第一章 第2节 常用逻辑用语-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

高考总复习数学(BS) 规律方法 (1)若B={-5,1},X=(1,-3,-3,5),写出Y, 集合新定义问题的方法和技巧 并求SB(Y); (1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为 (2)若B={b1,b2,b3},X=(1,-3,-3,5),求所 具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； 有SB(Y)的总和； (2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容， (3)对于给定的X=(1,2,3,x4),记x=m, 如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的 较为透彻； 求所有SB(Y)的总和（用含m的式子表示）. (3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中 体会信息的本质特征与规律； (4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此 信息与课本中概念的不同之处，以及什么情 况下可以使用书上的概念，要将“新”性质有 机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 跟踪训练 若非空集合A与B,存在对应关系f,使A中的每 一个元素a,B中总有唯一的元素b与它对应，则称 这种对应为从A到B的映射，记作f:A→B. 设集合A={-5,-3,-1,1,3,5},B={b1, b2,…,b.}(n∈N*,n≤6)且B二A.设有序四元 数集合P={X|X=（x1,x2,x3,x4),x:∈A且 i=1,2,3,4},Q=(YY=(y1y2,y3y4)}.对于 给定的集合B,定义映射f:P→Q,记为Y= f(X),按映射f,若x:∈B(i=1,2,3,4),则y= x:+1;若x:庄B(i=1,2,3,4),则y:=x.记 C温馨提西 SB(Y)=yi. 学习至此，请完成配套训练 课时冲关1 第2节 常用逻辑用语 ★[课程标准] 1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 2.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定 复盘>必备知识 打通教材强基固本 必备知识掌握 3.全称量词命题、存在量词命题 (1)在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性 1.命题的概念 质的命题叫作全称量词命题，在命题中，诸如 可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作 “所有”“ ”这样 命题 的词叫作全称量词，用符号“V”表示. (2)在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的 2.充分条件、必要条件与充要条件的概念 命题叫作存在量词命题，在命题中，诸如“有些” “有一个”“ ”这样的词叫作存在量 p是q的 ,g是p的 >q 词，用符号“了”表示. 4.全称量词命题、存在量词命题的否定 p是q的 条件 p→q且q为p 量词命题 量词命题的否定 结论 p是g的 条件 pPq且q→p Hx∈M,x具了x∈M,x不全称量词命题的否 有性质p(x) 具有性质p(x)定是存在量词命题 p是q的 条件 p台q 彐x∈M,x具Vx∈M,x不存在量词命题的否 p是q的 条件 pPq且qp 有性质p(x) 具有性质p(x)定是全称量词命题 主题一第一章集合与常用逻辑用语、不等式 …重要结论。 ◆[小题查验] 1.在判断充分、必要条件时，小可以推大，大不可 1.(BSD必修第一册P18练习T1(4)改编)“xy>0” 以推小，如x>2(小范围)→x>1(大范围)， 是“x<0,y<0”的 ) x>1(大范围)矜x>2(小范围) A.充分不必要条件 2.充要关系与集合的子集之间的关系 B.必要不充分条件 A=(xp(x)),B=xlg(x)), (1)若A二B,则p是q的充分条件，q是p的必 C.充要条件 要条件 D.即不充分也不必要条件 (2)若AB,则p是q的充分不必要条件，q是 2.(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为D, 卫的必要不充分条件. 则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R,存 (3)若A=B,则p是q的充要条件. 在xo∈D,使得|f(xo)|>M”的 () 3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词、否 A.