课时5 一元二次函数与一元二次不等式（教用版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

主题一第一章集合与常用逻辑用语、不等式 课时冲关5一元二次函数与一元二次不等式 学生用书P246 [基础训练组] 4.关于x的不等式x2一(a十1)x十a<0的解集 1.已知樂合M={女二}N=xy 中，恰有3个整数，则a的取值范围是() A.(4,5) B.(-3,-2)U(4,5) 1og(-6x2+11.x-4)},则M∩N= C.(4,5] D.[-3,-2)U(4,5] A[] (侵 解析：D[,关于x的不等式x2-(a十1)x十a<0, c.) (得2 ∴.不等式化为(x-1)(x-a)<0, 当a>1时，得1<x<a,此时解集中的整数为 解析：C[易得集合M={女二0}1< 2,3,4,则4<a≤5， 当a<1时，得a<x<1,此时解集中的整数为一2， ≤3}，集合N={x|y=1og3(-6.x2+11x-4)} -1,0,则-3≤a<-2, a-6x+山->0={女2<<号} 故a的取值范围是[-3，-2)U(4,5].] 5.已知关于x的不等式ax2+2bx+4<0的解集 所以MnN={1KK号}] 2.不等式|x2-3.x<2-2x的解集是 为m月)其中m<0则会+言的量小值为 A(-1) B(3》 A.-2 B.1 C.2 D.8 解析：Car+2bx十4<0的解来为〔m,) 解析：C[当x2-3.x≥0，即x≥3或x≤0时， 不等式|x2-3x|<2-2.x等价于x2-3x<2 则a.x2十2bx十4=0的两极为m,m 2x,即x2-x-2<0, m·4=4,4=1,m十4=-2b, 解得-1<x<2,所以-1<x≤0； m a 当x2-3x<0,即0<x<3时，不等式x2-3.x <2-2x等价于不等式3x-x2<2-2x, 剥2h=一n十n,脚≥2， 即x2-5x十2>0，解得x>5+,厘或x< 品+吉-冬十吉≥2，当且仅当6=4时取 2 “=”.] 5=亚，所以0<<5=)应 2 2 6.若关于x的不等式in1一2>0的解集是 综上，不等式|x2-3x|<2-2x的解集 x+ax+b (-1,2),则a·b= (1. A.3 B.2 C.-2D.-3 解析：B[,sinx-2<0恒成立，故x2十a.x十 3若不等式x-2x-m<0在x∈合，2上有解， b<0的解集为(-1,2)，即方程x2十a.x+b=0 则实数m的取值范围是 的两根为一1和2，由韦达定理可知一1十2= A.[-1,+o∞) B.(-1,+∞) -a,-1×2=b,所以a=-1,b=-2,故a·b=2.] (-+∞） D.(0,+o∞) 7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x一y)= 解析：B[因为不等式x2-2.x-m<0在x∈ f(x)一f(y),且当x<0时，f(x)>0,则关于x的 不等式f(mx2)+f(2m)>f(mx)+f(2x)(其中 [合2]上有解，所以不等式m>-2x在x∈ 0<m<√2)的解集为 ( [22]上有解，令1=x2-2x=(x-1)2-1,则 A{m<<} B. <m或x>品} tmin=一1，所以m>一1，所以实数m的取值范 围是(-1，十∞).] c品 D.f >或} ·387· 高考总复习数学(BS) 解析：A[任取x1<x2,由已知得f(x1-x2)> 号时，等号成立，故B正确：对于C,因为不等 0,即f(x1)-f(x2)>0,所以函数f(x)单调递 减.