课时4 基本不等式（教用版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

主题一第一章集合与常用逻辑用语、不等式 课时冲关4基本不等式 学生用书P244 [基础训练组] 4.已知a,b为非负数，且满足2a十b=6,则(1十 1.已知实数a,b满足条件3十3=（√6）a+6,则 a2)(4十b)的最大值为 () a2十b的最小值为 () A.40 B C.42 A.8 B.6 C.4 D.2 解析：D[(1+a2)(4+b2)=4+4a2+b2+a2b 解析：D[因为3十3=（√6）a+h≥2√3a+5,当 =4a2+b2+4ab-4ab+a2b+4 且仅当3=3，即a=b时取等号， =(2a+b)2+(ab-2)2=36+(ab-2)2, 所以6+b≥4·3a+b,所以2a+b≥4，a十b≥2， 。2+6≥号(a十62=2，当且仅当a=6=1时等 又0-2a62)-=是当且 号成立，所以a2十b2的最小值为2.] 仅当a=子b=3时取“=”，则36+(a6-2)2≤ 2.已知x,y都是正数，且x≠y,则下列选项不恒 36+-2-19 成立的是 ( ) A.告>网 B+￥>2 所以当a= 号h=3时，1十a)4+8)的最大 C.2义< 位为1 x+y D.wy+1>2 xy 解析：D[x,y都是正数，由基本不等式， 5函数f)=16+是+2的最小值为（ 4 2 A.4 B.2√2 C.3 D.4√2 ≥，义+≥2,2≤2义=，这三 y 'x+y2√xy 解桥：A[因为16+≥2 16 =2×2,当且 个不等式都是当且仅当x=y时等号成立，而题 1W4 中x≠y,因此等号都取不到，所以ABC三个不 仅当16= 即x=0时等号成立， 个y 等式恒成立；xy十1≥2中当且仅当xy=1时 2×2+=2×2+号>2=4. 取等号：知=y=2年可取等号，D中不等式 不恒成立.] 当且收当2×2-是，甲=0时等号成立， 3.下列不等式一定成立的是 所以f(x)的最小值为4.] A.lg(r+)>g>0y 6若正数a6清是日+-1.则。马十9的最 a 小值为 () B.sin+ 1≥2(x≠kπ，k∈Z) sin x A.16 B.25 C.36 D.49 C.x2+1≥2|x|(x∈R) 解析：A[因为ab>0,。十古=1，所以a+b a =6,所以高十月-》6 (a-1)(b-1) 解析：C[当x=2时，有x2十=x,故不等式 ab-(a+b)于1=4b+16a-20.又4h+16a= 4b+16a-20 不一定成立，故A错误；当sinx=-1,即x= 4(b+4a)=4(b+4a) (日+) 20+ 2x十受∈2时，有inx十-2<2，故 不等式不一定成立，故B错误；x2十1一2x=(x -1)≥0恒成立，故C正确；当x=1时，有2十 -且日+=1，即=6=3时取等号. a b <1,故不等式不一定成立，故D错误.] 2 所以7十产0-20=16] ·383· 高考总复习数学(BS) 7.(多选)下列函数中最小值为6的是 当0<a<号fa)>0,fa单羽递增， A.y=In ti B.y=6sinx+21sinx可 3 当5<a<1,f(a)<0,fa)单调递减， C.y=3+32=x 故f(a)nx= 2√3 3 9 D.y= x2+25 √x2+16 故1十 1 1b1的最小值为9云-，故 a 2√5 解析：BC[对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx <0,晚时n+<0,故A不正确：对于B C正确：由于日-a=b>0=0<a<1,b>0, 3 √a-b<1,故√a一√b的最大值不可能为1，故 选项，y=6sinx+21snt≥2v5=6当且仅 D错误.] 当6m=2即sn=专时取 9.（多选)十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺 智石》一书中先把“=”作为等号使用，后来英国数 “=”,故B正确；对于C选项，y=3十32≥ 学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被 2√3=6，当且仅当3=32，即x=1时取 数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深 “=”,故C正确；对于D选项，y=十16十9 远，若a>0,b>0,则下面结论正确的是() Wx2+16 A.若a>b,则1<1 √x+16+ 9 ≥2√=6，当且仅当 √x2+16 以若+号=，则a+6有最小值号 √x2+16= 9 ，即x2=一7无解，故D不 C.若ab+b2=2,则a十b≥4 x+16 D.若a十b-2,则ab有最大值1 正确.] 解析：ABD[对于A,a>b>0, 8.(多选)已知正数a,b满足a(a十b)=1,下列结 论中正确的是 则品>品即分A正袋： A.a2+b2的最小值为2√2-2 =4,则 B.2a十b的最小值为2 对于B,a>0,b>0,1+4 b C+的小值为3 a+6=(日+号)a+o)=+台+号) D.√a-√b的最大值为1 解析：AC[由a(a十b)=1,可得是-a=b, 当且仅当=号，即=2a=是时取等号， 。+8=+(-=a+-22 B正确； 2E-2,当且仅当2-时，中a沿 对于C.a>0,6>0,由ab+6=2得：a=名-0 b=拒-沿时取等号，故A正确： >0,有0<<E,则a+b=号>E,C不正确： 2a+b=2a+1-a=a+1≥2，当且仅当a= 1 对于D.a>0.b>0a+6=2.则≤(）-1， a a 当且仅当a=b=1时取等号，D正确.] 不发80运，合+言女。 时，即a=1时等号成立，但此时b=0,故等号取 0.若函数f)2(a<2)在区间1，十o 上的最小值为6，则实数a的值为 a1-a5,记fa)=a(1-a)1>a>0), 解析：由题意得f(x)=2x-a x-1 f'(a)=(1-a2)-2a2=1-3a2, 2(x-1)2+4(x-1)+2-4=2(x-1)+ x-1 ·384· 主题一第一章集合与常用逻辑用语、不等式 2片+4≥22x-0…号+4=24-2a =4m,即m=1时取等号，所以1十m 8, (m-n)n +4,当且仅当2x-1)-二即x=1十 当且仅当m=1,n= 时取等号。 2。时，等号成立，所以2√1-2a+4=6,即 答案：8 2 [能力提升组] 3 13.