充分不必要条件 结论” B.必要不充分条件 自主诊断查验 C.充分必要条件 ◆[思考辨析] D.既不充分也不必要条件 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 3.（2024·全国甲卷)设向量a=(x+1,x),b= 里打“/”，错误的打“X” (x,2),则 ( ) (1)命题p的否定的否定是p ( A.x=-3是a⊥b的必要条件 (2)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的 B.x=一3是a∥b的必要条件 必要条件. C.x=0是a⊥b的充分条件 (3)若p是q成立的充要条件，则可记为台q. D.x=-1+√3是a∥b的充分条件 (4)“]x∈M,x具有(x)”与“Hx∈M,p(x)”的 4.“x(x一1)=0”是“x=1”的 条件（选填 真假性相同. ( “充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也 (5)“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在 不必要”)， 量词命题 5.(忽视二次项系数的讨论)命题“Hx∈R,ax2一 (6)“对顶角相等”是全称量词命题. ax十1>0”为真命题，则实数a的取值范围是 跃升>关键能力 题型突破素养提升 题型1 充分、必要条件的判定 题后反思 判断充分、必要条件的3种方法 1.若xy≠0，则“x十y=0”是“义+工=一2”的 (1)定义法：根据p→q,q→p进行判断，适用于 y 定义、定理判断性问题 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 (2)集合法：根据p,q成立的对象的集合之间的 包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 母范围的推断问题. [考题解读]本题以两个等式为载体设置题 (3)等价转化法：指对所给题目的条件进行一系 目，考查逻辑推理，数学探索能力.充分必要条件 列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必 是高考命制创新试题的重要载体，它与其他知识 要条件是否成立为止. 结合，题目具有一定的灵活性，能很好地考查学 提醒：判断条件之间的关系要注意条件之间关 生的理性思维能力 系的方向，要注意“A是B的充分不必要条件” 2.(2025·天津卷)设x∈R,则“x=0”是“sin2x=0”的 与“A的充分不必要条件是B”的区别，要正确理 ( 解“p的一个充分不必要条件是q”的含义： A.充分不必要条件 题型2〔利用充要条件求参数的取值（范围） B.必要而不充分条件 [典例]已知集合A={x|x2-8x-20≤0}，非空集 C.充要条件 合B={xl1-m≤x≤1十m以.若x∈A是x∈B的必 D.既不充分也不必要条件 要条件，求m的取值范围. 3.(多选)对任意实数a,b,,给出下列命题，其中真 命题是 A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件 B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件 C.“a<5”是“a<3”的必要条件 D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 5。 高考总复习数学(BS) O[互动探究] 题后反思 若将本例中条件改为“若x∈A是x∈B的必要 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 不充分条件”，求m的取值范围. 命题名称 真假 判断方法 判断方法一 全称量词 所有对象使命题真 否定为假 命题 度 存在一个对象使命题假 否定为真 存在量词 真 存在一个对象使命题真 否定为假 命题 度 所有对象使命题假 否定为真 提醒：不管是全称量词命题，还是存在量词命 题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其 否定的真假. [命题点2]含有一个量词的命题的否定 1.已知命题p:Hx≥0，e≥1或sinx<1,则p为 A.3.x<0,e<1且sinx≥1 方法指导 B.3x≥0，ex<1且sinx≥l (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件 C.3x≥0，ex<1或sinx≥1 或充要条件转化为集合之间的关系，然后根 D.]x<0,e≥l或sinx≤1 据集合之间的关系列出关于参数的不等式 2.已知命题p:“存在x∈[1，+∞)，使得(log23) 求解」 >1”,则下列说法正确的是 () (2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若 A.p:“任意x∈[1，+o∞)，使得(1og23)x<1” 一p是一g的充分不必要（必要不充分、充要）条 B.p:“不存在x∈[1，十o∞)，使得(1og23)r<1” 件，则p是q的必要不充分（充分不必要、充要） C.p:“任意x∈[1，十∞)，使得(l0g23)x≤1” 条件 D.p:“任意x∈（一o∞，1），使得(log23)x≤1” 跟踪训练 题后反思 1.若“|x十1|=2”是“log2x十2x=a”的必要不充分 全称量词命题与存在量词命题的否定与命题的 条件，则实数a= ) 否定的区别 A.3 B.2 C.1 D.0 全称量词命题与存在量词命题的否定与命题的否 2.若(x-a)2<4成立的一个充分不必要条件是 定有一定的区别，否定全称量词命题和存在量词命 1十士≤0，则实数a的取值范用为 题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词， 存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一 A.(-∞，4] B.[1,4] 般命题的否定只需直接否定结论即可. C.(1,4) D.(1,4] 提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含 题型3〔全称量词命题与存在量词命题 的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的 [命题点1]全称量词命题与存在量词命题的真 否定 假判断 P[命题点3] 参数的取值范围问题 1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:Hx∈R,|x+1 [典例们 >1;命题q:3x>0,x3=x,则 1(多选)考3[分2]使得22-Xx+1 A.p和q都是真命题 <0成立是假命题，则实数入可能取值是 ( B.一p和g都是真命题 A B.2√2 C.3 0. C.p和q都是真命题 D.一p和q都是真命题 (2)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)= 2 一m 2.下列命题中，真命题是 若对Hx1∈[0,3]，3x2∈[1,2]，使得f(.x1)≥ A.],sin cos2 g(x2),则实数m的取值范围是 。[互动探究] B.Hx∈(3，+o∞)，x2>2x+1 C.3x∈R,x2+x=-1 若将本例(2)中“3x2∈[1,2]”改为“Hx2∈ D￥ae(倍xjan>sin [1,2]”,其他条件不变，则实数m的取值范围是 ·6 主题一第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 方法指导 对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题， A.(-∞，e-2 B 可根据命题的含义，利用函数值域（或最值） C.[e-2,+o∞) D.[e-2,+∞ 解决。 :跟踪训练 2.若Vx∈【一号，]tanx≥m”是真命题，则实 数m的最大值为 1.已知命题“Vx∈[1,4]，ex- m≥0”为真命 C温馨提 题，则实数m的取值范围为 ( ) 学习至此，请完成配套训练 课时冲关2 第3节 不等式 第1课时 不等式的性质 ★[课程标准] 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.2.了解不等式（组）的实际背景.3.掌握不等式的性质及应用. 复盘>必备知识 打通教材强基固本 必备知识掌握 自主诊断查验 1.两个实数比较大小的方法 ◆[思考辨析] a-b>0a b, 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 (1)作差法{a-b=0台a=b, 里打“/”，错误的打“×” (a-b<0=ab. (1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个 [8>1sa b(a∈R,b>0), 数，不等号方向不变 (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小.( ) (2)作商法 =1→a=b(a∈R,b>0), 6 (3)同向不等式具有可加和可乘性. ( ) a l→a b(a∈R,b>0). (4)a>b>0,c>d>0→g>b ) 2.不等式的性质 性质 性质内容 注意 (5)若ab>0,则a>b=1<1 性质1如果a>b且b>c,那么a>c ◆[小题查验] 1.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关 性质2如果a>b,那么a十c>b十c 台 系是 () A.M>N B.M-N 性质3 如果a>b,c>0那么ac>bc: c的 如果a>b,c<0那么ac<bc 符号 C.M<N D.与x有关 性质4如果a>b,c>d,那么a十c>b+d 2.若a,b都是实数，则“√a-√b>0”是“a2->0”的 性质5 如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd A.充分不必要条件B.必要不充分条件 如果a>b>0,c<d<0,那么ac<bd C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(多选)对于实数a,b,c,下列命题是真命题的为 性质6 当a>b>0时，a>5(n∈a,b同 () N+,n≥2) 为正数 …重要结论 A.若a>b,则1<1 不等式的一些常用性质 B.若a>b,则ac2≥bc2 1.倒数性质的几个必备结论 C.若a>0>b,则a2<-ab (1)a>b,ab>0→1<1： D.若c>a>b>0,则a>b c-a c-b (2)a<0<b1<1 4.(BSD必修第一册P26练习T5改编)已知a,b, c∈R,且a>b,则下列不等式中成立的是() 2.两个重要不等式 若a>b>0,m>0,则 A.ac>bc 、bb+m,b>b-m(b-m>0): (1) aa+m'a≤a-m C.a2>62 D.a+c>b+c (2)只>a十+m:2<a-m(6-m>0). 5.(忽视不等式的性质致误)若实数a,b满足0< b+mib b-m a<2,0<b<1,则a-b的取值范围是高考总复习数学(BS) a2十a=ag十a4,去掉a2后，得a1十 a5=a3十a4,两式矛盾，故n=5时，集 合不是“和谐集”；当n=7时，设A= {1,3,5,7,9,11,13},去掉1后，3十5 +7+9=11+13,去掉3后，1+9+13 =5+7+11,去掉5后，9+13=1+3 +7十11，去掉7后，1+9+11=3+5 +13,去掉9后，1+3+5+11=7+ 13,去掉11后，3+7+9=1+5+13， 去掉13后，1十3十5十9=7+11，故A ={1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集”，元 素个数的最小值为7. 跟踪训练 解：(1)由题意知，Y=f(X)=f((1, -3,-3,5))=(1+1,-3,-3,5)= (2,-3,-3,5),所以SB(Y)=2-3 3+5=1. (2)对1，一3,5是否属于B进行讨论： ①含1的B的个数为C号=10，此时在 映射f下，y1=1十1=2： 不含1的B的个数为C=10,此时在 映射f下，y1=1; 所以所有Y中2的总个数和1的总个 数均为10： ②含5的B的个数为C=10,此时在 映射f下，y4=5十1=6： 不含5的B的个数为C=10,此时在 映射f下，y4=5: 所以所有Y中6的总个数和5的总个 数均为10； ②含一3的B的个数为C=10,此时 在映射f下，2=-3+1=一2，y3= -3十1=-2： 不含一3的B的个数为C=10,此时 在映射f下，2 =一3,3 -3 所以所有y中一2的总个数和一3的 总个数均为20， 综上，所有SB(Y)的总和为10×(1十 2+5+6)+20×(-2-3)=140-100 =40. (3)对于给定的X=(x1,x2,x3,x4), 考虑x1在映射f下的变化， 由于在A的所有非空子集中，含有工 的子集B共25个，所以在映射f下， x1变为y=x1十1： 不含工1的子集B共25一1个，在映射 f下，x1变为y1=工1 所以在映射f下得到的所有y1的和 为25(x1十1)十(2-1)x1=63x1 +32 同理，在映射f下得到的所有y:(i= 2,3,4)的和2(x:十1)十(2-1)x:= 63.x:+32. 所以所有SB(Y)的总和为63(x1十x2 +x3+x4)+32×4=63m+128. 第2节 复盘·必备知识必备知识掌握 2.充分条件必要条件充分不必要 必要不充分 充要既不充分也不必要 3.(1)每一个任意 一切(2)存在一个 自主诊断查验思考辨析 (1)/(2)/ (3)/ (4)×(5)/ (6)/ 小题查验 1.B[因为xy>0不能推出x<0,y<0, 但x<0,y0能推出xy>0,所以“xy> 0”是“x<0,y<0”的必要不充分 条件，」 2,A[若函数f(x)的值域为R,则对任 意M∈R,一定存在r1∈D,使得 f(.x1)|=|M+1, 取xo=x,则|f(xo)川-|M|+1>M,2.A[由x=0户sin2x=sin0=0, 充分性成立： 取f(x)=22,D=R,则对任意M∈R, 由sim2x=0→2x=kr,x=年，k∈Z 2 一定存在x1∈D,使得f(x1)=M 不一定为x=0, +1, .sin2x=0为x=0, 取xo=x1,则|f(xo)|=|M+1>M, x=0是sin2x=0的充分不必要条件.] 