第一章 第1节 集合（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

必修第一册 第一章 主题一预备知识 集合与常用逻辑用语、不等式 第1节集合 ★[课程标准] 1.了解集合的含义，了解全集与空集的含义，体会元素与集合的属于关系 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，会求给定子集的补集。 4.能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，能使用韦恩(Venn)图表达集合 的基本关系及集合的基本运算. 复盘~必备知识 学生用书P1 打通教材强基固本 必备知识掌握 表示 1.集合的基本概念 运算 文字语言 集合 语言 图形语言 记法 (1)集合元素的性质：确定性、无序性、互异性， (2)元素与集合的关系 把所有既属于 ①属于，记为∈；②不属于，记为廷 A又属于B (3)常见数集的记法 交 的元素组成的 集 ∈A,且 A∩B 集合，称为A,x∈B 集合 自然 正整 整数集 有理 数集 数集 数集 实数集 B的交集 符号 N N(或N) Q R 若A是全集 (4)集合的表示方法：①列举法；②描述法；③图示法 U的子集，U 2.集合间的基本关系 xI 补 中不属于A ∈U,且 关系 自然语言 符号语言 Venn图 集 的元素组成的 xEA》 子集叫作A 如果集合A的每个 的补集 元素都是集合B的 子 元素，就说A包含于A二B(或 …重要结论。 集 B,或者说B包含A,B二A) 或A(B) 1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2”个， 若A包含于B,则称 A是B的一个子集 真子集有2一1个，非空真子集有2”一2个， 2.A二B台A∩B=A台AUB=B台CUBC CvA. 真 如果A三B但A≠B,AB(或 3.C(A∩B)=(CA)U(CB),C(AUB)=(CA)∩ 集 就说A是B的真子集 B军A) (CeB). 集合 如果A三B并且B三 自主诊断查验 相等 A,就说两个集合 A=B A(B) 相等 ◆[思考辨析] 3.集合的基本运算 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 打“/”，错误的打“×” 表示 文字语言 集合 图形语言 记法 (1)0={0}. ( ) 运算 语言 (2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素 把所有集合 集合的子集 () A、B中的元 (3)a在集合A中，可用符号表示为a二A.( 素放在一起组 xx 并 (4)N∈N+≤Z. 成的集合，叫 ∈A,或 AUB 集 做A和B的x∈B (5)若A={xy=x2},B={(x,y)川y=x},则A∩B= 并集，简称 {xx∈R. () 为并 答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)× 高考总复习数学(BS) ◆[小题查验] 解析：D[因为A=(1,2,3,4,5,9},B={x√x∈ 1.若集合A={x∈Nx≤√2025}，a=4√2，则下面结 A},所以B={1,4,9,16,25,81},则A∩B={1,4, 论中正确的是 ( 9},C(A∩B)={2,3,5}.] A.{a}三A B.aCA 4.(BSD必修第一册P。例6改编)若集合A={x|一1 C.{a}∈A D.aA <x<5},B={x|x≤1或x≥4}，则AUB= 答案：D A∩B= 2.(2025·全国一卷)已知全集U={x|x是小于9的 解析：因为A={x|-1<x<5},B={x|x≤1或 正整数}，集合A={1,3,5},则CA中元素的个 数为 ( x≥4}，所以AUB=R,A∩B={x|-1<x≤1或 A.0 B.3 C.5 D.8 4≤x<5}. 解析：C[由题可知，全集U中有8个元素，集合 答案：R{x|-1<x≤1或4≤x<5} A中有3个元素，所以CA中元素的个数为8-3 5.(忽视空集讨论)已知集合M={x|x-a=0},N= =5,选C.] {xa.x-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是 3.(2024·全国甲卷)集合A={1,2,3,4,5,9},B= {x|√G∈A},则CA(A∩B)= ( 解析：由题易得M={a},,'M∩N=N,.N≤M, A.{1,4,9} B.{3,4,9》 ∴.N=心或N=M,.a=0或a=±1. C.{1,2,3》 D.{2,3,5} 答案：0或1或-1 跃升>关键能力 学生用书P2 题型突破素养提升 题型1（ 集合的基本概念 由a2-3a与a+2+7互异，得a≠-1. a 1.已知集合A={x|-1<x<3,x∈N},B={C引C三 故a=-2或a=4.又4B,即4度{|a-2|,3}, A},则集合B中元素的个数为 所以|a一2≠4，解得a≠-2且a≠6. A.6 B.7 C.8 D.9 综上所述，a的取值集合为{4}. 解析：C[因为集合A={x|-1<x<3,x∈N}, 答案：{4} 所以A={0,1,2},因为B={CC二A}, 4.已知集合A={1,2,3},B={1,m,n},若3-m∈A, 所以B中的元素为A的子集，即B有23=8个.] n十1∈A,则非零实数m十n的可能取值集合是 2.