主题1 第1章 第1节 集合（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

**基本信息** 以题载法构建集合问题解题框架，覆盖概念理解、运算应用到创新拓展，逻辑递进培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础训练|12题|元素判断直接定义法、交并补运算法则、子集个数公式、Venn图分析|从集合概念（元素、子集）到运算（交并补），结合不等式求解，形成“概念-运算-应用”链条| |能力提升|4题|新定义迁移法（融洽集）、函数与集合综合、集合长度模型构建|拓展至跨知识综合（函数、不等式）与创新题型，培养模型意识与批判性思维|

[必修第一册]　主题一　预备知识 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 课时冲关1　集　合 [基础训练组] 1．已知集合A＝{{∅}，∅}，下列选项中为A的元素的是(　　) ①{∅}　②{{∅}}　③∅　④{{∅}，∅} A．①②　 B．①③ C．②③　 D．②④ 解析：B　[集合A有两个元素：{∅}和∅.] 2．设全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁UA)∪B＝(　　) A．{－1,0,1,3} B．{－1,0,1,2} C．{0,1,2} D．{0,1} 解析：A　[因为U＝{－1,0,1,2,3}，所以∁UA＝{－1,3}，所以(∁UA)∪B＝{－1,0,1,3}．] 3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：D　[求解一元二次方程，得A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝{x|(x－1)(x－2)＝0，x∈R}＝{1,2}，易知B＝{x|0<x<5，x∈N}＝{1,2,3,4}．因为A⊆C⊆B，所以根据子集的定义，集合C必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{3,4}的子集个数，即有22＝4个．] 4．已知集合A＝，B＝，则A∪B＝(　　) A．{x|－1＜x≤2} B．{x|x＜2} C．{x|x＞－1} D．{x|1≤x＜2} 解析：B　[由A＝＝(－2,2)， B＝＝(－∞，－1]， 可得A∪B＝(－∞，2)．] 5．若集合A，B，U满足A∩(∁UB)＝∅，则下面选项中一定成立的是(　　) A．B⊆A B．A∪B＝U C．A∪(∁UB)＝U D．B∪(∁UA)＝U 解析：D　[由A∩(∁UB)＝∅知，A⊆B，即A错误； ∴A∪B＝B，即B错误；仅当A＝B时，A∪(∁UB)＝U，即C错误；B∪(∁UA)＝U.即D正确．] 6．(多选)图中阴影部分用集合符号可以表示为(　　) A．B∩(A∪C) B．(∁UB)∩(A∪C) C．B∩∁U(A∪C) D．(A∩B)∪(B∩C) 解析：AD　[在阴影部分区域内任取一个元素x，则x∈A∩B或x∈B∩C，故阴影部分所表示的集合为B∩(A∪C)或(A∩B)∪(B∩C)．] 7．(多选)已知全集U＝R，集合M＝{x|－3≤x<4}，N＝{x|x2－2x－8≤0}，则(　　) A．M∪N＝{x|－3≤x<4} B．M∩N＝{x|－2≤x<4} C．(∁UM)∪N＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞) D．M∩(∁UN)＝(－3，－2) 解析：BC　[由x2－2x－8≤0，得－2≤x≤4，所以N＝{x|－2≤x≤4}，则M∪N＝{x|－3≤x≤4}，A错误；M∩N＝{x|－2≤x<4}，B正确；由于∁UM＝(－∞，－3)∪[4，＋∞)，故(∁UM)∪N＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)，C正确；由于∁UN＝(－∞，－2)∪(4，＋∞)，故M∩(∁UN)＝[－3，－2)，D错误．] 8．全集U＝{x|x<10，x∈N＋}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，则A∪B＝______. 解析：根据题意作出Venn图，如图所示， 由图可得A∪B＝{1,2,3,5,8,9}． 答案：{1,2,3,5,8,9} 9．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________． 解析：集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]． 答案：(－∞，－2] 10．设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，若A＝B，则a2 026－b2 025的值为________． 