课时5 一元二次函数与一元二次不等式-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

高考总复习数学(BS) [答题栏] 课时冲关5 一元二次函数与一元二次不等式 1 [基础训练组] 8.(多选)设区间[m,n]的长度为n一m.已知 1.已知集合M={女二0}N=xy 一元二次不等式x+a)(-）0(e>0 3 1og3(-6.x2+11x-4)},则M∩N=( 的解集的区间长度为1，则 () (合3 A.当a=1时，l=6 B.1的最小值为4 A[1] C.当a=1时，l=5D.1的最小值为2W5 c.() n(告2 9.(多选)已知函数f(x)=x2+ax+b(a>0) 有且只有一个零点，则 () 2.不等式|x2-3x|<2-2x的解集是( A.a2-b2≤4 (含 Ba2+6≥4 9 c（-1,5 C.若不等式x2+ax一b<0的解集为 (x1,x2),则x1x2>0 13 3.若不等式2-2-m<0在x∈[2,2]上有 D.若不等式x2+ax十b<c的解集为 (x1,x2),且|x1一x2|=4,则c=4 解，则实数m的取值范围是 10.若关于x的不等式-x2+(a十2)x-2a>0 A.[-1,+o∞) B.(-1,+o∞) 恰有1个正整数解，则a的取值范围是 c.(-+∞ D.(0,+∞) 11.(2025·天津卷)若a,b∈R,Hx∈[-2,2]， 4.关于x的不等式x2-(a十1)x十a<0的解集 均有(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立，则 中，恰有3个整数，则a的取值范围是() 2a+b的最小值为 A.(4,5) B.(-3,-2)U(4,5) 12.设函数f(x)=√x2+1-a.x,其中a>0.解 C.(4,5] D.[-3,-2)U(4,5] 不等式f(x)≤1. 5.已知关于x的不等式ax2+2bx+4<0的解 架为(m,局)其中a<0,则会十号的最小 4a 值为 A.-2 B.1 C.2 D.8 6,若关于c的不等式sinx一2>0的解集是 x2+ax+b (一1,2)，则a·b= ( A.3 B.2 C.-2 D.-3 7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x一y) =f(x)一f(y),且当x<0时，f(x)>0,则关于 x的不等式f(ma2)+f2m)>fx)+f(2x) (其中0m<√2)的解集为 ( c-{品< D{>m或x<品} ·246· 主题一第一章集合与常用逻辑用语、不等式 [能力提升组] (2)对于不等式的解集A,若满足A∩Z=B 13.已知二次函数f(x)=m.x2-4m,x+12m-3 (其中Z为整数集).试探究集合B能否为 (m<0),若对任意x1≠x2,则 () 有限集？若能，求出使得集合B中元素个 A.当x1+x2=4时，f(x1)=f(x2)恒成立 数最少的k的所有取值，并用列举法表示 B.当x1十x2>4时，f(x1)<f(x2)恒成立 集合B;若不能，请说明理由. C.3xo使得f(xo)≥0成立 D.对任意x1,x2,均有f(x:)≤8m一3(i= 1,2)恒成立 14.设奇函数f(x)在[-1,1]上是单调函数， 且f(-1)=一1.若函数f(x)≤t2-2at+1 对所有的x∈[-1,1]都成立，则当a∈ [一1,1]时，t的取值范围是 (ln(x+1),x≥0， 15.已知函数f(x)= 则不等式 -2x2,x<0, f(x十2)<f(x2十2x)的解集是 16.已知关于x的不等式(kx一k2-4)(x一4) >0,其中k∈R. (1)当k变化时，试求不等式的解集A: ·247·14.