《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方 a= 21 法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问 答案： 题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定 理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证 11.已知函数f(x)=2026-2026,若m>0,n 明.现有如图所示的图形，点F在半圆O上，且 >0,且f(m-2)+f(n)=f(0),则，3 OF⊥AB,点C在直径AB上运动.作CD⊥ n+7+ AB交半圆O于点D.设AC=a,BC=b,则由 十的最小植为 FC≥CD可以直接证明的不等式为() 解析：函数f(x)=2026一2026的定义域 为R,f(-x)=2026-2026=-f(x),即 函数f(x)是奇函数，又因为函数y=2026,y =-2026都是R上的增函数，则f(x)在R 上递增，由f(m-2)十f(n)=f(0),得f(m-2)= A生>vaa>0,b>0 0-f(n)=f(-n),于是m-2=-n, B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0) 即m十n-2, C.2ab a2+b 则(m+1)+(n+1)=4,而m>0,n>0, -(a>0,b>0) 'a+b 2 即有m+1>1,n+1>1, 02+D(a>0,b>0) D.≤2 解析：D[连接AD, (÷+中)++ BD,由题图知CD⊥ AB,AD⊥DB, 儿+·]1+ 所以∠ADC十∠CDB =∠CDB+∠CBD, 当3”十D-+,即m+1=3(n+1)=23 即∠ADC=∠CBD, m+1 因为∠ACD=∠DCB=90°， -√3)时取等号，所以当m=5-2√3，n=2√3 所以△ACD∽△DCB, -3时咖十有取得最小焦1计 2 所以AC=C0,即CD=V, DC BC 因为AC=a,BC=b, 答索：1+号 所以OF=a十b,OC=4-a十b=ab 2 2 2 12设加>>0，那么产n的最小值是 所以FC la2+b 、2 2 解析：m>n>0,所以(m-n)n≤ 所以由FC≥CD可以证明√ab≤ la+b 【+1 2 2 】=0,当且仅当m-n=,即m (a>0,b>0).] =2n时取等号； 14.中共中央办公厅、国务院 办公厅印发了《关于构建 1、≥4 所这mn所以中心≥十m)为 (m-n)n 更高水平的全民健身公共 服务体系的意见》，再次强 调持续推进体育公园建 设.如图，某市拟建造一个 ·385· 高考总复习数学(BS) 扇形体有公园，其中∠A0B=行，OA=OB= 16.为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到 蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件 2千米.现需要在OA,OB,AB上分别取一点 之一.湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来 D,E,F,建造三条健走长廊DE,DF,EF,若 的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池 DF⊥OA,EF⊥OB,则DE+EF+FD的最大 设备.生产这款设备的年固定成本为200万 元，每生产x台(x∈N+)需要另投入成本a(x) 值为 千米 解析：在四边形DOEF中，∠AOB= 3, (万元，当年产量x不足45台时，ax)=子 十30x-300万元，当年产量x不少于45台 ∠FDO=,∠FEO=,可知O,D、F,E四 时，a(x)=61x+2500-900万元.若每台设 x+1 点共圆，且圆的直径为OF=2,故DE=2sin3 备的售价与销售量的关系式为(60+1)刀 =3. 元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设 又∠DFE=否，在△DEF中，由余弦定理得 备能全部售完。 (1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函 DE=DF2+EF2-2DF·EF·cos 2π 数关系式； 3 (2)年产量x为多少台时，该企业在这一款新 即DE2=DF2+EF2+DF·EF, 能源电池设备的生产中获利最大？最大利润 DE2=(DF+EF)2-DF·EF, 是多少万元？ DF·EF=(DF+EF)2-DE≤DF+EF) 解：(1)当x<45,x∈N时， 4 x- 200-a(x) 当且仅当DF=EF=1时取等号， ∴(DE+EF)P≤号DE =60x+100-200 2x2+30.x-300 DF+EF2DE.DF+EF+DE2DE+ 一7x+30+2003 3 3 当x≥45，x∈N+时， DE-2+3. 答案：2十√5 y-(0+19）-200-a0 15.已知对任意正实数x,y,恒有x2+y2≤a(x2- =60.x+100-200- 61x+2500-900 x+1 xy+y2),则实数a的最小值是 2500 解析：因为x>0,y>0, x+1 +800; 则x2-xy十y2=(x-y)2+xy>0, x+30x+200,x<15. 1 则x2+y2≤a(x2-xy十y2), 综上所述，y 即+y ≤a, 29004≥45 x-xy+y (.x∈N+). 又 x2+y2 1 x2-xy+y 1-y (2)当x<45,x∈N时y=-合+30r+ 2+y 200,则当x=30时，y的最大值为650； 图为x+y≥2xy,所以1+ 2 当x≥45，x∈N+时， y=-x- 所以 1 2500+800= x+1 +1+201 x+1] 1--xy —≤2，x2-xy+22 x2+y1 801≤-2，/(x+1D.250 x+1 +801=701(当且 当且仅当x=y时，取等号， 所以 x2+y2 、仅当x十125，即x=49时等号成立). 3=2,所以a≥2，即实数 x2-xy+y2mmx .当年产量为49台时，该企业在这款新能源 a的最小值是2. 电池设备的生产中获利最大，最大利润是701 答案：2 万元. ·386·