解析：由集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，得a≠1，又A＝B，则a2＝1或ab＝1， 当a2＝1时，a＝－1，A＝{1，－1，b}，B＝{－1,1，－b}， 于是b＝－b，得b＝0，因此a2 026－b2 025＝(－1)2 026－02 025＝1； 则ab＝1时，集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2,1}，有b＝a2，则a3＝1，解得a＝1，所以a2 026－b2 025＝1. 答案：1 11．若x2－80为完全平方数，则正整数x的取值组成的集合为________． 解析：由题意设x2－80＝y2≥0(y∈Z)， 则(x－y)(x＋y)＝80,0＜x－y＜x＋y，x∈N*，注意到(x－y)＋(x＋y)＝2x是偶数，所以x－y与x＋y的奇偶性相同，(否则若x－y和x＋y中，有一个是奇数，有一个是偶数，则它们的和是奇数，这与(x－y)＋(x＋y)＝2x是偶数矛盾)，注意到(x－y)(x＋y)＝80是偶数，所以x－y与x＋y必然都是偶数，考虑80的分解方式，满足题意的数组(x－y，x＋y)只可能是(2,40)，(4,20)，(8,10)三种情况，所以x的取值可能是＝9，＝12，＝21. 答案：{9,12,21} 12．已知有限集合A＝{a1，a2，a3，…，an}，定义集合B＝{ai＋aj|1≤i＜j≤n，i，j∈N＋}中的元素的个数为集合A的“容量”，记为L(A)．若集合A＝{x∈N＋|1≤x≤3}，则L(A)＝______；若集合A＝{x∈N＋|1≤x≤n}，且L(A)＝4 047，则正整数n的值是______． 解析：A＝{x∈N＋|1≤x≤3}＝{1,2,3}， 则集合B＝{3,4,5}，所以L(A)＝3. 若集合A＝{x∈N＋|1≤x≤n}，则集合B＝{3,4，…，(n－1)＋n}＝{3,4，…，2n－1}， 故L(A)＝2n－1－2＝2n－3＝4 047， 解得n＝2 025. 答案：3　2 025 [能力提升组] 13．(多选)非空集合G关于运算⊕满足：(1)对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G，(2)存在e∈G，都有a⊕e＝e⊕a＝a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算，其中G关于运算⊕为“融洽集”的是(　　) A．G＝{非负整数}，⊕为整数的加法 B．G＝{偶数}，⊕为整数的乘法 C．G＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法 D．G＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法 解析：AC　[G＝{非负整数}，⊕为整数的加法，满足任意a，b∈G，都有a⊕b∈G，且令e＝0，有a⊕0＝0⊕a＝a，∴A符合要求；G＝{偶数}，⊕为整数的乘法，若存在a⊕e＝a×e＝a，则e＝1，矛盾，∴B不符合要求；G＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法，两个向量相加结果仍为向量；取e＝0，满足要求，∴C符合要求；G＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，∴D不符合要求．] 14．函数f(x)＝则集合{x|f[f(x)]＝0}元素的个数有(　　) A．2个　 B．3个 C．4个　 D．5个 解析：D　[当x≤0时，f(x)＝x2＝0，解得x＝0， 当0＜x≤π时，若f(x)＝4sin x＝0，解得x＝π， 当x≤0时，若f(x)＝x2＝π，解得x＝－， 当0＜x≤π时，若f(x)＝4sin x＝π，则sin x＝，由0＜＜1，知sin x＝在(0，π]上有两个不等根． ∴集合{x|f[f(x)]＝0}元素的个数有5个．] 15．已知集合X＝{1,2,3}，Yn＝{1，2,3，…，n}，(n∈N＋)，设Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数， 则f(2 028)＝________. 解析：f(2 028)表示集合S2 028所含元素的个数，其中a∈{1,2,3}，b∈{1,2,3，…，2 028}，b整除a的有(1,1)，(2,1)，(3,1)，(2,2)，(3,3)共5个． a整除b的： ①1整除b的有2 028个；②2整除b的有＝1 014个；③3整除b的有＝676个．重复的有(1,1)，(2,2)，(3,3)共3个． 所以f(2 028)＝5＋2 028＋1 014＋676－3＝3 047＋676＝3 723. 答案：3 723 16．定义集合P＝{p|a≤p≤b}的“长度”是b－a，其中a，b∈R.已知集合M＝，N＝，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________． 解析：集合M＝，N＝，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，由可得1≤m≤；由可得≤n≤2.易知集合M∩N的“长度”的最小值是－＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $