主题2 第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

**基本信息** 以定义辨析为基础，通过构造函数、周期性推导等方法，系统训练函数奇偶性与周期性的判定及综合应用，培养逻辑推理与模型构建能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础训练|12题|定义法判定奇偶性、构造奇函数/偶函数、周期公式推导|奇偶性定义→判定方法→与周期性结合→简单应用| |能力提升|4题|对称性与周期性综合、抽象函数性质迁移|奇偶性/周期性→对称性关联→复杂情境下性质应用|

课时冲关8　函数的奇偶性与周期性 [基础训练组] 1．下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递减的函数是(　　) A．y＝－x3　　　 B．y＝2|x| C．y＝x－2 D．y＝log3(－x) 解析：B　[选项A，函数是奇函数，不满足条件；选项B，函数是偶函数，当x＜0时，y＝2|x|＝2－x＝x是减函数，满足条件；选项C，函数是偶函数，当x＜0时，y＝x－2＝是增函数，不满足条件；选项D，函数的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足条件．] 2．若函数y＝f(x)－1是定义在R上的奇函数，则f(－1)＋f(0)＋f(1)＝(　　) A．3　　 B．2 C．－2　　 D．－3 解析：A　[设F(x)＝f(x)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，即f(x)－1＋f(－x)－1＝0， 即f(x)＋f(－x)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝2. 因为F(0)＝f(0)－1＝0，所以f(0)＝1， f(－1)＋f(0)＋f(1)＝2＋1＝3.] 3．已知函数f(x)＝xln(e2x＋1)－x2＋1，f(a)＝2，则f(－a)的值为(　　) A．1 B．0 C．－1 D．－2 解析：B　[构造函数g(x)＝xln(e2x＋1)－x2，则g(－x)＋g(x)＝－xln (e－2x＋1)－x2＋xln(e2x＋1)－x2＝xln－2x2＝xln e2x－2x2＝0，故函数g(x)为奇函数．又f(a)＝g(a)＋1＝2，∴g(a)＝1，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝0.] 4．已知函数f(x)的定义域为R，f(x)f(y)－f(x)＝xy－y，则(　　) A．f(0)＝0 B．f(－1)＝1 C．f(x＋1)为偶函数 D．f(x＋1)为奇函数 解析：D　[当f(x)＝0时，f(x)f(y)－f(x)＝xy－y不恒成立，故f(0)＝1，A错误； 令x＝0，得f(0)f(y)－f(0)＝－y， 又因为f(0)＝1，所以f(y)＝1－y，故f(－1)＝1＋1＝2，B错误； 由B选项可知f(x)＝1－x，则f(x＋1)＝－x，所以f(x＋1)为奇函数，C错误，D正确．] 5．定义在R上的奇函数f(x)满足：f(x＋1)＝f(x－1)，且当－1＜x＜0时，f(x)＝2x－1，则f(log220)＝(　　) A. B．－ C．－ D. 解析：D　[∵f(x＋1)＝f(x－1)，∴函数f(x)是周期为2的周期函数， 又∵log232＞log220＞log216，∴4＜log220＜5， ∴f(log220)＝f(log220－4)＝f＝－f. 又∵x∈(－1,0)时，f(x)＝2x－1， ∴f＝f＝－1＝－，f(log220)＝.] 6．设函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，在区间[－1, 0)上是增函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则有(　　) A．f＜f＜f(1) B．f(1)＜f＜f C．f(1)＜f＜f D．f＜f(1)＜f 解析：A　[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x＋2)＝－f(x)，∴f＝－f，f(1)＝－f(－1)，f＝f＝－f，又－1＜－＜－＜0，且函数在区间[－1,0)上是增函数，∴f(－1)＜f＜f＜0，∴－f(－1)＞－f＞－f，∴f(1)＞f＞f.] 7．(多选)函数f(x)＝，g(x)＝ln(－3x)，那么(　　) A．f(x)＋g(x)是偶函数 B．f(x)g(x)是奇函数 C.是奇函数 D．g(f(x))是奇函数 解析：BC　[因为f(－x)＝＝f(x)， 所以f(x)＝为偶函数，因为g(－x)＋g(x)＝ln(＋3x)＋ln(－3x)＝ln＝ln 1＝0， 即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)＝ln(－3x)为奇函数，所以f(x)＋g(x)为非奇非偶函数，A错误； f(－x)·g(－x)＝－[f(x)·g(x)]，所以f(x)·g(x)为奇函数，B正确；＝＝－，所以是奇函数，C正确；令H(x)＝g(f(x))，H(－x)＝g(f(－x))＝g(f(x))＝H(x)，H(x)为偶函数，D错误．] 8．(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x＋2)＝f(x)，则以下结论成立的是(　　) A．函数f(x)的周期T＝2 B．f(2 025)＝f(2 026)＝0 C．点(1,0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心 D．f(x)在[－2,2]上有4个零点 解析：ABC　[由定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x＋2)＝f(x)， 所以函数f(x)的周期为T＝2，所以A正确； 由f(－1＋2)＝f(－1)，即f(1)＝f(－1)＝－f(1)，所以f(1)＝f(－1)＝0，且f(0)＝0， 又由f(2 025)＝f(1)＝0, f(2 026)＝f(0)＝0， 所以f(2 025)＝f(2 026)＝0，所以B正确； 由f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，可得点(1,0)是y＝f(x)图象的一个对称中心，所以C正确； 由f(x)在[－2,2]上有f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝0，所以函数f(x)在[－2,2]上有5个零点，所以D错误．] 9．写出一个包含有ex的偶函数f(x)＝________. 解析：根据题意，要求f(x)包含ex，且是偶函数，则f(x)＝ex＋e－x. 答案：ex＋e－x(答案不唯一) 10．已知函数f(x)＝cos 2x是偶函数，则实数a＝________. 解析：f(x)定义域为R， f(－x)＝cos(－2x)＝cos 2x＝f(x)＝cos 2x，所以－aex＋＝ex－⇒a＝－ex⇒(a＋1)＝0，故a＝－1. 答案：－1 11．已知f(x)是定义在R上的函数，若对任意x∈R，都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4)，且函数f(x－2)的图象关于直线x＝2对称，f(2)＝3，则f(2 026)＝________. 解析：因为函数f(x－2)的图象关于直线x＝2对称，所以函数f(x)的图象关于直线x＝0对称，即函数f(x)是偶函数，则有f(x)＝f(－x)； 因为对任意x∈R，都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4)， 令x＝－4，得f(－4＋8)＝f(－4)＋f(4)⇒f(－4)＝f(4)＝0， 所以对任意x∈R，都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8， 则f(2 026)＝f(253×8＋2)＝f(2)＝3. 答案：3 12．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称． (1)求证：f(x)是周期为4的周期函数； (2)若f(x)＝ (0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式． 解：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，有f(x＋1)＝f(1－x)， 即有f(－x)＝f(x＋2)． 又函数f(x)是定义在R上的奇函数， 故有f(－x)＝－f(x)． 故f(x＋2)＝－f(x)． 从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 即f(x)是周期为4的周期函数． (2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0. x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－. 故x∈[－1,0]时，f(x)＝－. x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]， f(x)＝f(x＋4)＝－. 从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－. [能力提升组] 13．(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2, 0]上是增函数，下面关于f(x)的判断正确的是(　　) A．f(x)的图象关于点P(1,0)对称 B．f(0)是函数f(x)的最大值 C．f(x)在[2, 3]上是减函数 D．f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z 解析：ABD　[∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，∵偶函数f(x)在[－2, 0]上是增函数，∴f(x)在[0, 2]上是减函数，f(x)在[－2, 2]上的最大值为f(0)，∵f(x)是以4为周期的周期的函数，∴f(0)是函数的最大值，故B正确； ∵f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋2)＋f(－x)＝0， ∴f(x)图象关于点(1, 0)对称，故A正确； ∵f(x)在[－2, 0]上是增函数， ∴ f(x)在[2, 4]上是增函数，故C错误； 因为T＝4，所以f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z，故D正确．] 14．已知f(x)＝2x＋为奇函数，g(x)＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，则f(ab)＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：D　[根据题意，f(x)＝2x＋为奇函数，则有f(－x)＋f(x)＝0， 即＋＝0，解得a＝－1. 因为g(x)＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，则g(x)＝g(－x)， 即bx－log2(4x＋1)＝b(－x)－log2(4－x＋1)， 解得b＝1，则ab＝－1，f(ab)＝f(－1)＝2－1－＝－.] 15．定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，函数g(x)＝f(x)－2x的图象关于直线x＝2对称．若f(0)＝0，则f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝________. 解析：因为f(x)的图象关于点(1,1)对称，所以f(－x)＋f(x＋2)＝2， 则f(－x)－2(－x)＋f(x＋2)－2(x＋2)＝－2， 即g(－x)＋g(x＋2)＝－2， 又因为g(x)的图象关于直线x＝2对称， 则g(x＋4)＝g(－x)， 所以g(x＋4)＋g(x＋2)＝－2， 即g(x＋2)＋g(x)＝－2，可得g(x＋4)＝g(x)，则g(x)是以4为周期的函数． 因为g(0)＝f(0)－2×0＝0， 由f(－x)＋f(x＋2)＝2， 令x＝－1，得f(1)＝1， 所以g(1)＝f(1)－2＝－1， g(2)＝－2－g(0)＝－2，g(3)＝g(1)＝－1， 所以f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝g(1)＋g(2)＋…＋g(50)＋2(1＋2＋…＋50) ＝－4×12－1－2＋2 550＝2 499. 答案：2 499 16．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求x的取值范围． 解：(1)因为对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)， 所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)， 所以f(1)＝0. (2)f(x)为偶函数．证明如下： f(x)的定义域关于原点对称， 令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝f(1)＝0. 令x1＝－1，x2＝x，得f(－x)＝f(－1)＋f(x)， 所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数． (3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2， 由(2)知f(x)是偶函数， 所以f(x－1)<2等价于f(|x－1|)<f(16)． 又f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以0<|x－1|<16， 解得－15<x<17且x≠1， 所以x的取值范围是(－15,1)∪(1,17)． 学科网（北京）股份有限公司 $