由f(m.x2)+f(2m)>f(m2x)+f(2x),可 x2十a.x一b<0的解集为(x1,x2),故x1x2=-b f(mx2)-f(2x)>f(m2x)-f(2m), <0,故C错误；对于D,因为不等式x2+a.x十b 即f(m.x2-2x)>f(mx-2m),所以m.x2-2x <c的解集为(x1,x2),且x1一x2|=4,则方程 <mx-2m,即mx2-(n2+2)x+2n<0, x2十a.x十b-c=0的两根为x1,x2,故可得 即(mx-2)(x-m)<0, √(x1十x2)-4x1x2=√a-4(b-c)=√4c= 又因为0<m<2,所以2>m,此时原不等式的 2E=4,故可得c=4.故D正确.门 m 10.若关于x的不等式-x2+(a十2)x-2a>0恰 解为{女m<<} 有1个正整数解，则a的取值范围是 m了 8.(多选)设区间[m,n]的长度为n-m.已知一元 解析：不等式-x2+(a十2)x-2a>0等价于x2 二次不等式(x十a)x一 a ≤0(a>0)的解集 (a+2)x+2a<0.令x2-(a十2)x+2a=0,解得x 的区间长度为，则 =2或x=a. A.当a=1时，l=6 当a>2时，不等式x2-(a十2)x十2a<0的解集 B.1的最小值为4 为(2，a),要想恰有1个正整数解，则3<a≤4； C.当a=1时，l=5 当a=2时，不等式x2-(a十2)x+2a<0无 D.1的最小值为2√⑤ 解，所以a=2不符合题意； 解析：AD[因为一元二次不等式(x十a)· 当a<2时，不等式x2-(a十2)x十2a<0的解 集为(a,2),则a<1. 〔-)0a>0)的解集为[-a,] 综上，a的取值范围是（一∞，1）U(3,4]. 所以l=5-(-a)=a+5 答案：(-∞，1)U(3,4] 11.(2025·天津卷)若a,b∈R,Hx∈[-2,2]，均 当a=1时，l=6,故A正确，C错误；因为a>0, 有(2a十b).x2十bx-a-1≤0恒成立，则2a十b 所以1=a+8≥2么·已=25（当且仅当a 的最小值为 怎，即a=5时，学号成立)，所以1的最小值为 解析：取x=-2得2a+)-(2a+)-1 ≤0，即2a十b≥-4. 2√5，故D正确，B错误.] b 9.(多选)已知函数f(x)=x2十a.x十b(a>0)有且 另-方面，取2a+b=-4,22a十D=- 2 只有一个零点，则 ( 此时b=-4,a=0, A.a2-b2≤4 (2a+b)x2+bx-a-1≤0即-4x2-4x-1≤0， Ba2+古≥4 亦即(2x十1)2≥0，显然恒成立，符合题意.故 2a十b的最小值为-4. C.若不等式x2十ax-b<0的解集为(x1,x2), 答案：-4 则x1x2>0 12.设函数f(x)=√十1-a.x,其中a>0.解不 D.若不等式x2十ax十b<c的解集为(x1,x2), 等式f(x)≤1. 且|x1-x2|=4,则c=4 解：因为f(.x)=√x+1-a.x(a>0), 解析：ABD[因为f(x)=x2+a.x十b(a>0)有且只 不等式f(x)≤1等价于√x+1≤1十a.x, 有一个零点，故可得△=a2-4b=0,即a2=4b>0. 对于A,a2-b≤4等价于b2-4b+4≥0，显然 又因为√x2十1≥1，所以1≤1十ax,即a.x≥0， 其中a>0,所以x≥0， (-2)≥0，故A正确：对于Ba2+方=46十 所以原不等式等价于 方>≥26×石=4.当且仅当0=方>0，即6= +1≤1+a)脚a-1r2+2a≥0… x≥0， (x≥0， ·388· 主题一第一章集合与常用逻辑用语、不等式 所以当0<a<1时，不等式组 解析：，f(x)为奇函数，f(-1)=-1, 1D+2a≥0的解条为2： .f(1)=-f(-1)=1. 