但此时函数f(x)的值域为(0，十o), 3.CD[对于A,因为“a=b”时，ab=bc 必要性不成立： 成立，ac=bc,c=0时，a=b不一定成 所以“函数f(x)的值域为R”是“对任 立，所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必 意M∈R,存在xo∈D,使得|f(xo)| 要条件，故A错误；对于B,a=一1， >”的充分不必要条件，故选：A.] D= -2,a>b时，a2<b2:a=-2,b= 3.C[若a⊥b,则x(x十1)+2x=0, 1,a2>b2时，a<b,所以“a>b”是“a2 即x2+3x=0,解得x=0或x=一3， >?”的既不充分也不必要条件，故B错 .A错，C对：若a∥b,则2(x+1)- 误；对于C,因为“a<3”时一定有“a<5” x2=0,即x2-2x-2=0,解得x= 成立，所以“a<5”是“a<3”的必要条件， 1士√5，故B、D错.门 C正确；对于D,“a十5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，D正确.] 4.解析：x(x一1)=0→x=0或x=1,即 题型2 x(x-1)=0不一定有x=1成立； 典例][解]由x2一8.x-20≤0，得 但x=1能推出x(x-1)=0成立.故 -2x10, “x(x一1)=0”是“x=1”的必要不充 ,∴.A={x|-2≤x10}. 分条件， 由x∈A是x∈B的必要条件，知 答案：必要不充分 BCA. 5.解析：①当a=0时，1>0恒成立， (1一m1+m, ∴.a=0满足条件， 则{1-n≥-2，.0≤m≤3. 解得 ②当a≠0时，4=a2-<0,解 （1+m10, ,∴.当0n3时，x∈A是x∈B的必要 0<a<4,综上，0a<4. 条件，即所求n的取值范国是[0,3]. 答案：[0,4) 互动探究 跃升·关键能力题型1 解：由x∈A是x∈B的必要不充分条 1.C[解法一：充分性：因为xy≠0，且 件，知BA, x十y=0,所以x=一y,所以工+义 t1-n1+m, t1-n1+m, .1-m≥-2，或1-m>-2, =二义+义=一1-1=一2，所以充 (1+m<10 （1+m≤10， -y 解得0m≤3或0n3, 分性成立： .0n3, 故m的取值范国是[0,3]. 必要性：因为xy≠0，且二十义=一2， y 跟踪训练 所以x2十y2=-2xy,即x2+y2+2.xy 1.B[解|x十1|=2得x=1或一3，设 =0,即(x十y)2=0,所以x十y-0.所以 集合A={1,-3},方程log2x+2=a 的解集为集合B,则BA且B≠心， 必要性成立， 所以B={1}或B=《-3}.当B=《1} 所以若xy≠0，则“x十y=0”是“工十 时，log21十2=a,所以a=2;当B= {一3}时，不成立，] 卫=一2”的充要条件 2.D[由(x-a)2<4, 解法二：充分性：因为xy≠0，且x十y 可得a-2<xa十2： =0, 1_3-工≤0， 所以5+之-十 由1十2-x2x 则(x-2)(x-3)≤0， ty2+2ry-2xy 2一x≠0， 可得2x3: ry :(x-a)2<4成立的一个充分不必 =+2-2xy=二2xy=一2，所以 xy 要条件是1+2-≤0， 充分性成立： 必要性：因为xy≠0，且二十义 a≤：可得1<a≤4.] 1a+2>3, 题型3命题点1 =-2, 1.B[由x=0不成立知p假，x=1时 所以长+义=2+y 成立知q真，所以选B.] xy 2.B[对于选项A,sinx十cosx= =2+y2+2xy-2xy ry Esin(+无)≤E,所以此命题不成 =（x+y)2-2xy-(x+y)2 -2 立；对于选项B,x2-2x-1= ry Iy (x-1)2-2,当x>3时，(x-1)2-2 =-2, >0,所以此命题成立：对于选项C, 所以x十y)2 =0,所以(x十y)2=0, ++1=(+)）+是>0，所以 所以x十y=0,所以必要性成立， x2十x=一1对任意实数x都不成立，所 所以若xy≠0，则“x十y=0”是“工十 以此命题不成立：对于选项D,当x∈ y =一2”的充要条件.] (受，x）时，anx<0,sinx>0,命题显 然不成立.] ·378· 命题点2 1.B[命题是全称命题，因为命题p: 因为品数1n在[吾受]上 Hx≥0，e≥1或sinx<1,所以7p: 为增函数，所以函数y=tanr在 ]x≥0，ex1且sinx≥1.] 2,C[因为存在量词命题的否定是全称量 [吾]上的最小值为一，所以 词命题，所以7p:“任意x∈[1，十∞)，使 m≤一√3，即实数m的最大值为一√尽. 得(1og23)r≤1”.] 答案：一√5 命题点3 :若“3x∈ 第3节 第1课时 [典例](1)[解析] 复盘·必备知识必备知识掌握 [合，2]使得22-Xx+1<0成立” 1.(1)>(2)> 是假命题 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)× 即“e[合2小使得>2x+成 (3)×(4)/(5)/ 小题查验 立”是假命题， 即等食手z[宁2小 1.ACM-N-+z+1=(+号) +三>0，所以M>N.] 4 使得A≤2x十 成立”是真命题。 2.A[Va-b>0→a>b≥0→a2>b2→ 令f(x)=2.x+ a2-2>0,反之不成立，∴.“√a-√D 0”是“a2-2>0”的充分不必要 由对勾函数可知，当[，2]时， 条件. 3.BD[根据a>b,取a=1,b=-1,则 f)在[号]上单调递成，在 合<六不成立，放A错误0>0 (号2]上单调适增。 .由不等式的基本性质知a2≥bc2成 立，故B正确：由a>0>b,取a=1,b= .当x= 巨时，函数f(x)取最小值， -1,则a2<-ab不成立，故C错误； c>a>b>0,.(a-b)c>0,..ac-ab 即f(x)mn () =2√2， >b-ab,a(c-b)>b(c-a)..'c-a ∴A≤f(x)min=2VE, >0-6>0,兰。>故D 正确.] 故实数入的取值范国为（一∞，2√2]. [答案]AB 4.D[当c≤0时，不等式ac>bc不成 (2)[解析]当x∈[0,3]时，f(x)m 立，故A不正确：当a>0,b<0时，不 =f(0)=0,当x∈[1,2]时，g(x）mim 等式。<不成立，北B不正确：当 g(2)= 4 m,由f(x）mn≥g(x）min, a=-1,b=一2时，不等式a2>2不 成立，故C不正确：由不等式的性质 得0≥ 1 n,所以m≥ 4 ,即实数m 知，选项D正确.门 5.解析：，0<b<1,∴.一1<-b<0, 的取值范为[片十) 0<a2, ,.-1a-b<2 [答案] 答案：（一1,2） 互动探究 跃升·关键能力题型1 解析：当x∈[1,2]时，g(x)max-g(1) [典例](1)[解析]，x=a十be, 、1 y=6+aea,z=b+aeb, 2一 m,由f(x)min≥g（xmax,得 ∴.y-x=a(eeb), 0 、1 mm≥子即实数m的取 又a>b>0,e>1,∴.em>eb,∴.y>z, z-x=(b-a)+(a-b)eb=(a-b) 值范国为[+) (-1),又a>b>0,eb>1.>x, 综上，x<<y 答案：[，+∞） [答案]A 跟踪训练 (2)[解析]法一：M-N= e2023+1 e224+1 1.A[因为命题“Vx∈[1,4]，e2-2 e2024+1 一m≥0”为真命题，所以1x∈[1,4]， e2025+1 nse2 (e2023+1)(e2025十1)-(e2024+1)2 x (e2024+1)(e2025+1) 令f(x)=ex- 2 e2023+e2025-2e2024 ,x∈[1,4]，y=e (e2024+1)(e202+1) 与y=- 2在[1,4上均为增函数，故 e223(e-1)2 (e2024+1)(e2025+1>0, f(x)为增函数，当x=1时，f(x)有最 ∴.M>N. 小值e一2，即me-2.] 2.解析：若“Hx∈ [-，]amr≥ 法二：令f(x)=e+1 ex+1+1 n”是真命题， (e+1+1)+1- 则实数m小于等于函数y=tanx在 =e e ex+1+1 [一，]的最小， ·379· 参考答案 e 1士T:显然f(x)是R上的 减函数， ∴.f(2023)>f(2024),即M>N. [答案]M>N 跟踪训练 1.解析：由基本不等式可知，G≤A,当且 仅当a=b时等号成立：因为H一G a+√硒+b-√a而 3 -a-2画+b-a-D)2≥0，当且 3 3 仅当a=√b,即a=b时等号成立，所 以H≥G,因为H-A=a十a5+b 3 atb_-a+2vab-b_(Ja-18)2 2 6 6 ≤0，当且仅当√a=√b,即a=b时等号成 立，所以H≤A综上所述，GHA,当 且仅当a=b时等号成立. 答案：G≤H≤A 2.解：周为a-号2>06号>0，所以 -3品--®9 b >1,所以a>b. 题型2 1.B[对于A,取x=y,该不等式成立， 但不满足x>y;对于C,该不等式等价 于x+上>y+2,取x→0，y=1,孩 不等式成立，但不满足x>y:对于D, 该不等式等价于x十子>y十，取 x0,y=1,该不等式成立，但不满足 x>y;下面证明B: 法-：不学式等价于一>y 1 而x一 >一六>y画数 1 f(x)=x- 上在(0，十∞)上单增，故 r>y. 张二若则方<子此十安 1 <y叶士子盾，故>] 2.D[对于A,因为a>b,所以a十c>b十 C,故A结论正确；对于B,当a>b>0 时，因为暴函数y=x04在(0，十∞)上 单调递增，所以a4>b0.4,故B结论 正确；对于C,因为a>b,所以a十c> b十c,而函数y (宁)为减画数，所 以()<（） ,故C结论正 确；对于D, 一 afc 以aa+,因为 b(atc)-a(btc)c(b-a) a(a+c) a>b>0,c>0,所以c(b-a)0,a(a +c)>0,所以么-+=c6-a< a atc a(a+c) 0,所以<士，故D结论错误.] aa十c 3.BD[对于A,取特殊值a=2,b=1, c=-1,满足a>b>c,但ac<bc,故A 不正确；对于B,因为a,b,c均为非零 实数，且a>b>c,所以c2>0,所以ac2 >b2,故B正确：对于C,取特殊值