主题1 第1章 第2节 常用逻辑用语（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦常用逻辑用语专题，涵盖命题、充分必要条件、全称与存在量词及其否定等核心考点，按概念辨析、关系判断、量词命题否定的逻辑层次构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练三环节帮助学生突破条件判断、量词命题否定等难点。 讲义采用问题驱动与分层训练结合的教学策略，如通过“小范围推大范围”直观理解充要条件，结合集合子集关系深化逻辑推理，设置辨析题、真题变式题培养学生理性思维。分层练习配合即时反馈，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支持。

第2节　常用逻辑用语 ★[课程标准] 1．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． 2．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义． 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 1．命题的概念 可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作命题． 2．充分条件、必要条件与充要条件的概念 p是q的　充分条件　，q是p的　必要条件　 p⇒q p是q的　充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的　必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的　充要　条件 p⇔q p是q的　既不充分也不必要　条件 pq且qp 3.全称量词命题、存在量词命题 (1)在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题，在命题中，诸如“所有”“　每一个　”“　任意”　“　一切　”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示． (2)在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题，在命题中，诸如“有些”“有一个”“　存在一个　”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示． 4．全称量词命题、存在量词命题的否定 量词命题 量词命题的否定 结论 ∀x∈M，x具有性质p(x) ∃x∈M，x不具有性质p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 ∃x∈M，x具有性质p(x) ∀x∈M，x不具有性质p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 1．在判断充分、必要条件时，小可以推大，大不可以推小，如x>2(小范围)⇒x>1(大范围)，x>1(大范围) x>2(小范围)． 2．充要关系与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． 3．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词、否结论”． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)命题p的否定的否定是p.(　　) (2)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．(　　) (3)若p是q成立的充要条件，则可记为p⇔q.(　　) (4)“∃x∈M，x具有p(x)”与“∀x∈M，綈p(x)”的真假性相同．(　　) (5)“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．(　　) (6)“对顶角相等”是全称量词命题．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1．(BSD必修第一册P18练习T1(4)改编)“xy>0”是“x＜0，y＜0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 解析：B　[因为xy>0不能推出x＜0，y＜0，但x＜0，y＜0能推出xy>0，所以“xy>0”是“x＜0，y＜0”的必要不充分条件．] 2．(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数 f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)| > M”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：A　[若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得|f(x1)|＝|M|＋1， 取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1＞M，充分性成立； 取f(x)＝2x，D＝R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)＝|M|＋1， 取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1＞M，但此时函数f(x)的值域为(0，＋∞)，必要性不成立； 所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|＞M”的充分不必要条件．] 3．(2024·全国甲卷)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，则(　　) A．x＝－3是a⊥b的必要条件 B．x＝－3是a∥b的必要条件 C．x＝0是a⊥b的充分条件 D．x＝－1＋是a∥b的充分条件 解析：C　[若a⊥b，则x(x＋1)＋2x＝0， 即x2＋3x＝0，解得x＝0或x＝－3， ∴A错，C对；若a∥b，则2(x＋1)－x2＝0，即x2－2x－2＝0，解得x＝1±，故B、D错．] 4．“x(x－1)＝0”是“x＝1”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)． 解析：x(x－1)＝0⇒x＝0或x＝1，即x(x－1)＝0不一定有x＝1成立； 但x＝1能推出x(x－1)＝0成立．故“x(x－1)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 5．(忽视二次项系数的讨论)命题“∀x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围是　________　. 解析：①当a＝0时，1>0恒成立，∴a＝0满足条件， ②当a≠0时，解得0<a<4，综上，0≤a<4. 答案：[0,4) 　　　　　充分、必要条件的判定 1．若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [考题解读]　本题以两个等式为载体设置题目，考查逻辑推理，数学探索能力．充分必要条件是高考命制创新试题的重要载体，它与其他知识结合，题目具有一定的灵活性，能很好地考查学生的理性思维能力． 解析：C　[解法一：充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝＋＝－1－1＝－2，所以充分性成立； 必要性：因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0.所以必要性成立． 所以若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件． 解法二：充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0， 所以＋＝＝ ＝＝＝－2，所以充分性成立； 必要性：因为xy≠0，且＋＝－2， 所以＋＝＝ ＝＝－2＝－2， 所以＝0，所以(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立． 所以若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件．] 2．(2025·天津卷)设x∈R，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[由x＝0⇒sin 2x＝sin 0＝0，由sin 2x＝0⇒2x＝kπ，x＝，k∈Z不一定为x＝0， ∴sin 2x＝0 x＝0， ∴x＝0是sin 2x＝0的充分不必要条件．] 3．(多选)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中真命题是(　　) A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件 C．“a＜5”是“a＜3”的必要条件 D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 解析：CD　[对于A，因为“a＝b”时，ab＝bc成立，ac＝bc，c＝0时，a＝b不一定成立，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A错误；对于B，a＝－1，b＝－2，a＞b时，a2＜b2；a＝－2，b＝1，a2＞b2时，a＜b，所以“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故B错误；对于C，因为“a＜3”时一定有“a＜5”成立，所以“a＜5”是“a＜3”的必要条件，C正确；对于D，“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，D正确．] 判断充分、必要条件的3种方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题． (3)等价转化法：指对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止． 提醒：判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别，要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义． 　　利用充要条件求参数的取值(范围) [典例]　已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围． [解]　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴A＝{x|－2≤x≤10}． 由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A. 则∴0≤m≤3. ∴当0≤m≤3时，x∈A是x∈B的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]． [互动探究] 若将本例中条件改为“若x∈A是x∈B的必要不充分条件”，求m的取值范围． 解：由x∈A是x∈B的必要不充分条件，知BA， ∴或 解得0≤m≤3或0≤m<3， ∴0≤m≤3， 故m的取值范围是[0,3]． (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解． (2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件． 1．若“|x＋1|＝2”是“log2x＋2x＝a”的必要不充分条件，则实数a＝(　　) A．3　　　 B．2 C．1 　　 D．0 解析：B　[解|x＋1|＝2得x＝1或－3，设集合A＝{1，－3}，方程log2x＋2x＝a的解集为集合B，则BA且B≠∅，所以B＝{1}或B＝{－3}．当B＝{1}时，log21＋21＝a，所以a＝2；当B＝{－3}时，不成立．] 2．若(x－a)2＜4成立的一个充分不必要条件是1＋≤0，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，4] B．[1,4] C．(1,4) D．(1,4] 解析：D　[由(x－a)2＜4，可得a－2＜x＜a＋2； 由1＋＝≤0，则 可得2＜x≤3； ∵(x－a)2＜4成立的一个充分不必要条件是1＋≤0，∴可得1＜a≤4.] 全称量词命题与存在量词命题 ►[命题点1] 全称量词命题与存在量词命题的真假判断　 1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|＞1；命题q：∃x＞0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．p和q都是真命题 C．p和q都是真命题 D．p和q都是真命题 解析：B　[由x＝0不成立知p假，x＝1时成立知q真，所以选B.] 2．下列命题中，真命题是(　　) A．∃x∈，sin x＋cos x≥2 B．∀x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1 C．∃x∈R，x2＋x＝－1 D．∀x∈，tan x>sin x 解析：B　[对于选项A，sin x＋cos x＝ sin≤，所以此命题不成立；对于选项B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x>3时，(x－1)2－2>0，所以此命题成立；对于选项C，x2＋x＋1＝2＋>0，所以x2＋x＝－1对任意实数x都不成立，所以此命题不成立；对于选项D，当x∈时，tan x<0，sin x>0，命题显然不成立. ] 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称量词命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 存在量词命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假 假 所有对象使命题假 否定为真 　提醒：不管是全称量词命题，还是存在量词命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假． ►[命题点2]　含有一个量词的命题的否定　 1．已知命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x＜1，则p为(　　) A．∃x＜0，ex＜1且sin x≥1 B．∃x≥0，ex＜1且sin x≥1 C．∃x≥0，ex＜1或sin x≥1 D．∃x＜0，ex≥1或sin x≤1 解析：B　[命题是全称命题，因为命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x＜1，所以p：∃x≥0，ex＜1且sin x≥1.] 2．已知命题p：“存在x∈[1，＋∞)，使得(log23)x>1”，则下列说法正确的是(　　) A．p：“任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x<1” B．p：“不存在x∈[1，＋∞)，使得(log23)x<1” C．p：“任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x≤1” D．p：“任意x∈(－∞，1)，使得(log23)x≤1” 解析：C　[因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以p：“任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x≤1”．] 全称量词命题与存在量词命题的否定与命题的否定的区别 全称量词命题与存在量词命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称量词命题和存在量词命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可． 提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定． ►[命题点3]　参数的取值范围问题　 [典例]　(1)(多选)若∃x∈，使得2x2－λx＋1＜0成立是假命题，则实数λ可能取值是(　　) A. B．2 C．3 D. [解析]　∵若“∃x∈，使得2x2－λx＋1＜0成立”是假命题， 即“∃x∈，使得λ＞2x＋成立”是假命题， 即等价于“∀x∈，使得λ≤2x＋成立”是真命题． 令f(x)＝2x＋，x∈， 由对勾函数可知，当x∈时，f(x)在上单调递减，在上单调递增， ∴当x＝时，函数f(x)取最小值， 即f(x)min＝f＝2， ∴λ≤f(x)min＝2， 故实数λ的取值范围为(－∞，2 ]． [答案]　AB (2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是__________． [解析]　当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥.即实数m的取值范围为. [答案]　 [互动探究] 若将本例(2)中“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是__________． 解析：当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m， 由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥.即实数m的取值范围为. 答案： 对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决． 1．已知命题“∀x∈[1,4]，ex－－m≥0”为真命题，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，e－2]　　 B． C．[e－2，＋∞) D. 解析：A　[因为命题“∀x∈[1,4]，ex－－m≥0”为真命题，所以∀x∈[1,4]，m≤ex－. 令f(x)＝ex－，x∈[1,4]，y＝ex与y＝－在[1,4]上均为增函数，故f(x)为增函数，当x＝1时，f(x)有最小值e－2，即m≤e－2.] 2．若“∀x∈，tan x≥m”是真命题，则实数m的最大值为________． 解析：若“∀x∈，tan x≥m”是真命题， 则实数m小于等于函数y＝tan x在的最小值， 因为函数y＝tan x在上为增函数， 所以函数y＝tan x在上的最小值为－， 所以m≤－，即实数m的最大值为－. 答案：－ 学科网（北京）股份有限公司 $