1x≥0 又，f(x)在[-1,1]上是单调函数， 当a≥1时，不等式组0-1)z+2ar≥0， .-1≤f(x)≤1， 的 x≥0 .∴.当a∈[-1,1]时，t-2at十1≥1恒成立， 解集为[0，十∞). 即t2-2at≥0恒成立. 综上，当0<a<1时，不等式f(x)≤1的解集 令g(a)=t2-2at,a∈[-1,1]， 为品： 解得t≥2或t=0或t≤-2。 当a≥1时，不等式f(x)≤1的解集为[0，十o∞). 答案：(-∞，-2]U{0}U[2,+∞) [能力提升组] (ln(x+1),x≥0， 15.已知函数f(x)= 则不等式 13.已知二次函数f(x)=m.x2-4mx十12m-3(m {-2x2,x<0, <0),若对任意x1≠x2,则 ( f(x十2)<f(x2+2x)的解集是 A.当x1十x2=4时，f(x1)=f(x2)恒成立 ln(x+1),x≥0 解析：函数f(x) 可得x≥0， B.当x1十x2>4时，f(x1)<f(x2)恒成立 -2x2,x<0, C.3x。使得f(x,)≥0成立 f(x)递增； D.对任意x1,x2,均有f(x,)≤8m-3(i=1,2) 当x<0时，f(x)递增；且x=0时函数连续，所 恒成立 以f(x)在R上递增， 解析：AD[依题意，二次函数f(x)=m.x2-4mx 不等式f(x十2)<f(x2+2x), 可化为x十2<x2十2x,即x2十x-2>0,解得 十12m-3(m<0)的对称轴为x= 一4m=2. 2m x>1或x<-2, 因为m<0,所以其函数图象为开口向下的抛 则原不等式的解集为（一∞，一2）U(1,十∞) 物线， 答案：(-∞，-2)U(1,十∞) 对于A选项，当x1十x2=4时，x1,x2关于直 16.已知关于x的不等式(kx一k2一4)(x一4)>0， 线x=2对称， 其中k∈R. 所以f(x1)=f(x2)恒成立，所以A选项正确； (1)当k变化时，试求不等式的解集A; 对于B选项，当x1十x2>4,若x1>x2,则不等 (2)对于不等式的解集A,若满足A∩Z=B(其 式可化为x1-2>2一x2, 中乙为整数集).试探究集合B能否为有限集？ 所以f(x1)<f(x2)； 若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的 若x1<x2,则不等式可化为x2一2>2一x1,所 所有取值，并用列举法表示集合B;若不能，请 以f(x2)<f(x1),所以B选项错误； 说明理由. 对于C选项，因为m<0,所以△=(-4m)2 解：(1)当k=0时，A={xx<4}；当k>0且k 4m(12m-3)=-32m2+12m<0,所以二次函 数f(x)=m.x2-4m.x十12m-3(m<0)的图象 ≠2时，A={<4成>青+}： 开口向下，且二次函数与x轴无交点，所以不 当k=2时，A={xx≠4}；当k<0时， 存在x。使得f(x。)≥0成立，所以C选项 A=+<<4} 错误； (2)由(1)知，当k≥0时，集合B中的元素的个 对于D选项，f(x)mx=f(2)=4m-8m十12n 数有无限个；当k<0时，集合B中的元素的个 -3=8m-3, 数有限，此时集合B为有限集。 所以对任意x1,x2,均有f(x;)≤8m一3(i=1, 2)恒成立，所以D选项正确.] 因为+合=一【-)+]≤-4，当且 14.设奇函数f(x)在[-1,1]上是单调函数，且 仅当=一2时取等号， f(-1)=-1.若函数f(x)≤t2-2at+1对所 所以当k=一2时，集合B中的元素个数最少， 有的x∈[-1,1]都成立，则当a∈[-1,1]时， 此时A={x-4<x<4},故集合B={-3,-2, t的取值范围是 -1,0,1,2,3} ·389·