 f(x)的最大值为 取值范围是 ) A.（-∞，0 B.[-1,0] (2)函数f(x)= 2+8 x>1)的最小值为 C.[-1,1] x-1 D.[0,+∞) 方法指导 规律总结 求函数最值的五种常用方法及其思路 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求 (1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转 最值 化到同一个单调区间内，然后利用函数的单 (2)图象法：先作出函数的图，再观察其最高 调性解决 点、最低点，求出最值. (2)解含“f”的不等式.在求解与抽象函数有关 (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正 的不等式时，利用函数的单调性将“∫”符号 二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应 (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极 特别注意函数的定义域 值，最后结合端点值，求出最值. (3)利用单调性求参数 ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调 (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化 性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区 为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. 间比较求参数；②需注意若函数在区间[a,b] 提醒：(1)求函数的最值时，应先确定函数的定 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集 义域 上也是单调的. (2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上 的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最 跟踪训练 大值，最小的作为分段函数的最小值 1.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意 [口诀助读] 两个不相等的正数x1,x2,都有 单调性，左边看，上坡递增下坡减； x2f(x1)-x1f(x2) >0,记a=f(1),b= x1—x2 函数值，若有界，上界下界值域外 跟踪训练 2=g则 2 +2 -3，x≥1·则无f(-3)门 A.c<a<b B.a<b<c 1.已知函数f(x) x C.c<b<a D.b<c<a 1g(x2+1),x<1, 2.已知f(x)= 2x-1(x>1), lnx(0<r≤1)， 则不等式f(3x一1) ,f(x)的最小值是 2.在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域 <f(2x+1)的解集为 I内单调递增且有界的函数f(x),即了M>0, A.(0,2) Vx∈I,If(x)≤M.则下列函数中，所有符合上 B.o. 述条件的序号是 c台 D.(2,+∞) ①fx)=E,@fx)=1+7 3.已知0<a<1且a≠号，若函数fx)=21ogx ③f(x)= er-e-x e+e④f(x) 1+e-x. log2ax在(0，十o∞)上单调递减，则实数a的取值 范围为 题型3 函数单调性的应用 [命题点1]比较两个函数值或两个自变量的大小 1.设丽数f)={2十2>0若a=n2, c(合2)o)(2 {-x3(x≤0)， b=30.2,c=10g0.32,则 4.如果函数f(x)= (2-a)x+1,x<1, ( a,x≥1， 满足对任 A.f(a)>f(b)>f(c)B.f(b)>f(a)>f(c) C.f(a)>f(c)>f(b)D.f(c)>f(a)>f(6) 意1≠2，都有西)二f>0成立，那么实 x1一2 [命题点2]解函数不等式 数a的取值范围是 2.设函数f(x)= ∫x,x≤1， {(x-1)2+1,x>1,则不等式 C温攀提 学习至此，请完成配套训练课时冲关7 f(1-|x)+f(2)>0的解集为 22>f(2)+f(3)>5,同理可得，f(5)> 8,f(6)>13,f(7)>21,f(8)>34, f(9)>55,f(10)>89,…f(15)>987 f(16)>1597>1000,…,故选B.] 题型3命题点1 1.C[因为f(x)= （x-3,x≥10， 1ff(x+4)),.x10, 则f(8)=f(f(12))=f(9) =f(f(13))=f(10)=7.] 2.解析：f(f(a)=f(0)=1, 当0a1时，f(0)=sin(-2πa) 3 -1,得a=-有-k,故a=子： 当-1≤a<0时，f(0)=a2=1, 故a=一1. 答案：是或-1 命题点2 [典例1][解析]，函数f(x) 0. 方程f(1十x2)=f(2.x), .当x<0时，2=e2x+1,解得x=0, 不成立： 当x≥0时，f(1+x2)=f(2.x)=2, 成立 ,∴.方程f(1十x2)=f(2x)的解集是 《xx≥0}. 「答案]{xx≥0} 跟踪训练 1.B[令f(a)=t,f(f(a)-f(a)+2 =0,则f(1)=1-2, ①t≤0时，t2十2t=t一2，则t2+t十2 =0无解. ②t>0时，-t2=t-2,.t=1,.f(a) =1,a≤0时，a2+2a=1,则a=-√2 -1:a>0时，一a2=1无解，综上，a= -√2-1.] 命题点3 [典例2】[解析]第一步：解>合时， f+f(-)> 由题意得，当>号时，f)十 f(-号)）=2r+2r>1根成立， 即x>立 第二步：解0<≤空时f)十 f(-是)>1 当0cr≤2x)+f(-合) 2x+x- +1>1恒成立，即0< 2 第三步：解x≤0时，f(x)十 f(-)>1 当x<0时，x+1计x-之+1>1， 解得>-即-<<0. 第四步：取并集计算工的取值范国 综上x的取位范国是（子，十∞）】 [答案] 参考答案 跟踪训练 跃升·关键能力题型1命题点1 2.A[因为f(x)= (x+1)2+2,x<1, 1.C[令y=log5u,u=-x2+4x+12. -2x,x≥1， 由u=-x2+4x十12>0，得-2x6. 所以f(3)=一6， 因为函数y=logu是关于4的递减 f(-3)=(-3+1)2+2=6, 函数，且x∈（一2,2）时，u=一x2十4x 则f(3)+f(|x|一4)>0，即f(|x|一 十12为增函数，所以y=log5(一x2十 4)>-f(3)=6=f(-3), 4x十12)为减函数，所以函数y f(x)的函数图象如图所示： 1og÷(-x2+4x十12)的单调减区间 是(-2,2).] 2.B[当x≥0且y≥0时，x2+y2=1, 5 当x>0且y0时，x2-y2=1, 4 当x<0且y>0时，y2-x2=1, 当x<0且y<0时，无意义， 如图： 4-3-2-1 1234 y=f(x) -3 -5 结合图象可知，y=f(x)在(-∞，十∞) 由函数图象可知当x>一3时，f(x)< 上是减函数.] 6且f(x)在（一∞，一3）上单调递减， 命题点2 所以f(x|-4)>f(-3)等价于|x [典例门[证明]法一（定义法）：第一 -4<-3,即|x<1,解得一1x<1, 步，取值、作差、变形：设一1<x1<x2 即x∈(-1,1).] <1, 第2节 f)-a(）(+) 复盘·必备知识必备知识掌握 则f(x1)-f(.x2) 1.(1)任意 x1<x2f(x1)<f(x2) 单调递增 任意1<x2f(x1）> -a(+与)a(+) f(x2)单调递减(2)单调性单调 a(r2-r1） 区间 (x1-1)(x2-1) 2.(1)存在f(x)≤M存在f(x0)= 第二步，判号、定论：由于一1<x1<x M(2)存在f(x)≥M存在f(xo) <1,所以x2-x1>0,x1-1<0,x2 =M最值 10,故当a>0时，f(x1)-f(x2)> 自主诊断查验 思考辨析 0,即f(x1)>f(x2), (1)×(2)× (3)×(4)×(5)/ 函数f(x)在（一1,1）上单调递减： (6)/ 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0, 小题查验 即f(x1)<f(x2), 1.BD[函数f(x)=一x是一次函数， 函数f(x)在（一1,1）上单调递增. 在R上是减函数；函数f(x)=x十2 法二（导数法）：第一步，求导、变形： 在R上是增函数：函敦f(x)=在 f(x)=a.x)'(x-1)-ax(x1) (x-1)2 (一∞，0)上是减函数，在(0，十∞)上 =a(x-1)-a.x (x-1)2 (x-1)2 是减函数；函数f(x)=丘=x是暴 第二步，判号、定论：当a>0时，f(x) 函数，指数号>0，所以函数f(x)在R 0,函数f(x)在（一1,1）上单调递减 当a0时，f'(x)>0,函数f(x)在 上是增函数.] (一1,1)上单调递增. 2.C[由题图可知，函数y=f(x)的单 互动探究 调递增区间为[一3,1].] 证明：法一（定义法）：设一1xx2<1, 3.A[由fa)-fb>0,知f(a) a-b 则f(1)-f(x2)=a-a9 x-1x-1 f(b)与a一b同号，即当a<b时，f(a) _ax1x号-a1-ax2x号十ax2 <f(b),或当a>b时，f(a)>f(b),所 (x号-1)(.x-1) 以f(x)在R上是增函数.] a(x2-x1)(x2+1) 4.C.[由x2-4>0,可得x<-2或x> (x号-1)(x-1) 2,,函数f(x)的定义域为（一∞，一2） :-1<x1<x2<1, U(2,+o∞).设t=x2-4,则t在(2， .x2-x1>0,x1x2+1>0, 十o∞)上单调递增，又函数y=log2t为 (x-1)(x-1)>0. 增函数，∴.函数f(x)-1og2(x2-4)在 因此当a>0时，f(x1)-f(x2)>0, (2,十∞)上单调递增，∴，函数f(x)的 即f(x1)>f(x2),此时函数f(x)在 单调递增区间为(2，十∞).] (一1,1)上为减函数. 5.解析：因为函数f(x)在[0,2]上单调 递减，所以f(xmax=f(0)=2, 法二（导数法）：f(x)=a(2-1)-2ax (x2-1)2 f(r)min=f(2)-3 -a(x2+1) = (x2-1)2 答案：2号 又a>0,所以f(x)<0,所以函数 f(x)在（一1,1）上为减函数. ·385· 高考总复习 数学(BS) 跟踪训练 2.解析：对于①，f(x)=x无界，不符合 4a+ b =8, 题意： 解：(1)由题意可知 解得 b 对于②，f(x)=1十2= 7 不单 4a- 0 4=1,b=8,故fx)=2+8(x≠0). 调，不符合题意： x (2)证明：Hx1,2∈(-∞，0)，且x 对于③，f(x）=g-e=e2x-1 erte i er+1 <,则f(x1)-f(x)=x+8 e红十1一2=1一1十2x单调递增，且 e2x+1 (+)-+ f(x)∈(-1,1)，则|f(x)|<1,符合 题意； =(x1-x2)(x+x2）十 8(x2-x） x1x2 对于④，f(x)二十。三单调递增，且 8 fx)∈(0,1)，则|f(x)|<1,符合题意. 答案：③④ -.[x1x2(知十x)-8]. 题型3命题点1 由x1,x2∈(-∞，0)且1<x2,得 1.D[因为f(x)= ∫-2+2(x>0), {-x3(x≤0)， x1x2>0,x1-x2<0,x十x2<0,所 又y=2x在(0，十∞)上单调递增，y 以12<0，x1(m1十x2)-8<0, 2x在(0，十∞)上单调递减，则g(x) x1x2 =一2r十2x在(0，十∞)上单调递减 所以52.[5(h十2)-8]>0， 且g(0)=-20十20=0，又h(x)=-x3 则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)> 在（一∞，0）上单调递减且h(0)=一03 f(x2).故f(x)在（一∞，0）上单调 0,所以f(x)在R上单调递减，又因为 递减 30.2>30=1,即b>1,0=1n1<1n2< 题型2 In e=1,Bp 0<a<1,l0go.3 2<log0.3 1= [典例](1)[解析]x∈（一∞，1]时， 0,即<0，所以b>a>c,所以f(b)< f(a)f(c).] f(x)=e-1单调递增，f(x)f(1) 命题点2 e-1=1; 2.解析：由函数解析式知f(x)在R上单 x(1,+∞)时，f(x)=1 -x+1单 调递增，且一f(2)=-2=f(-2), x 则f(1-|x|)+f(2)>0→f(1-1x|) 调递减，f(x)<-1+1=1. >-f(2)=f(一2)，由单调性知1 |x>-2,即|x<3,解得-3<x< 所以f(x)的最大值为1. 3,故不等式的解集为(-3,3). [答案]1 答案：(-3,3) (2)[解析]法一：基本不等式法： 命题点3 f)=2+8-x-102+21D+9 3.B「由题意知f(x)在R上单调递增， x-1 x-1 令h(x)=-x2-2ax-a,则h(x)的对 =(-1+9+2> 称轴必大于等于0，否则与题意不符， x-1 即-a≥0→a≤0，排除C、D项；又因为 2-·马+2-8，当里仅当 当x=0时，f(x)=1,所以当x=0时， h(x)≤1→-x2-2a.x-a≤1，代入x= 9 0,得-a≤1→a≥-1，所以-1≤a≤0， 上-1=，即x=4时，f(x)m=8. 故a的取值范国是[-1,0].] 法二：导数法：f(x) 跟踪训练 -x-40(x+2) 1.B[依题意，x1x2∈(0，十∞)， (x-1)2 1≠，f）-fx20 令f(x)=0,得x=4或x=-2(舍去). x1一x2 当1x<4时，f'(x)<0,f(x)在 f()_f(2） (1,4)上单调递减：当x>4时，f(x)》 x>0 >0,f(x)在(4，+∞)上单调递增，所 x1-x2 以f(x)在x=4处达到最小值，即 于是得函数x在(0，十0)上单调 f(x)min=f(4)=8. [答案] 8 递增，而函数f(x)是R上的偶函数， 跟踪训练 即b=f-2)=f(2) 2 2 1.解析：，f(-3)=1g[(-3)2十1] =1g10=1, 显然有<f2)<f3),因此得 2 3 ∴.fLf(-3)]=f(1)=0, a<b<c,所以a<b<c.] 当≥1时f)-r+是-3≥2E 2.C[:f(x)= 2x-1(x>,当0<x tIn x(o<1), 一3，当且仅当x=√2时，取等号， ≤1时，f(x)=lnx≤0，且单调递增；当 此时f(x)min=2√2-3<0； x>1时，f(x)=2x-1>1,且单调递增， 当x<1时，f(x)=lg(x2+1)≥lg1= 所以fx)=2x-1(x>1), 0,当且仅当x=0时，取等号，此时 In r(0<r1) f(x)min=0.f(x)的最小值为 在(0，十∞)上单调递增，不等式 f3.x-1)<f(2x+1)等价于0<3x-1 2√2-3. 答案：02√2-3 <2+1,解得号<r2.] ·386· 3.D[依题意，f(x)-2n-二 In a In 2a 2m2u-8·l1nx=na:n2a In 4a lna·(ln2a) ·lnx,显然函数y=lnx在(0，十∞) 上单调递增，而函数f(x)在(0，十∞) In 4a 上单调递减，因此na,n2a<0, 而0<a<2a<4a,则ln4a<0或 {他0解得0a<十或<a<1 In 2a>0, 所以实数a的取值范国为 ()(3) 4.解析：因为对任意x1≠x2,都有 fx1)-f(x2) >0, 1.2 所以y=f(x)在（一o,十∞）上是增 函数， /2-a>0. 所以3a≥1， ((2-a)×1+1≤a, 故实数a的取值范国是[是，2）】 答案：[是2) 第3节 复盘·必备知识必备知识掌握 1.-x∈Af(-x)= f(x) -x∈A f(一x)=f(x)奇偶性原点 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)×(3)/ 小题查验 1.D[,f(-x)=2x+2=f(x), .f(x)=2r十2x是偶函数.] 2.D[设x<0,则一x>0,因为函数 f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x) ex一1，可得f(x)=一f(一x)= -(e2-1)=-e2+1.] 3.B[因为f(x十3)= fr),故有 f(x十6)= 1 f(x+3) f(x) f(x),所以函数f(x)是以6为周期的 函数 所以f(107.5)=f(6×17+5.5) 1 1 =f(5.5)= f(2.5) -f(-2.5) 2] 1 = 4.解析：f(x)的定义域为（一∞，一1）U [1,十∞)不关于原点对称.故f(x)为 非奇非偶函数。 答案：非奇非偶 5.解析：因为f(x十3)=f(x),所以f(x) 是以3为周期的周期函数，所以 f(2027)=f(675×3+2)=f(2)=22 +4=8. 答案：8 跃升·关键能力题型1 1.B[对A,设f(x)=ex 2+1,函效定 义战为R,但f(-1)=e)1.f1) 2 =,1,则f(-1)≠f1),故A错误： 2