解析：在四边形DOEF中，∠AOB= y=-x- 2500 +800= 于，∠FD0=受，∠FE0=受，可知 x+1 O、D、F、E四，点共圆，且圆的直径为 [(x+1)+2500]+801≤ x+1 0F=2,放DE-2in号-5 2√/(x+1).2500 x+1 +801=701(当 又∠DFE=号，在△DEF中，由余 且仅当x十1= x7,即x-49时等 2500 弦定理得DE=DF2十EF2-2DF 号成立). ·EF·as ,当年产量为49台时，该企业在这 款新能源电池设备的生产中获利最 即DE2=DF2+EF2+DF·EF, 大，最大利润是701万元. DE=(DF+EF)2-DF·EF, 课时冲关5 DF·EF=(DF十EF)2-DE2≤ DF+EF)2,当且仅当DF=EF-1 1.C[易得集合M={女≤0} {xl1<x≤3}，集合N={x|y= 时取等号，(DE+EF)≤号DE 1og3(-6.x2+11x-4)}={x-6x2+ 1 11x-4>0}= <<} 即DF+EF≤2y5DE.DF+EF+DE 3 4.1 所以MnN-{r1Kx<3} pE+DE-2+B 2.C[当x2-3x≥0，即x≥3或x≤0 时，不等式x2-3x|<2-2x等价于 答案：2十 x2-3x<2-2x,即x2-x-2<0, 15.解析：因为x>0,y>0,则x2-xy十 解得-1<x<2,所以-1<x0； y2=(x-y)2+xy>0, 当x2一3x<0,即0<x3时，不等式 则x2+y2≤a(x2-xy十y2), |x2-3x|<2-2x等价于不等式 x2+y2 3x-x2<2-2x,即x2-5.x十2>0，解 即2y十y≤a 得x>5+应咸<5-，四 x2+y2 1 2 2 1- x2+y2 所以0<x<5二 2 综上，不等式|x2-3x<2-2x的解 因为x2十y2≥2xy,所以1 Ty x2+y2 集是(1.5)门 ≥，所以 ≤2，即 Iy 1- 3.B[因为不等式x2-2x-m<0在x r2+y x2+y2 ∈[合2]小上有解，所以不等式m> r2-xy+y ≤2 当且仅当x=y时，取等号， 2-2x在x∈[合2]小上有解，令1= x2-2.x=(x-1)2-1,则tmin =-1, 所以()」 =2,所以a 所以n>一1，所以实数m的取值范国 是(-1，十).] ≥2，即实数a的最小值是2. 4.D[,'关于x的不等式x2一(a+1)x 答案：2 16.解：(1)当x45,x∈N+时， +a<0, .不等式化为(x-1)(x-a)<0, y-(o+g） 200-a(x) 当a>1时，得1<x<a,此时解集中的 整数为2,3,4，则4a5, =60.x+100-200 (2+30r-300 当a<1时，得a<x<1,此时解集中的 整数为-2，一1,0，则一3<一2， =-2+30x+20, 故a的取值范围是[-3，-2)U(4,5].] 5.C[ax2+2bx十4<0的解集为 当x≥45，x∈N+时， y=(60+19）-20-a( (m:品）则a+26r+4=0的两根 =60.x+100-200 m a (61x+2508-90）】 x+1 .a-1,m十4=-2b, =一x 2500 +800: x+1 则2b-m+>4.即6≥2， 综上所述， x2+30x+200r<45, 1 时取“=”.] 2500 -x- x+1+800,x≥45 6.B[,sinx-2<0恒成立，故x2十 ax+b<0的解集为（一1,2），即方程 (x∈N+). x2十ax十b=0的两根为-1和2，由 (2)当x<45,x∈N时，y=- + 韦达定理可知一1十2=-a,一1×2= b,所以a=-1,b=-2,故a·b=2.] 30x十200，则当x=30时，y的最大 7.A[任取x1<x2,由已知得f(x 值为650； x2)>0,即f(x1)-f(x2)>0,所以函 当x≥45，x∈N+时， 数f(x)单调递减.由f(m.x2)十 ·497· 参考答案 f(2m)>f(n2x)+f(2x),可得 f(mx2)-f(2.x)>f(m2x)-f(2m), 即f(nx2-2x)>f(n2x-2n),所以 m.x2-2.x<m2x-2n,即n.x2-(n2十 2)x+2n0,即(mx-2)(x-m)0, 又因为0<m<2,所以2>m,此时原 不等式的解集为{m心<品}打 8.AD[因为一元二次不等式(x十a) (-吕)≤0(a>0)的解集 为[-a…] 所以= 5 -(-a)=a十 a 当a=1时，l=6,故A正确，C错误： 因为4>0，所以1=4十5≥ a 2,豆=8（当且仅当a=子，即 a=√5时，等号成立)，所以l的最小值 为2√5，故D正确，B错误.] 9.ABD[因为f(x)=x2+a.x+b(a>0)有 且只有一个零点，故可得△=a2一4b=0, 即a2=4b>0. 