(多选)已知集合{x|mx2一2x十1=0}={n},则 m十n的值可能为 ( ) 解析：因为3一m∈A,所以3-m=1或3-m=2或 3-m=3, A.0 C.1 D.2 解得m=2或m=1或m=0,因为n十1∈A,所以 解析：BD[因为集合{xmx2-2x十1=0}={n}, n+1=1或n+1=2或n+1=3, 「m≠0， 解得n=0或n=1或n=2, 所以∫m=0, 或 △=4-4m=0, 1-2n+1=0 又因为B=m,n·所以{0或m=0, -2 {n=2, n=- 2m 即m+n=2. m=0, 解得 1或/n=1, 答案：{2} n 2 (n=1, 规律方法 与集合中的元素有关问题的求解策略 所以m十n=专或m十a=2.] (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代 表元素的含义，再看元素的限制条件，明确 3.设A={3a-3aa+2+7}B=a-2,3, 集合的类型，是数集、点集还是其他类型 已知4∈A且4￠B,则a的取值集合为 集合. 解折：因为4长A,即4∈{纪，30-3aa+是+7}： (2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的 影响较大，特别是含有字母的集合，在求出 字母的值后，要注意检验集合中的元素是否 所以a2-3a=4或a十 2+7= 满足互异性， 若a2-3a=4,则a=-1或a=4; (3)对于集合相等首先要分析已知元素与另一 若a十2+7=4，即a2+3a十2=0，则a=-1 个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出 方程（组）进行求解，要注意检验是否满足互 或a=-2. 异性 ·2 主题一 第一章集合与常用逻辑用语、不等式 题型2 集合间的基本关系 跟踪训练 [典例] (1)若集合A={x∈N|x≤√/2025}，实数a 1.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合 满足{a2-4a+12=1少，则下列结论正确的是 构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为 对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合 ( A={-1,2},B={xa.x2=2,a≥0}，若这两个 A.{a}三A B.a二A 集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则α的取值集合为 C.{a}∈A D.aA [解析]因为2-wa+12=1,所以42-4√3a十12 解析：当a=0时，B=心，此时满足B二A, =0,解得a=2√3， 因为A={x∈Nx≤√2025}，所以aA. 当a≥0时，B={√图}光时A,B只 所以{a}三A,a二A,{a}∈A均为错误表述。 能是“蚕食”关系， [答案]D (2)已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤7}，B= 所以当A,B集合有公共元素 2=一1时， {xm十1≤x≤2m-1},则使B三A成立的实数m 解得a=2, 的取值范围是 [解析]①当B=必时，则m十1>2m-1,即m<2, 当A,B集合有公共元素 2 =2时，解得a= 此时B二A成立，符合题意， ②当B≠时， 故的取位合为{，2 fm+1≤2m-1, m十1≥-2，解得2≤m≤4. 答案：0，合2} 2m-17, 2.已知集合A={1,2,B={xx2+mx+1=0,x∈R}, 综上，实数m的取值范围是（一∞，4]. 若B二A,则实数m的取值范围为 [答案](-∞，4] 解析：①若B=心，则△=m2-4<0,解得-2<m<2. 。[互动探究] ②若1∈B,则12十m十1=0， 在本例(2)中，若把“B三A”改为“A三CB”,则实数 解得m=一2，此时B={1},符合题意； m的取值范围是 ③若2∈B,则22+2m+1=0, 解析：①当B≠时，则m十1≤2m-1,即m≥2， 解得m=一 因为集合A={x|-2≤x≤7}，B={xm十1≤x≤ ，此时B={,}不符合题意 2m-1}, 综上所述，实数m的取值范围为[一2,2) 则CB={xx<m+1或x>2m-1}, 答案：[-2,2) 又A三CB,则m+1>7或2m-1<-2, 题型3 集合的基本运算 解得m>6或m<-号又m≥2，所以m>6: 》[命题点1]求交集、并集 ②当B=必时，则m十1>2n-1,即m<2, 1.(2025·全国二卷)已知集合A={一4,0,1,2,8}，B 此时CB=R,符合题意， ={xx3=x},则A∩B 综上所述，实数m的取值范围为m>6或m<2. A.{0,1,2} B.{1,2,8} 答案：(-o∞，2)U(6,十o∞) C.{2,8 D.{0,1} 方法指导 解析：D[x3=x,即x3-x=0,所以x(x+1)(x 由集合的关系求参数的关键点 1)=0,解得x=0,-1或1，即B={0,1,-1},所以 由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系 A∩B={0,1}.] 转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关 2.(2025·北京卷)集合M={x2x-1>5},N={1, 系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图 2,3},则M∩N= 帮助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区间端 A.{1,2,3} B.{2,3} 点的取舍 C.{3} D.⑦ 提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的 解析：D[因为M={x2x-1>5}={xx>3},所 情况 以MnN=☑.] 3 高考总复习数学(BS) [命题点2]集合的交、并、补的综合运算 方法指导 1.(2025·天津卷)已知全集U={1,2,3,4,5},集合 解集合运算问题应注意以下三点 A=1,3},B={2,3,5},则C(AUB)=( (1)看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集合中 A.{1,2,3,4}》 B.{2,3,4》 元素的构成入手是解决集合运算问题的关键. C.{2,4} D.{4} (2)对集合化简.有些集合是可以化简的，先化简再 解析：D[A=(1,3},B={2,3,5},AUB={1,2, 研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易 3,5},.Cu(AUB)={4}.] 于解决 2.(2025·上海卷)已知全集U={x|2≤x≤5，x∈ (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形 R},集合A={x|2≤x<4,x∈R},则A= 式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图. 提醒：Venn图图示法和数轴图示法是进行集合 解析：，U={x2≤x≤5}，A={x2≤x<4}, 交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法 .A={x4≤x≤5}. 要特别注意端点是实心还是空心. 答案：{x4≤x≤5} 跟踪训练 [命题点3]利用集合的基本运算求参数的取值 (范围) 1.已知集合A={-1,1},B={xa.x=1},若A∩B= B,则a的取值集合为 ) [典例](1)已知集合A={1,3,a2},B={1,a+2}, A.{1} B.{-1} AUB=A,则实数a的值构成的集合为 ( C.{-1,1} D.{-1,0,1} A.{2} B.{-1,2} 解析：D[由A∩B=B,知B三A,因为A={-1,1}, C.{1,2} D.{0,2} B={xax=1},若B=⑦，则方程ax=1无解，所 [解析]由AUB=A知：B二A,当a+2=3,即 以a=0满足题意；若B≠☑，则B={xax=1} a=1,则a2=1,与集合中元素的互异性矛盾，不符 合；当a十2=a2,即a=-1或a=2.若a=-1,则 {女=}：图为BCA,所以日-士1.则a=士1 a=1,与集合中元素的互异性矛盾，不符合；若a 满足题意，故实数a取值的集合为{-1,0,1}.] 2,则A={1,3,4},B={1,4},满足要求.综 2.设集合M={xx=3k+1,k∈Z},N={.xx=3k+ 2,k∈Z},U为整数集，则Cu(MUN)=() 上，a=2. A.{x|x=3k,k∈Z}B.{x|x=3k-1,k∈Z} [答案]A C.{xx=3k-2,k∈Z}D. (2)设集合A={xx2+2x-3>0},集合B={xx2 解析：A[因为整数集U={x|x=3k,k∈Z}U{x -2a.x-1≤0，a>0},若A∩B中恰含有一个整数， x=3k+1,k∈Z}U{x|x=3k+2,k∈Z},所以 则实数a的取值范围是 C (MUN)=(xlz=3k,kEZ).] A(o,) [) 题型4 集合的新定义问题 c.[是+∞ D.(1,+∞) [典例]对于正整数集合A={a1,a2,…,an}(n N*,n≥3)如果去掉其中任意一个元素a,(i=1,2, [解析]A={xx2十2x-3>0}={x|x>1或x< …,n)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为 -3},设函数f(x)=x2-2ax-1,因为函数f(x) 两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素 =x2-2a.x-1图象的对称轴为直线x=a(a>0), 之和相等，就称集合A为“和谐集” f(0)=一1<0，根据对称性可知，若A∩B中恰有 (1)判断集合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集”，并说明 理由； 一个整数，则这个整数为2，所以有 f(2)≤0， 即 f(3)>0, (2)求证：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素 个数为奇数； 3 a 4a-1≤0， (3)若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数的 所以 即3<a< -6a-1>0, 4 4 最小值 3 [解](1)当集合{1,2,3,4,5}去掉元素2时，剩下 [答案]B 元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况： (1,3},{4,5}；(1,4},{3,5};{1,5},{3,4};{1},{3, 主题一第一章集合与常用逻辑用语、不等式 4,5}:{3},{1,4,5}；{4},{1,3,5}:{5},{1,3,4},经 ={X|X=(x1,x2,x3,x4),x,∈A且i=1,2,3,4}, 过计算可以发现每两个集合的所有元素之和不相 Q={YY=（y1,y2,y3,y4).对于给定的集合B, 等，故集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”. 定义映射f:P→Q,记为Y=f(X),按映射f,若x (2)设正整数集合A={a1,a2,…,an}(n∈N,n≥ ∈B(i=1,2,3,4),则y:=x,+1;若x,B(i=1,2, 3)所有元素之和为M,由题意可知M-a,(i=1,2, 3,4),则y,=x.记SB(Y)=y …,n)均为偶数，因此任意一个元素a,(i=1,2,…, =1 (1)若B={-5,1},X=(1,-3,-3,5),写出Y,并 n)的奇偶性相同. 求SB(Y)； 若M是奇数，所以a,(i=1,2,…,n)也都是奇数， (2)若B={b1,b2,b3},X=(1,-3,-3,5),求所有 由于M=a1十a2十…十am,显然n为奇数； 若M是偶数，所以a,(i=1,2,…,n)也都是偶数. SB(Y)的总和； 此时设a,=2b,(i=1,2,…,n),显然{b1,b2,…,bn} (3)对于给定的X=(1x),记2x=m 也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以使得 求所有SB(Y)的总和（用含m的式子表示）. 各项都为奇数的“和谐集”，此时各项的和也是奇 解：(1)由题意知，Y=f(X)=f(1,-3,-3,5) 数，集合A中元素的个数也是奇数，综上所述：若 =(1+1,-3,-3,5)=(2,-3,-3,5), 集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数. 所以SB(Y)=2-3-3+5=1. (3)由(2)知集合A中元素个数为奇数，显然n=3 (2)对1，-3,5是否属于B进行讨论： 时，集合不是“和谐集”；当n=5时，不妨设a1<a2 ①含1的B的个数为C%=10,此时在映射f下， <a3<a4<a5,若A为“和谐集”，去掉a1后，得a2 y1=1+1=2; 十a5=a3十a4,去掉a2后，得a1十a5=a3十a4,两式 不含1的B的个数为C=10,此时在映射f下， 矛盾，故n=5时，集合不是“和谐集”；当n=7时， y1=1; 设A={1,3,5,7,9,11,13},去掉1后，3+5+7十9 所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10： =11+13,去掉3后，1+9+13=5+7+11，去掉5 ②含5的B的个数为C=10,此时在映射f下， 后，9+13=1+3+7+11，去掉7后，1+9+11= y4=5+1=6; 3+5+13,去掉9后，1+3+5+11=7+13，去掉11 不含5的B的个数为C=10,此时在映射f下， 后，3+7+9=1+5+13，去掉13后，1+3+5+9= y4=5; 7+11,故A={1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集”，元 所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10； 素个数的最小值为7. ②含-3的B的个数为C=10,此时在映射f下， 规律方法 y2=-3+1=-2,y3=-3+1=-2; 集合新定义问题的方法和技巧 不含-3的B的个数为C=10,此时在映射f下， (1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具 y2=-3,y3=-3; 体的简单的应用，从而加深对信息的理解； 所以所有y中一2的总个数和一3的总个数均 (2)可用自已的语言转述新信息所表达的内容，如 为20. 果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为 综上，所有SB(Y)的总和为10×(1+2+5+6)+ 透彻； 20×(-2-3)=140-100=40. (3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体 (3)对于给定的X=(x1,x2,x3x4),考虑x1在映 会信息的本质特征与规律 射f下的变化 (4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信 由于在A的所有非空子集中，含有x1的子集B共 息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下 25个，所以在映射f下，x1变为y1=x1十1； 可以使用书上的概念，要将“新”性质有机地应 不含x1的子集B共25一1个，在映射f下，x1变 用到“旧”性质上，创造性的解决问题 为y出=x1: 跟踪训练 所以在映射f下得到的所有y1的和为2(x1十1) 若非空集合A与B,存在对应关系f,使A中的每 +(25-1)x1=63.x1+32. 一个元素a,B中总有唯一的元素b与它对应，则称 同理，在映射f下得到的所有y,(i=2,3,4)的和 这种对应为从A到B的映射，记作f:A→B. 25(x,+1)+(25-1)x,=63.x:+32 设集合A={-5,-3,-1,1,3,5},B={b1,b2,… 所以所有SB(Y)的总和为63(x1十x2十x3十x1)十 bn}(n∈N*,n≤6)且B三A.设有序四元数集合P 32×4=63m+128. ·5·