第2单元 04 第8讲 函数的奇偶性、对称性（word习题）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦函数奇偶性与对称性的概念辨析、性质应用及综合拓展，通过梯度化题型构建从定义到创新应用的知识逻辑链，培养数学推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1-5题|奇偶性判断、充要条件辨析|从定义出发，结合指数、对数等函数考查奇偶性本质| |性质应用|6-14题|不等式求解、单调性结合、对称中心计算|以奇偶性性质为核心，关联函数图象与区间转化| |创新拓展|15-17题|恒成立问题、抽象函数综合|综合奇偶性与导数、不等式，体现数学建模思想|

第8讲　函数的奇偶性、对称性 1.下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,1)上单调递增的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.f(x)=2-x B.f(x)=ln|x| C.f(x)= D.f(x)=sin x 2.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-3,则f(-2)= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B. C.-1 D.- 3.[2025·大庆一模] 已知函数f(x)的定义域为R,则“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈[-4,-2]时,函数f(x)的取值范围是[-6,-3],则函数f(x)在[2,4]上的最大值为 (　 ) A.6 B.4 C.3 D.2 5.[2023·全国乙卷] 已知f(x)=是偶函数,则a= (　 ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 6.[2025·广东湛江二模] 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+2x-3,则不等式f(2x-1)>0的解集为 (　 ) A.(-∞,0)∪(1,+∞) B.∪(1,+∞) C.∪ D.(-∞,0)∪ 7.已知奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示,则不等式x·f(x)<0的解集是　　　　.  8.[2026·四川内江三中月考] 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,函数f(x)单调递减,则不等式f[lo(2x-5)]>f(log29)的解集为　　　　　　　　.  9.已知y=f(x)的图象关于点P(a,b)对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.若f(x)=(x∈R). (1)求f(x)图象的对称中心; (2)求不等式f(x)+f(x-2)<的解集. 10.[2025·辽宁本溪模拟] 已知定义在R上的函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,且f(x)在(-∞,0)上单调递减.设a=f(log23),b=f(ln 3),c=f,则 (　 ) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a 11.[2025·湖南邵阳二模] 已知函数f(x)=3x3-sin x+x,则满足f(x)+f(4-3x)<0的x的取值范围是 (　 ) A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(2,+∞) D.(-∞,2) 12.[2026·福建福州一中第二次质检] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2时,都有>0成立.若f(2026)=2026,则不等式f(x)-x>0的解集为 (　 ) A.(-∞,-2026)∪(2026,+∞) B.(-2026,0)∪(2026,+∞) C.(-2026,2026) D.(0,2026) 13.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为奇函数,f(2x+1)为偶函数,则一定有 (　 ) A.f(x)的图象关于直线x=1对称 B.f(x)的图象关于点(1,0)对称 C.f(x)的图象关于直线x=2对称 D.f(x)的图象关于点(2,0)对称 14.若函数y=f(1-x)的图象与函数y=f(2+x)的图象关于直线x=m对称,则m=　　　　.  15.[2026·重庆南开中学月考] 已知函数f(x)=aex+be-x. (1)若函数f(x)为奇函数,求a2-2b的最小值; (2)若函数f(x)为偶函数,且e2x+e-2x+f(x)≥0在R上恒成立,求实数a的取值范围. 