对于A,a2一2≤4等价于b2一4b+4 ≥0，显然(b-2)2≥0，故A正确；对于 B.2+名=40+合≥2√0x 1 1 4当且仅当仙=古>0：即6=之时， 等号成立，故B正确：对于C,因为不 等式x2十ax-b<0的解集为(x1, x2),故x1x2=一b<0,故C错误：对 于D,因为不等式r2十ax十b<c的解 集为(x1,x2),且|x1-x2=4,则方 程x2十ax十b-c=0的两根为x1,x2, 故可得√(x1十x2)2-4x1x2 √a2-4(b-c)=√4c=2E=4,故可 得c=4.故D正确.] 10.解析：不等式-x2+(a十2)x-2a>0 等价于2-(a+2)x+2a<0.令x2 (a十2)x十2a=0,解得x=2或r=a. 当a>2时，不等式x2-(a+2).x+2a 0的解集为(2，a),要想恰有1个正整 数解，则3a4: 当a=2时，不等式x2一(a+2)x十 2a<0无解，所以a=2不符合题意； 当a<2时，不等式x2-(a十2)x+ 2a<0的解集为(a,2),则a<1. 综上，a的取值范围是（一∞，1）U (3,4. 答案：(-，1)U(3,4] 1,解析：取=-合，得子(2a十6) 号(2a+)-1≤0，即2a+6>-4. 另一方面，取2a十b=-4, b 1 -22a+=-立 此时b=一4，a=0, (2a十b)x2+bx-a-1≤0即-4x2 -4x一10，亦即(2x十1)2≥0，显然 恒成立，符合题意，故2a十b的最小 值为一4. 答案：一4 高考总复习数学(BS) 12.解：因为f(x)=√x+1-a.x(a>0), 16.解：(1)当k=0时，A={x|x<4}；当 不等式f(x)≤1等价于√x2+1≤ k>0且k≠2时， 1十ax, 4+k}: A={xx<4或x> 又因为√/x2+1≥1，所以11十a.x, 当k=2时，A={xx≠4}：当k<0 即ax≥0，其中a>0,所以x≥0， 所以原不等式等价于 时A-{+冬<<} x2+1≤(1+ax)2, (2)由(1)知，当k≥0时，集合B中的 x≥0， 元素的个数有无限个；当k0时，集 前+a0: 合B中的元素的个数有限，此时集合 B为有限集 所以当0a1时，不等式组 (a2-1)x2+2ax≥0的解集为 因为+专-【-)十产]下 1x≥0 一4，当且仅当k=一2时取等号， 2a 所以当k=一2时，集合B中的元素 01-a2 个数最少，此时A={x一4<x<4}, 当a≥1时，不等式组 故集合B={-3,-2,-1,0,1,2,3}. (a2-1)r2+2ax≥0，的解集为 课时冲关6 r20 1.B [要使函数有意义，工需满 [0,十∞). 1-x2+2x+3≥0， 综上，当0<a<1时，不等式f(x) 足 x+1>0, 1的解集为「0，2a1 x+1≠1， 11-a2 解得一1<x<0或0<x3,所以函 当a≥1时，不等式f(x)≤1的解集为 数的定义域为（一1,0）U(0,3].] [0,+∞). 2.C[由已知得0<a1,则f(a)=√a, 13.AD[依题意，二次函数f(x)=mx2 一4m.x+12m一3(m<0)的对称轴为 f(a+1)=2a,所以Na=2a,解得a= I=- 一4m一2 2m 子或a-0(舍去).所以f(日） 因为加0，所以其函数图象为开口 f(4)=2(4-1)=6.] 向下的抛物线， 3.B[对于A项，因为x2+2y2=4,所 对于A进项，当x1十x2=4时，x1, 以号+苦 =1,所以方程对应的曲线 x2关于直线x=2对称， 所以f(x1)=f(x2)恒成立，所以A 为椭圆，所以当椭圆绕原点旋转后，其 选项正确；对于B选项，当x1十x2> 一定不会成为函数图象，故A项不成 4,若x1>x2,则不等式可化为x1一2 立；对于B项，因为x2一y2=4,所以 >2-x2,所以f(工1)<f(x2)； ,=1,所以方程对应的曲线为 若x1<x2,则不等式可化为x2一2> 4 2-x1,所以f(x2)<f(x1),所以B 双曲线，其渐近线为y=士x,所以当 选项错误： 对于C选项，因为m<0,所以△= 其绕原点旋转工后，其一定是函数图 (一4m)2-4m(12m-3)=-32m2+ 象，故B项成立：对于C项，因为x2十 12n0,所以二次函数f(x)=n.x y2=4,所以方程对应的曲线为圆，所 一4n.x+12m-3(m<0)的图象开口 以当圆绕原点旋转后，其一定不会成 向下，且二次函数与x轴无交，点，所 为函数图象，故C项不成立：对于D 以不存在x。使得f(x。)≥0成立，所 项，因为(x-1)2十(y-2)2=4,所以 以C选项错误： 方程对应的曲线为圆，所以当圆绕原 对于D进项，f(x)max=f(2)=4n 点旋转后，其一定不会成为函数图象， 8m十12n一3=8n一3，所以对任意 故D项不成立， x1,x2,均有f(x:)≤8m-3(i=1,2) 4.A因为1og23∈(1,2)， 恒成立，所以D进项正确.] 则1og212=2+1og23∈(3,4)， 14.解析：，f(x)为奇函数，f(-1)=-1, 所以f(1og212)=f(2+log23)= ∴.f(1)=-f(-1)=1. 又，f(x)在[一1,1]上是单调函数， f1og23)= (合) =2g3 ,.-1f(x)1, ∴.当a∈[-1,1]时，t2-2at+1≥1 5.B[令f(x)+-t,即有f(1)=1, 恒成立，即t2一2at≥0恒成立. 因函数f(x)是定义在(0，十∞)上的 令g(a)=2-2at,a∈[-1,1]， 增函数，则t为常数，因此f(x)= :-21≥0·解得≥2或1-0或 t2+2t≥0， a十t,从而 0)=-兰+1=1解 t-2. (f(1)=-a+1=0, 答案：(-∞，-2]U{0}U[2,十∞) 15,解析：函数fx)=1x≥0可 得a=t=2,于是得f(x)=一 2十2 -2x2,x0, 显然函数f(x)在(0，+∞)上单调递 得x≥0，f(x)递增； 增，所以f(3)=-+2= 当x<0时，f(x)递增：且r=0时函 3 3. 数连续，所以f(x)在R上递增， 6.D[当a=0时，显然不成立. 不等式f(x+2)<f(x2+2x), 当a>0时，不等式a[f(a)-f(一a)] 可化为x十2<x2十2x,即x2十x-2 >0等价于a2-2a>0,解得a>2. >0,解得x>1或x<-2, 当a<0时，不等式af(a)-f(-a)]> 则原不等式的解集为（一∞，一2）U 0等价于-a2-2a<0,解得a<-2.综 (1,+). 上所述，实数a的取值范国为 答案：(-∞，-2)U(1,+∞) (-∞，-2)U(2,+∞).] ·498· 7.BD[因为f(x)=1+x 1-x2 所以f(一x) 1+(-x)21+x2 1-(-x)2 1-x2 f(x),即不满足A选项： f() 1+()】 x2+1 1-() x2-1 f(任）-f(x),即满足B选预，不 满足C选项、 (2) 2+1 1-() 2-1 f()=-f),即满足D选项门 8.CD[若f(x)=0,则g(.x)=f(e)= 0,h(x)-e)-e-1,故A错误；若 f(x)=x,则g(x)=f(e)=|e2|= er,h(r)-er)=elrl,g(r)h(r), 故B错误；若f(x)=x,则g(x)= f(e')=(er)"=er,h(x)=e)= e,又因为g(x)=h(x),故er=e2, 故ax=x“,即lna十lnx=alnx, 即(a-1)lnx=lna恒成立，故a=1, 故C正确；若f(x)=logx(a>0, a≠1)，则g(x)=f(e2)=log。ex= rlog,e,h(x)=e)=eogr,又因为 g(x)=h(x),故rloge=elog,恒成 立，即aog,e=(a）r=e=e =(enr)点=x点，故lnx十 (a)品alnx, 即(。一)lax-(a)短成 立，故a-1,即a=e,放D正瑞] 9.解析：①当a>一1，即a十1>0时， a-市>-1则f(市) a十1 a+2 =0→a=-1(舍)， ②当a一1，即a十1≤0时， f(a)=-2a-6, 1:当-2a-6≤-1， 5 即-号≤a≤-1时，有f(-2a-6) =-2(-2a-6)二6=0→a=-号月 Ⅱ：当-2a-6>-1时，即a<-立 5 1 时，有f代-2u-6)=-2a-6十=0宁 3 a无解，综上，a=一 答案：- 10.解折：f(侵)-h号<0. f((合)月=f()=c÷ 1 :x<0时，0<e<1,x=0时，e=1, .当f(x)0时， 由方程f(f(x)=1,可得f(x)=0, 即lnx=0,解得x=1.