主题1 第1章 第2节 常用逻辑用语（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

第2节　常用逻辑用语

★[课程标准]

1．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．

2．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义．

3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

1．命题的概念

可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作命题．

2．充分条件、必要条件与充要条件的概念

3.全称量词命题、存在量词命题

(1)在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题，在命题中，诸如“所有”“　每一个　”“　任意”　“　一切　”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示．

(2)在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题，在命题中，诸如“有些”“有一个”“　存在一个　”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示．

4．全称量词命题、存在量词命题的否定

1．在判断充分、必要条件时，小可以推大，大不可以推小，如x>2(小范围)⇒x>1(大范围)，x>1(大范围) x>2(小范围)．

2．充要关系与集合的子集之间的关系

设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．

(3)若A＝B，则p是q的充要条件．

3．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词、否结论”．

◆[思考辨析]

　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)命题p的否定的否定是p.(　　)

(2)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．(　　)

(3)若p是q成立的充要条件，则可记为p⇔q.(　　)

(4)“∃x∈M，x具有p(x)”与“∀x∈M，綈p(x)”的真假性相同．(　　)

(5)“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．(　　)

(6)“对顶角相等”是全称量词命题．(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√

◆[小题查验]

1．(BSD必修第一册P18练习T1(4)改编)“xy>0”是“x＜0，y＜0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．即不充分也不必要条件

解析：B　[因为xy>0不能推出x＜0，y＜0，但x＜0，y＜0能推出xy>0，所以“xy>0”是“x＜0，y＜0”的必要不充分条件．]

2．(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数 f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)| > M”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

解析：A　[若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得|f(x1)|＝|M|＋1，

取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1＞M，充分性成立；

取f(x)＝2x，D＝R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)＝|M|＋1，

取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1＞M，但此时函数f(x)的值域为(0，＋∞)，必要性不成立；

所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|＞M”的充分不必要条件．]

3．(2024·全国甲卷)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，则(　　)

A．x＝－3是a⊥b的必要条件

B．x＝－3是a∥b的必要条件

C．x＝0是a⊥b的充分条件

D．x＝－1＋是a∥b的充分条件

解析：C　[若a⊥b，则x(x＋1)＋2x＝0，

即x2＋3x＝0，解得x＝0或x＝－3，

∴A错，C对；若a∥b，则2(x＋1)－x2＝0，即x2－2x－2＝0，解得x＝1±，故B、D错．]

4．“x(x－1)＝0”是“x＝1”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．

解析：x(x－1)＝0⇒x＝0或x＝1，即x(x－1)＝0不一定有x＝1成立；

但x＝1能推出x(x－1)＝0成立．故“x(x－1)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．

答案：必要不充分

5．(忽视二次项系数的讨论)命题“∀x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围是　________　.

解析：①当a＝0时，1>0恒成立，∴a＝0满足条件，

②当a≠0时，解得0<a<4，综上，0≤a<4.

答案：[0,4)

　　　　　充分、必要条件的判定

1．若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　　)

A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

[考题解读]　本题以两个等式为载体设置题目，考查逻辑推理，数学探索能力．充分必要条件是高考命制创新试题的重要载体，它与其他知识结合，题目具有一定的灵活性，能很