16.[2025·德州三模] 已知函数f(x)是定义在R上的增函数,且f(x+1)-2为奇函数,对任意的a∈[-3,2],不等式f(2a+t)+f(a2-1)≤4恒成立,则实数t的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-5] B.(-∞,0] C.[0,+∞) D.[-5,+∞) 17.[2025·湖北“新八校”协作体5月联考] 已知f(x)=ex+1-e1-x+ln(-x),且f(ln m)+f=0,则下列结论可能成立的是 (　 ) A.n<m<1 B.1<n<m C.m<1<n D.1<m<n 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲　函数的奇偶性、对称性 1.D　[解析] 对于A,f(x)=2-x的定义域为R,f(-1)=2≠-f(1)=-,即函数f(x)=2-x不是奇函数,故A错误;对于B,f(x)=ln|x|的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,但f(-x)=ln|-x|=ln|x|=f(x)≠-f(x),所以函数f(x)=ln|x|不是奇函数,故B错误;对于C,函数f(x)==的定义域为R,但f(-x)===f(x)≠-f(x),所以函数f(x)=不是奇函数,故C错误;对于D,f(x)=sin x的定义域为R,且f(-x)=sin(-x)=-sin x=-f(x),即函数f(x)=sin x是奇函数,且函数f(x)=sin x在上单调递增,所以f(x)在(0,1)上单调递增,故D正确.故选D. 2.C　[解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-3,所以f(-2)=-f(2)=-(22-3)=-1.故选C. 3.B　[解析] 取f(x)=x(x-1),x∈R,则f(0)=0,但f(1)=0,f(-1)=2,即f(-1)≠-f(1),所以函数f(x)不是奇函数,故充分性不成立;若函数f(x)为奇函数,则f(0)=-f(-0),即f(0)=0,故必要性成立.所以“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的必要不充分条件.故选B. 4.A　[解析] 当2≤x≤4时,-4≤-x≤-2,所以-6≤f(-x)≤-3,又函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),则-6≤-f(x)≤-3,所以3≤f(x)≤6,所以函数f(x)在[2,4]上的最大值为6.故选A. 5.D　[解析] 方法一:因为f(x)=是偶函数,所以f(x)-f(-x)=-==0,又因为x不恒为0,所以ex-e(a-1)x=0,即ex=e(a-1)x,则x=(a-1)x,即1=a-1,解得a=2.故选D. 方法二:因为f(x)=是偶函数,所以f(1)=f(-1),即=-,解得a=2,经检验符合题意.故选D. 方法三:由题设,可知f(x)=x·,且y=x为奇函数,则g(x)=为奇函数,由g(x)+g(-x)=0,解得a=2.故选D. 6.B　[解析] 因为f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(-1)=0.由f(2x-1)>0,可得2x-1>1或-1<2x-1<0,解得x>1或0<x<,则不等式f(2x-1)>0的解集为∪(1,+∞).故选B. 7.(-2,-1)∪(1,2)　[解析] ∵x·f(x)<0,∴当x>0时,f(x)<0,结合函数的图象可得1<x<2;当x<0时,f(x)>0,根据奇函数f(x)的图象关于原点对称可得-2<x<-1,∴不等式x·f(x)<0的解集为(-2,-1)∪(1,2). 8. [解析] 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以由f[lo(2x-5)]>f(log29),得f[|lo(2x-5)|]>f(log29),所以|lo(2x-5)|>log29,所以log2(2x-5)<-log29或log2(2x-5)>log29,所以0<2x-5<或2x-5>9,解得<x<或x>7,故不等式的解集为. 9.解:(1)设函数f(x)=图象的对称中心为(a,b),则y=f(x+a)-b为奇函数, 所以f(-x+a)-b=-f(x+a)+b,即f(-x+a)+f(x+a)=2b, 即+=2b, 整理可得==2b, 所以16=22a恒成立,则a=2, 所以=2b,所以b=, 所以函数f(x)=图象的对称中心为. (2)由(1)可知=f(x)+f(4-x),从而f(x)+f(x-2)<可化为f(x-2)<-f(x),即f(x-2)<f(4-x). 因为f(x)=为R上的减函数, 所以x-2>4-x,即x>3.故f(x)+f(x-2)<的解集为{x|x>3}. 