课时8 函数的奇偶性与周期性（教用版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

主题二第二章函数 课时冲关8函数的奇偶性与周期性 学生用书P252 [基础训练组] 又因为f(0)=1,所以f(y)=1-y,故f(-1) 1.下列函数中，既是偶函数又在（一∞，0）上单调 =1+1=2,B错误； 递减的函数是 由B选项可知f(x)=1-x,则f(x十1)=一x,所 A.y=-t3 B.y=2 以f(x十1)为奇函数，C错误，D正确.] C.y=x-2 D.y=logs(-x) 5.定义在R上的奇函数f(x)满足：f(x十1)=f(x 解析：B[选项A,函数是奇函数，不满足条件； -1),且当-1<x<0时，f(x)=2-1,则 选项B,函数是偶函数，当x<0时，y=2= f(1og220)= () 2 () 是减函数，满足条件；选项C,函数 A子 &-c-君 D吉 是偶函数，当x<0时，y=无2三之是增函数，不 解析：D[f(x十1)=f(x-1),∴.函数f(x) 是周期为2的周期函数， 满足条件；选项D,函数的定义域为（一©∞，0）， 又：log232>log220>log216,.4<log220<5, 不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足 条件.] f1g:20)=f1o8:20-4)=flog:) 2.若函数y=f(x)一1是定义在R上的奇函数， 则f(-1)十f(0)十f(1)= =-f(-1g) ( ) A.3 B.2 C.-2 D.-3 又：x∈(-1,0)时，f(x)=2-1, 解析：A[设F(x)=f(x)-1,则F(x)十F(-x) f(-1g)fo:)专-1=-吉 =0,即f(x)-1十f(-x)-1=0, 即f(x)+f(-x)=2,所以f(1)+f(-1)=2. f1os:20)-3] 因为F(0)=f(0)-1=0,所以f(0)=1, 6.设函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，在区 f(-1)+f(0)+f(1)=2+1=3.] 间[-1,0)上是增函数，且f(x十2)=一f(x), 3.已知函数f(x)=xln(e2+1)-x2+1,f(a)=2,则 则有 ( f(-a)的值为 ( A.1 B.0 C.-1 D.-2 Af(()r 解析：B[构造函数g(x)=xln(e2x十1)-x2, 则g(-x)+g(.x)=-xln(e2x十1)-x2+十 B<()大() he+in-f=h-2r=hc c<(》(》 -2x2=0,故函数g(x)为奇函数.又f(a) D.f()Kf<() =g(a)+1=2,∴.g(a)=1,.f(-a)=g(-a) 解析：A[f(x)为奇函数，.f(一x)=-f(x), +1=-g(a)+1=0.] 4.己知函数f(x)的定义域为R,f(x)f(y)一f(x)= 又fx+2)=-fxf)=-f() xy一y,则 A.f(0)=0 =-f-10.r(》=f(号+ B.f(-1)=1 C.f(x十1)为偶函数 -f()又-1<-<-<0,1函数在区 D.f(x十1)为奇函数 间[-1,0)上是增函数，f(-1)<f(专) 解析：D[当f(x)=0时，f(x)f(y)-f(.x) =xy-y不恒成立，故f(0)=1,A错误； ()<0.-f(-10>-f()> 令x=0,得f(0)f(y)-f(0) =一y -号)>)>()门 ·397· 高考总复习数学(BS) 7.(多进)函数f(r)=22,g(x) 10.已知函数fx)-（e-)os2x是偶数， 1n(/1+9.x-3x),那么 则实数a A.f(x)十g(.x)是偶函数 解析：f(x)定义域为R, B.f(x)g(x)是奇函数 f(-x)=(e-)os(-2x)= C.是奇函数 "f(x) D.g(f(x)是奇函数 解析：BC[因为f(-x)=2+2 -=f(x), 所以-a+是=e-a(e-司)是-g 所以f(x)=2+2为偶画数，因为g(一x)十 a+1(e-)=0,故a=-1 3 答案：一1 g(.x)=ln(W1+9.x+3x)+ln(W1+9.x-3.x) 11.已知f(.x)是定义在R上的函数，若对任意x∈ =ln[W1+9x+3.x)(W/1+9x-3.x)]=ln1 R,都有f(x+8)=f(x)+f(4),且函数f(x =0, 2)的图象关于直线x=2对称，f(2)=3,则 即g(-x)=-g(x),所以g(x)=ln(1十9x2 f(2026)= 一3x)为奇函数，所以f(x)十g(x)为非奇非偶 解析：因为函数f(x一2)的图象关于直线x=2 函数，A错误； 对称，所以函数f(x)的图象关于直线x=0对 f(-x）·g(-x)=-[f(x)·g(x],所以 称，即函数f(x)是偶函数，则有f(x)=f(一x): 因为对任意x∈R,都有f(x十8)=f(x)+f(4), f(x)·g(x)为奇函数，B正确：二 f(一x) 令x=-4,得f(-4+8)=f(-4)+f(4)→ 号一岩所以岩是寺函数C正项 f(-4)=f(4)=0, f(x) f(x) 所以对任意x∈R,都有f(x十8)=f(x)十 H(x)=g(f(x)),H(-x)=g(f(-x))= f(4)=f(x),即函数f(x)的周期为8， g(f(x)=H(x),H(x)为偶函数，D错误.] 则f(2026)=f(253×8+2)=f(2)=3. 8.(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)的图象 答案：3 连续不断，且满足f(x十2)=f(x),则以下结论 12.己知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它 成立的是 () 的图象关于直线x=1对称. A.函数f(x)的周期T=2 (1)求证：f(x)是周期为4的周期函数： B.f(2025)=f(2026)=0 (2)若f(x)=√元(0<x≤1)，求x∈[-5，-4] C.点(1,0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心 时，函数f(x)的解析式. D.f(x)在[-2,2]上有4个零点 解：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x=1 解析：ABC[由定义在R上的奇函数f(x)的 对称，有f(x十1)=f(1-x), 图象连续不断，且满足f(x十2)=f(x), 即有f(-x)=f(x+2). 所以函数f(x)的周期为T=2,所以A正确； 又函数f(x)是定义在R上的奇函数， 由f(-1+2)=f(-1),即f(1)=f(-1)=-f(1), 故有f(-x)=一f(x). 所以f1)=f(-1)=0,且f(0)=0, 故f(x+2)=-f(x). 又由f(2025)=f(1)=0,f(2026)=f(0)=0, 从而f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 所以f(2025)=f(2026)=0,所以B正确； 即f(x)是周期为4的周期函数. 由f(x+2)=f(x)=-f(-x),可得点(1,0)是 (2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有 y=f(x)图象的一个对称中心，所以C正确； f(0)=0. 由f(x)在[-2,2]上有f(-2)=f(-1)=f(0) x∈[-1,0)时，-x∈(0,1]，f(x)=-f(-x) =f(1)=f(2)=0,所以函数f(x)在[-2,2]上有5 =-√-x. 个零点，所以D错误.] 故x∈[-1,0]时，f(x)=-√-x. 9.写出一个包含有e”的偶函数f(x)= x∈[-5，-4]时，x十4∈[-1,0]， 解析：根据题意，要求f(x)包含e,且是偶函 f(.x)=f(x+4)=-√-x-4. 数，则f(x)=e十ex. 从而，x∈[一5，一4]时，函数f(x) 答案：e十e"(答案不唯一) =-√/-x-4 ·398· 主题二第二章函数 [能力提升组] 解析：因为f(x)的图象关于，点(1,1)对称，所 13.(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2) 以f(-x)+f(x+2)=2, =-f(x),且在[-2,0]上是增函数，下面关 则f(-x)-2(-x)十f(x十2)-2(x十2)=-2， 于f(x)的判断正确的是 () 即g(-x)十g(x十2)=-2， A.f(x)的图象关于点P(1,0)对称 又因为g(x)的图象关于直线x=2对称， B.f(0)是函数f(x)的最大值 则g(x+4)=g（-x), C.f(x)在[2,3]上是减函数 所以g(x+4)+g(x+2)=-2, D.f(xo)=f(4k+o),kEZ 即g(x十2)十g(x)=-2,可得g(x十4)= 解析：ABD[.f(x十2)=-f(x),∴.f(x十4)= g(x),则g(x)是以4为周期的函数. 一f(x十2)=f(x),所以函数f(x)是以4为周 因为g(0)=f(0)-2×0=0, 期的周期函数，偶函数f(x)在[一2,0]上是 由f(-x)+f(x+2)=2, 增函数，f(x)在[0,2]上是减函数，f(x)在 令x=-1,得f(1)=1, [-2,2]上的最大值为f(0),f(x)是以4为 所以g(1)=f(1)-2=-1, 周期的周期的函数，∴f(0)是函数的最大值， g(2)=-2-g(0)=-2,g(3)=g(1)=-1, 故B正确； 所以f(1)十f(2)+…+f(50)=g(1)+ :'f(-x)=f(x),f(x十2)=-f(x), g(2)+…+g(50)+2(1+2+…+50) ∴f(x+2)+f(-x)=0, =-4×12-1-2+2550=2499. .f(x)图象关于点(1,0)对称，故A正确； 答案：2499 f(x)在[-2,0]上是增函数， 16.函数f(x)的定义域为D={xx≠0}，且满足对于 .f(x)在[2,4]上是增函数，故C错误； 任意x1x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)十f(x2). (1)求f(1)的值； 因为T=4,所以f(x。)=f(4k十xo),k∈Z,故 (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； D正确.] (3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在 14.已知f(x)=2+会为奇函数，g()=br (0,十∞)上单调递增，求x的取值范围. 1og2(4十1)为偶函数，则f(ab)= ( 解：(1)因为对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2) A号 c.号 =f(x1)十f(x2), 所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1), 解析：D [根据题意，fx)=2+号为奇函数， 所以f(1)=0. (2)f(x)为偶函数.证明如下： 则有f(-x)+f(x)=0, f(x)的定义域关于原点对称， 即(2+)十(2+是 0,解得a=-1 令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1), 因为g(x)=bx-1og2(4+1)为偶函数， 所以f-D=合f)=0, 则g(x)=g(一x), 令x1=-1,x2=x,得f(-x)=f(-1)+f(x), 即bx-1og2(4+1)=b(-x)-1og2(4+1), 所以f(一x)=f(x),所以f(x)为偶函数. 解得b=1,则ab=-1,f(ab)=f(-1)=21 (3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 由(2)知f(x)是偶函数， 所以f(x-1)<2等价于f(x-1)<f(16). 15.定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,1) 又f(x)在(0，十∞)上单调递增， 对称，函数g(x)=f(x)一2x的图象关于直线 所以0<|x-1|<16 x=2对称.若f(0)=0,则f(1)+f(2)+…十 解得-15<x<17且x≠1， f(50)= 所以x的取值范围是(-15,1)U(1,17) ·399·