第一章 第1节 集合-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

必修第一册 第一章 主题一 预备知识 集合与常用逻辑用语、不等式 ShuXue 第1节集合 ★[课程标准] 1.了解集合的含义，了解全集与空集的含义，体会元素与集合的属于关系 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，会求给定子集的补集， 4.能用自然语言、图形语言，集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，能使用韦恩(Venn)图表达 集合的基本关系及集合的基本运算， 复盘>必备知识 打通教材强基固本 必备知识掌握 3.集合的基本运算 1.集合的基本概念 表示 集合 (1)集合元素的性质： 文字语言 语言 图形语言 记法 运算 (2)元素与集合的关系 ①属于，记为 ;②不属于，记为 把所有集合 A、B中的元 (3)常见数集的记法 素放在一起组 Axx 并 自然 正整 有理 集 成的集合，叫 ∈A,或 集合 整数集 实数集 数集 数集 数集 做A和B的 x∈B》 并集，简称 符号 少 N+(或N*) Z Q R 为并 (4)集合的表示方法：① :② 把所有 ③ 的{xx 2.集合间的基本关系 交 集 元素组成的集 ∈A,且 关系 自然语言 符号语言 Venn图 合，称为A,Bx∈B 的交集 如果集合A的 都是集合B的 若A是全集 元素，就说A包含于 U的子集，U A三B(或 xx B,或者说B包含A, 补 中 的元 集 B2A) 集 ∈U,且 A 若 ,则 或A(B 素组成的子集 叫作A的 xEA》 称A是B的一个 补集 子集 ·重要结论 真 如果A二B但A≠B,AB(或 1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2" 集 就说A是B的真子集B吴A) 个，真子集有2”一1个，非空真子集有2” 2个 如果A二B并且B二A, 集合 2.ACB台A∩B=A台AUB=B台CUBE CUA. 相等 就说两个集合 A(B) 3.Cv(AnB)=(CvA)U(CUB),Cu(AUB)= (CuA)∩(CB) 高考总复习数学(BS) 自主诊断查验 2.(2025·全国一卷)已知全集U={x|x是小于9 ◆[思考辨析] 的正整数}，集合A={1,3,5},则CA中元素的 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 个数为 ( ) 里打“/”，错误的打“X” A.0 B.3 C.5 D.8 (1)0={0}. ( 3.(2024·全国甲卷)集合A={1,2,3,4,5,9},B (2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元 素集合的子集。 ( ) {x√x∈A},则CA(A∩B)= ( (3)a在集合A中，可用符号表示为a二A.( ) A.{1,4,9} B.{3,4,9 (4)N≤N+CZ. C.{1,2,3} D.{2,3,5} (5)若A={xly=x2},B={(xy)y=x2},则A∩B 4.(BSD必修第一册Pg例6改编)若集合A={x ={xx∈R. ) ◆[小题查验] -1<x<5},B={xx≤1或x≥4}，则AUB= 1.若集合A={x∈N|x≤√2025}，a=4√2，则下 ,A∩B 面结论中正确的是 ( 5.(忽视空集讨论)已知集合M={x|x一a=0}, A.a)CA B.aCA N={x|a.x-1=0},若M∩N=N,则实数a的 C.{a}∈A D.aA 值是 跃升>关键能力 题型突破素养提升 题型1 集合的基本概念 题型2 集合间的基本关系 1.已知集合A={x|-1<x<3,x∈N},B={C [典例] (1)若集合A={x∈Nx≤/2025}，实数 C二A},则集合B中元素的个数为 a满足{a2-4w5a+12=1},则下列结论正确的是 A.6 B.7 C.8 D.9 ( )》 2.（多选)已知集合{x|mx2-2x+1=0}={n},则 A.{a}二A B.a三A m十n的值可能为 ) C.{a}∈A D.aA A.0 C.1 D.2 (2)已知全集U=R,集合A={x|一2≤x≤7}， B={x|m十1≤x≤2m一1}，则使B二A成立的 3设A-32-aa++7B=a-2,3 实数m的取值范围是 。[互动探究] 已知4∈A且4氏B,则a的取值集合为 在本例(2)中，若把“B二A”改为“A三CB”,则实 4.已知集合A={1,2,3},B={1,m,n},若3-m∈ 数m的取值范围是 A,n+1∈A,则非零实数m十n的可能取值集合 方法指导 是 由集合的关系求参数的关键点 规律方法 由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关 系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的 与集合中的元素有关问题的求解策略 关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中 图帮助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区 代表元素的含义，再看元素的限制条件，明 间端点的取舍， 确集合的类型，是数集、点集还是其他类型 提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集 集合. 的情况. (2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的 跟踪训练 影响较大，特别是含有字母的集合，在求出 字母的值后，要注意检验集合中的元素是 1.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合 构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对 否满足互异性. 方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A (3)对于集合相等首先要分析已知元素与另一 {-1,2},B={xax2=2,a≥0}，若这两个集合构成 个集合中哪一个元素相等，分几种情况列 “鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为 出方程（组）进行求解，要注意检验是否满 2.已知集合A={1,2},B={xx2+mx+1=0,x∈R}, 足互异性. 若B二A,则实数m的取值范围为 2 主题一第一章集合与常用逻辑用语、不等式 题型3 集合的基本运算 !跟踪训练 [命题点1]求交集、并集 1.已知集合A={-1,1},B={x|ax=1},若A∩B 1.(2025·全国二卷)已知集合A={-4,0,1,2, =B,则a的取值集合为 () 8},B={x|x3=x},则A∩B= A.{1} B.{-1} A.{0,1,2} B.1,2,8} C.{-1,1} D.{-1,0,1} C.{2,8} D.{0,1} 2.设集合M={xlx=3k+1,k∈Z,N={xlx=3k+2, 2.(2025·北京卷)集合M={x|2x-1>5},N= k∈Z,U为整数集，则Cy(MUN)= () {1,2,3},则M∩N A.{x|x=3k,k∈Z B.{x|x=3k-1,k∈Z} A.{1,2,3》 B.{2,3} C.{xlx=3k-2,k∈Z}D.② C.{3} D.0 题型4〔 集合的新定义问题 [命题点2]集合的交、并、补的综合运算 [典例]对于正整数集合A={a1,a2,…,am}(n∈ 1.(2025·天津卷)已知全集U={1,2,3,4,5},集 N*,n≥3)如果去掉其中任意一个元素a:(i=1, 合A={1,3},B={2,3,5},则Cv(AUB)= 2,·,)之后，剩余的所有元素组成的集合都能 分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所 A.{1,2,3,4} B.{2,3,4} 有元素之和相等，就称集合A为“和谐集” C.{2,4} D.{4} (1)判断集合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集”，并说 2.(2025·上海卷)已知全集U={x2≤x≤5，x∈R}, 明理由； 集合A={x|2≤x<4,x∈R},则A= (2)求证：若集合A是“和谐集”，则集合A中元 [命题点3]利用集合的基本运算求参数的取 素个数为奇数； 值（范围） (3)若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数 [典例](1)已知集合A={1,3,a2},B={1,a+2}, 的最小值 AUB=A,则实数a的值构成的集合为( A.{2} B.{-1,2} C.1,2) D.{0,2y (2)设集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x| x2-2ax-1≤0，a>0},若A∩B中恰含有一个整 数，则实数a的取值范围是 () a,) B[浮) c[层+∞ D.(1,+o∞) 方法指导 解集合运算问题应注意以下三点 (1)看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集合 中元素的构成入手是解决集合运算问题的 关键 (2)对集合化简.有些集合是可以化简的，先化简 再研究其关系并进行运算，可使问题简单明 了、易于解决. (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合 形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图 提醒：Venn图图示法和数轴图示法是进行集 合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图 示法要特别注意端点是实心还是空心. ·3. 高考总复习数学(BS) 规律方法 (1)若B={-5,1},X=(1,-3,-3,5),写出Y, 集合新定义问题的方法和技巧 并求SB(Y); (1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为 (2)若B={b1,b2,b3},X=(1,-3,-3,5),求所 具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； 有SB(Y)的总和； (2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容， (3)对于给定的X=(1,2,3,x4),记x=m, 如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的 较为透彻； 求所有SB(Y)的总和（用含m的式子表示）. (3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中 体会信息的本质特征与规律； (4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此 信息与课本中概念的不同之处，以及什么情 况下可以使用书上的概念，要将“新”性质有 机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 跟踪训练 若非空集合A与B,存在对应关系f,使A中的每 一个元素a,B中总有唯一的元素b与它对应，则称 这种对应为从A到B的映射，记作f:A→B. 设集合A={-5,-3,-1,1,3,5},B={b1, b2,…,b.}(n∈N*,n≤6)且B二A.设有序四元 数集合P={X|X=（x1,x2,x3,x4),x:∈A且 i=1,2,3,4},Q=(YY=(y1y2,y3y4)}.对于 给定的集合B,定义映射f:P→Q,记为Y= f(X),按映射f,若x:∈B(i=1,2,3,4),则y= x:+1;若x:庄B(i=1,2,3,4),则y:=x.记 C温馨提西 SB(Y)=yi. 学习至此，请完成配套训练 课时冲关1 第2节 常用逻辑用语 ★[课程标准] 1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 2.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定 复盘>必备知识 打通教材强基固本 必备知识掌握 3.全称量词命题、存在量词命题 (1)在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性 1.命题的概念 质的命题叫作全称量词命题，在命题中，诸如 可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作 “所有”“ ”这样 命题 的词叫作全称量词，用符号“V”表示. (2)在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的 2.充分条件、必要条件与充要条件的概念 命题叫作存在量词命题，在命题中，诸如“有些” “有一个”“ ”这样的词叫作存在量 p是q的 ,g是p的 >q 词，用符号“了”表示. 4.全称量词命题、存在量词命题的否定 p是q的 条件 p→q且q为p 量词命题 量词命题的否定 结论 p是g的 条件 pPq且q→p Hx∈M,x具了x∈M,x不全称量词命题的否 有性质p(x) 具有性质p(x)定是存在量词命题 p是q的 条件 p台q 彐x∈M,x具Vx∈M,x不存在量词命题的否 p是q的 条件 pPq且qp 有性质p(x) 具有性质p(x)定是全称量词命题主题一第一章第1节 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)确定性无序性互异性 (2)①∈②任(4)①列举法②描述法 ③图示法2.每个元素A包含于B 相等A=B3.AUB既属于A又属 于BA∩B不属于ACA 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)×(3)×(4)×(5)× 小题查验1.D 2.C[由题可知，全集U中有8个元 素，集合A中有3个元素，所以CuA 中元素的个数为8一3=5，选C] 3.D[因为A={1,2,3,4,5,9},B= {xWx∈A},所以B={1,4,9,16,25, 81},则A∩B={1,4,9},CA(A∩B ={2,3,5}.] 4.解析：因为A={x一1<x5},B= {x|x≤1或x≥4}，所以AUB=R, A∩B-{x|-1<x≤1或4≤x<5}. 答案：R{x|-1<x1或4x<5} 5.解析：由题易得M={a},M∩N N,.'.NCM, ∴.N=☑或N=M,.a=0或a=士1. 答案：0或1或一1 跃升·关键能力题型1 1.C[因为集合A={x-1<x<3, x∈N},所以A={0,1,2},因为B= {CC二A},所以B中的元素为A的 子集，即B有23=8个.] 2.BD[因为集合{x|mx2一2x十1=0} ={n}, ,n≠0， 所以∫m=0, 或 △=4-4n=0, 1-21+1=0 n=- -2 2m (n=0, 解得n=⊥或m1, u=2 1n=1, 所以m十n=号或m十n=2.] 3.解析：因为4∈A,即 4e{2,3.a2-3a,a+2+7 a 所以a2-3a=4或a十2+7=4. 若a2一3a=4,则a=一1或a=4: 若a十2+7=4，即a2+3a+2=0, 则a=-1或a=-2. 由a2-3a与a+ 十7互异， 得a≠一1. 故a=-2或a=4.又4庄B,即4庄{a 一2,3}，所以a一2|≠4，解得a≠一2 且a≠6. 综上所述，a的取值集合为{4}， 答案：{4} 4.解析：因为3一n∈A,所以3一n=1 或3-m=2或3-n=3, 解得m=2或m=1或m=0,因为n十 1∈A,所以n十1=1或n+1=2或n十 1=3, 解得n=0或1=1或n=2, 又因为B={1,m,1},所以 m=2或{m=0: 1n=0 1=2, 即n十n=2. 答案：{2} 参考答案 学习讲义·参考答案 题型2 命题点3 [典例](1)[解析]因为2-4a+12 [典例](1)[解析]由AUB=A知： =1,所以a2-4√3a十12=0，解得a= B二A,当a十2=3，即a=1,则a2=1, 与集合中元素的互异性矛盾，不符合； 2√3，因为A={x∈N|x≤√2025}，所 当a十2=a2,即a=一1或a=2.若 以a任A.所以{a}二A,a二A,{a}∈A均 为错误表述 a=一1，则a2=1,与集合中元素的互 「答案1D 异性矛盾，不符合：若a=2,则A= (2)[解析]①当B=时，则m十1> {1,3,4},B={1,4},满足要求.综 2n一1，即n2,此时B二A成立，符合 上，a=2. 题意 「答案]A ②当B≠时， (2)[解析]A={x|x2十2x-3>0} 1m+1≤2m-1, ={x|x>1或x<-3},设函数f(x) n+1≥-2， 解得2≤n4. =x2一2a.x一1，因为函数f(x)=x2 (2m-1≤7， 2ax一1图象的对称轴为直线r=a 综上，实数m的取值范国是（一∞，4]. (a>0),f(0)=一10，根据对称性可 [答案]（一∞，4] 知，若A∩B中恰有一个整数，则这个 互动探究 整数为2，所以有f②)0·即 解析：①当B≠时，则m十12n一1， f(3)>0, 即n≥2，因为集合A={x一2x 3 7},B=《xm十1x≤2n一1}，则 4-4a-1≤0所以 a≥4' 3 CB={xx<n+1或x>2m-1},又 09-6a-1>0,1 即≤ 4 A二CB,则m+1>7或2n-1 a<3 4 -2,解得m>6或m< Σ，又m≥2， a<3· 所以m>6； [答案]B ②当B=0时，则m十1>2n一1，即 跟踪训练 m<2,此时CB=R,符合题意. 1.D「由A∩B=B,知B二A,因为A= 综上所述，实数m的取值范围为m>6 {-1,1},B={xax=1},若B=0,则 或m<2. 方程a.x=1无解，所以a=0满足题 答案：（一∞，2）U(6,+∞) 意：若B≠O,则B={xa.x=1}= 跟踪训练 1.解析：当a=0时，B=☑，此时满足 {= },因为B二A,所以上 B二A,当a>0时，B= 士1，则a=士1满足题意，故实数a取 2,2),此时A,B集合只能 值的集合为{-1,0,1}.] a'v as 2.A[因为整数集U={x|x=3k,k∈ 是“香食”关系，所以当A,B集合有公 Z)Uxlx=3k+1,kEZ)U(xlx=3k /2 +2,k∈Z},所以Cr(MUN)={x|x 共元素√a =一1时，解得a=2, =3k,k∈Z}.J 题型4 当A,B案合有公共元表侣-2时 a [典例][解](1)当集合{1,2,3,4,5} 解得a= 1 去掉元素2时，剩下元素组成两个集 ,故a的取值集合 合的交集为空集有以下几种情况： {1,3},{4,5}；{1,4},{3,5}；{1,5}, {3,4}；{1},{3,4,5}:{3},{1,4,5}； {4},{1,3,5}:{5},《1,3,4},经过计算 答案：{0，号2} 可以发现每两个集合的所有元素之和 不相等，故集合{1,2,3,4,5}不是“和 2.解析：①若B=⑦，则△=n2一4<0， 谐集” 解得-2<n<2. ②若1∈B,则12+m十1=0， (2)设正整数集合A={a1,a2,…,an} 解得m=一2，此时B={1},符合 (n∈N",n≥3)所有元素之和为M,由 题意： 题意可知M-a:(i=1,2,,n)均为 偶数，因此任意一个元素a:(i=1,2, ③若2∈B,则22+2n十1=0， …,)的奇偶性相同. 解得m=-吾，此时B-{2,号}不 若M是奇数，所以a:(i=1,2,…,)也 符合题意，综上所述，实数的取值 都是奇数，由于M=a1十a2十…十an, 显然n为奇数： 范国为[一2,2). 答案：[一2,2) 若M是偶数，所以a(i=1,2,…,n)也 题型3命题点1 都是偶数.此时设a:=2b:(i=1,2, n),显然(b1,b2,…,bn}也是“和谐 1.D[x=x,即x3-x=0,所以x(x十 集”，重复上述操作有限次，便可以使 1)(x-1)=0,解得x=0,-1或1，即 得各项都为奇数的“和谐集”，此时各 B={0,1,-1},所以A∩B={0,1}.] 项的和也是奇数，集合A中元素的个 2.D[因为M={x2x-1>5}={xx 数也是奇数，综上所述：若集合A是 >3},所以M∩N=). “和谐集”，则集合A中元素个数为 命题点2 奇数 1.D[A={1,3},B={2,3,5},AUB= (3)由(2)知集合A中元素个数为奇 {1,2,3,5}∴.Cu(AUB)=(4}.] 数，显然一3时，集合不是“和谐集”； 2.解析：，U={x2x5},A={x2 当n=5时，不妨设a1a2<ag<a4 x<4},.A={x4x5}. a5,若A为“和谐集”，去掉a1后，得 答案：{x4x5} ·377. 高考总复习数学(BS) a2十a=ag十a4,去掉a2后，得a1十 a5=a3十a4,两式矛盾，故n=5时，集 合不是“和谐集”；当n=7时，设A= {1,3,5,7,9,11,13},去掉1后，3十5 +7+9=11+13,去掉3后，1+9+13 =5+7+11,去掉5后，9+13=1+3 +7十11，去掉7后，1+9+11=3+5 +13,去掉9后，1+3+5+11=7+ 13,去掉11后，3+7+9=1+5+13， 去掉13后，1十3十5十9=7+11，故A ={1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集”，元 素个数的最小值为7. 跟踪训练 解：(1)由题意知，Y=f(X)=f((1, -3,-3,5))=(1+1,-3,-3,5)= (2,-3,-3,5),所以SB(Y)=2-3 3+5=1. (2)对1，一3,5是否属于B进行讨论： ①含1的B的个数为C号=10，此时在 映射f下，y1=1十1=2： 不含1的B的个数为C=10,此时在 映射f下，y1=1; 所以所有Y中2的总个数和1的总个 数均为10： ②含5的B的个数为C=10,此时在 映射f下，y4=5十1=6： 不含5的B的个数为C=10,此时在 映射f下，y4=5: 所以所有Y中6的总个数和5的总个 数均为10； ②含一3的B的个数为C=10,此时 在映射f下，2=-3+1=一2，y3= -3十1=-2： 不含一3的B的个数为C=10,此时 在映射f下，2 =一3,3 -3 所以所有y中一2的总个数和一3的 总个数均为20， 综上，所有SB(Y)的总和为10×(1十 2+5+6)+20×(-2-3)=140-100 =40. (3)对于给定的X=(x1,x2,x3,x4), 考虑x1在映射f下的变化， 由于在A的所有非空子集中，含有工 的子集B共25个，所以在映射f下， x1变为y=x1十1： 不含工1的子集B共25一1个，在映射 f下，x1变为y1=工1 所以在映射f下得到的所有y1的和 为25(x1十1)十(2-1)x1=63x1 +32 同理，在映射f下得到的所有y:(i= 2,3,4)的和2(x:十1)十(2-1)x:= 63.x:+32. 所以所有SB(Y)的总和为63(x1十x2 +x3+x4)+32×4=63m+128. 第2节 复盘·必备知识必备知识掌握 2.充分条件必要条件充分不必要 必要不充分 充要既不充分也不必要 3.(1)每一个任意 一切(2)存在一个 自主诊断查验思考辨析 (1)/(2)/ (3)/ (4)×(5)/ (6)/ 小题查验 1.B[因为xy>0不能推出x<0,y<0, 但x<0,y0能推出xy>0,所以“xy> 0”是“x<0,y<0”的必要不充分 条件，」 2,A[若函数f(x)的值域为R,则对任 意M∈R,一定存在r1∈D,使得 f(.x1)|=|M+1, 取xo=x,则|f(xo)川-|M|+1>M,2.A[由x=0户sin2x=sin0=0, 充分性成立： 取f(x)=22,D=R,则对任意M∈R, 由sim2x=0→2x=kr,x=年，k∈Z 2 一定存在x1∈D,使得f(x1)=M 不一定为x=0, +1, .sin2x=0为x=0, 取xo=x1,则|f(xo)|=|M+1>M, x=0是sin2x=0的充分不必要条件.] 但此时函数f(x)的值域为(0，十o), 3.CD[对于A,因为“a=b”时，ab=bc 必要性不成立： 成立，ac=bc,c=0时，a=b不一定成 所以“函数f(x)的值域为R”是“对任 立，所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必 意M∈R,存在xo∈D,使得|f(xo)| 要条件，故A错误；对于B,a=一1， >”的充分不必要条件，故选：A.] D= -2,a>b时，a2<b2:a=-2,b= 3.C[若a⊥b,则x(x十1)+2x=0, 1,a2>b2时，a<b,所以“a>b”是“a2 即x2+3x=0,解得x=0或x=一3， >?”的既不充分也不必要条件，故B错 .A错，C对：若a∥b,则2(x+1)- 误；对于C,因为“a<3”时一定有“a<5” x2=0,即x2-2x-2=0,解得x= 成立，所以“a<5”是“a<3”的必要条件， 1士√5，故B、D错.门 C正确；对于D,“a十5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，D正确.] 4.解析：x(x一1)=0→x=0或x=1,即 题型2 x(x-1)=0不一定有x=1成立； 典例][解]由x2一8.x-20≤0，得 但x=1能推出x(x-1)=0成立.故 -2x10, “x(x一1)=0”是“x=1”的必要不充 ,∴.A={x|-2≤x10}. 分条件， 由x∈A是x∈B的必要条件，知 答案：必要不充分 BCA. 5.解析：①当a=0时，1>0恒成立， (1一m1+m, ∴.a=0满足条件， 则{1-n≥-2，.0≤m≤3. 解得 ②当a≠0时，4=a2-<0,解 （1+m10, ,∴.当0n3时，x∈A是x∈B的必要 0<a<4,综上，0a<4. 条件，即所求n的取值范国是[0,3]. 答案：[0,4) 互动探究 跃升·关键能力题型1 解：由x∈A是x∈B的必要不充分条 1.C[解法一：充分性：因为xy≠0，且 件，知BA, x十y=0,所以x=一y,所以工+义 t1-n1+m, t1-n1+m, .1-m≥-2，或1-m>-2, =二义+义=一1-1=一2，所以充 (1+m<10 （1+m≤10， -y 解得0m≤3或0n3, 分性成立： .0n3, 故m的取值范国是[0,3]. 必要性：因为xy≠0，且二十义=一2， y 跟踪训练 所以x2十y2=-2xy,即x2+y2+2.xy 1.B[解|x十1|=2得x=1或一3，设 =0,即(x十y)2=0,所以x十y-0.所以 集合A={1,-3},方程log2x+2=a 的解集为集合B,则BA且B≠心， 必要性成立， 所以B={1}或B=《-3}.当B=《1} 所以若xy≠0，则“x十y=0”是“工十 时，log21十2=a,所以a=2;当B= {一3}时，不成立，] 卫=一2”的充要条件 2.D[由(x-a)2<4, 解法二：充分性：因为xy≠0，且x十y 可得a-2<xa十2： =0, 1_3-工≤0， 所以5+之-十 由1十2-x2x 则(x-2)(x-3)≤0， ty2+2ry-2xy 2一x≠0， 可得2x3: ry :(x-a)2<4成立的一个充分不必 =+2-2xy=二2xy=一2，所以 xy 要条件是1+2-≤0， 充分性成立： 必要性：因为xy≠0，且二十义 a≤：可得1<a≤4.] 1a+2>3, 题型3命题点1 =-2, 1.B[由x=0不成立知p假，x=1时 所以长+义=2+y 成立知q真，所以选B.] xy 2.B[对于选项A,sinx十cosx= =2+y2+2xy-2xy ry Esin(+无)≤E,所以此命题不成 =（x+y)2-2xy-(x+y)2 -2 立；对于选项B,x2-2x-1= ry Iy (x-1)2-2,当x>3时，(x-1)2-2 =-2, >0,所以此命题成立：对于选项C, 所以x十y)2 =0,所以(x十y)2=0, ++1=(+)）+是>0，所以 所以x十y=0,所以必要性成立， x2十x=一1对任意实数x都不成立，所 所以若xy≠0，则“x十y=0”是“工十 以此命题不成立：对于选项D,当x∈ y =一2”的充要条件.] (受，x）时，anx<0,sinx>0,命题显 然不成立.] ·378·