10.D　[解析] 因为f(x-1)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x)为偶函数,又f(x)在(-∞,0)上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.由题得c=f=f(-lg 9)=f(lg 9),因为0<ln 2<1,所以log23=>ln 3>1,又0<lg 9<1,所以f(lg 9)<f(ln 3)<f(log23),即c<b<a.故选D. 11.C　[解析] f(x)=3x3-sin x+x的定义域为R,f(-x)=-3x3+sin x-x=-f(x),故f(x)为奇函数,又f'(x)=9x2-cos x+1≥0,所以f(x)在R上单调递增,所以f(x)+f(4-3x)<0等价于f(x)<-f(4-3x)=f(3x-4),所以x<3x-4,可得x>2,故x的取值范围是(2,+∞).故选C. 12.B　[解析] 因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),令g(x)=,x≠0,则g(-x)===g(x),故函数g(x)为偶函数.当x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2时,都有>0成立,不妨设x1<x2,则x2f(x1)-x1f(x2)<0,则=-<0,即g(x1)<g(x2),故g(x)在(0,+∞)上单调递增.根据偶函数图象的对称性可知,函数g(x)在(-∞,0)上单调递减,因为f(2026)=2026,所以g(2026)=g(-2026)==1.当x>0时,由f(x)-x>0得>1,即g(x)>g(2026),可得x>2026;当x<0时,由f(x)-x>0得<1,即g(x)<g(-2026),可得-2026<x<0.综上所述,不等式f(x)-x>0的解集为(-2026,0)∪(2026,+∞).故选B. 13.AD　[解析] 因为f(x+2)为奇函数,所以f(x+2)=-f(-x+2),所以函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,故C错误,D正确.因为f(2x+1)为偶函数,所以f(2x+1)=f(-2x+1),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故A正确,B错误.故选AD. 14.-　[解析] 设点P(x,y)在函数y=f(1-x)的图象上,点P关于直线x=m的对称点为Q(x',y'),则则则y'=f(1-2m+x'),即y=f(1-2m+x)的图象与y=f(1-x)的图象关于直线x=m对称,则1-2m=2,解得m=-. 15.解:(1)函数f(x)=aex+be-x的定义域为R,由于函数f(x)为奇函数,则f(-x)+f(x)=0,即ae-x+bex+aex+be-x=0,即(a+b)(ex+e-x)=0, 因为ex+e-x>0,所以a+b=0,即b=-a,所以a2-2b=a2+2a=(a+1)2-1≥-1,当且仅当a=-1时取等号,所以a2-2b的最小值为-1. (2)由于函数f(x)为偶函数, 则f(-x)=f(x)在R上恒成立, 即ae-x+bex=aex+be-x,即(a-b)(ex-e-x)=0,因为ex-e-x不恒等于0,所以a-b=0,即a=b. 因为e2x+e-2x+f(x)≥0在R上恒成立,所以e2x+e-2x+a(ex+e-x)≥0恒成立,令t=ex+e-x,则有t≥2=2,当且仅当x=0时取等号, 则e2x+e-2x+a(ex+e-x)≥0恒成立,等价于t2-2+at≥0,t≥2恒成立,所以-a≤t-,而y=t-在[2,+∞)上单调递增,故t-≥2-=1,所以-a≤1,所以a≥-1. 16.A　[解析] 令g(x)=f(x+1)-2,则f(x)=g(x-1)+2,由f(2a+t)+f(a2-1)≤4,可得g(2a+t-1)+2+g(a2-1-1)+2≤4,即g(2a+t-1)+g(a2-2)≤0,又因为g(x)为奇函数,所以g(2a+t-1)≤-g(a2-2)=g(2-a2).因为f(x)是定义在R上的增函数,所以g(x)也是定义在R上的增函数,故2a+t-1≤2-a2,即t≤-a2-2a+3=-(a+1)2+4恒成立.因为a∈[-3,2],所以-(a+1)2+4≥-(2+1)2+4=-5,所以t≤-5,即实数t的取值范围是(-∞,-5].故选A. 17.D　[解析] 函数f(x)的定义域为R,f(-x)=e-x+1-e1+x+ln(+x)=-[ex+1-e1-x+ln(-x)]=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.又f'(x)=ex+1+e1-x+≥2-=2e-≥2e-1>0,所以函数f(x)在R上单调递增,又f(ln m)+f=0,所以可得ln m=-=1-,画出y=ln x,y=1-的图象,如图所示,当n<m<1,1<n<m,m<1<n时,ln m=1-不成立,当1<m<n时,ln m=1-可能成立,故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $