5.1.1 变化率问题-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 以“变化率问题”为核心，通过5类题型20题构建“概念理解-辨析应用-极限计算-综合建模”的分层巩固路径，适配新授课基础夯实与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |平均变化率|函数/实际情境平均变化率计算|基础选择填空结合实际问题（如利润变化），培养数据意识| |瞬时变化率辨析|运动/位移图像瞬时速度分析|图像辨析题（如汽车行驶位移图），发展几何直观| |导数概念辨析|导函数定义及几何意义|概念辨析题（如导数定义式判断），强化抽象能力| |极限简单计算|导数定义中极限式求值|极限计算题（如已知导数求极限），提升运算能力| |导数定义应用|利用定义求切线斜率及实际意义|综合解答题（如航天飞机高度变化率），体现模型意识|

5.1.1 变化率问题 题型一 平均变化率 1．函数在区间上的平均变化率为（     ） A．3 B．15 C．10 D．30 【答案】B 【详解】函数在区间上的平均变化率为． 2．如图显示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，则下列说法不正确的是（    ） A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 【答案】ABD 【分析】利用平均速度的计算公式依次判断选项即可. 【详解】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A，B错误； 在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为． 因为，所以，故C正确，D错误． 故选：ABD 3．一个质点P在水平路径上运动，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则在这段时间里，质点P的平均速度为_______m/s． 【答案】 【详解】， 即质点P的平均速度为. 4．已知某产品生产成本与产量的函数关系式为，价格与产量的函数关系式为，求： (1)从1变到3时，利润关于产品数量的平均变化率； (2)并解释它的实际意义. 【答案】(1) (2)，表示生产数量为2时，产品数量每增加一个，利润约增加20.5元 【分析】（1）利用利润收入成本=价格产量成本，得出利润的表达式，再利用平均变化率定义得出平均变化率；（2）先求导函数，再代值运算. 【详解】（1）收入， 利润. 因为价格，即解得，又产量，所以， 故. 所以从1变到3时，利润关于产品数量的平均变化率为 （2）由（1）知，所以，则. 表示生产数量为2时，产品数量每增加一个，利润约增加20.5元. 题型二 瞬时变化率的概念及辨析 5．一质点的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】该质点在时的瞬时速度， 所以该质点在时的瞬时速度为. 6．一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个选项： 其中正确的选项有（   ） A．汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； B．汽车在时间段内不断加速行驶； C．汽车在时间段内不断减速行驶； D．汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 【答案】ABC 【详解】时间段内是直线，斜率不变，故汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同， 故A正确； 时间段内，切线斜率逐渐增大，故汽车在时间段内不断加速行驶， 故B正确； 时间段内，切线斜率逐渐减小，故汽车在时间段内不断减速行驶， 故C正确； 汽车在时刻的瞬时速度大于，在内，位移不变，故时刻的瞬时速度为， 故D错误. 7．物体位移（单位：米）和时间（单位：秒）满足函数关系，则当（秒）时，物体的瞬时速度为__________米/秒. 【答案】80 【分析】根据导数的物理意义，位移对时间的导数为瞬时速度，对给定的位移函数求导后代入计算即可. 【详解】由导数的物理意义可知，位移函数对时间的导函数即为瞬时速度函数， 所以，故， 即物体的瞬时速度为80米/秒. 8．现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为地至B地之间的航行距离约为，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成，轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用为每小时960元． (1)把全程运输成本y（元）表示为速度的函数； (2)求从变到时，全程运输成本关于速度的平均变化率； (3)求并解释它的实际意义． 【答案】(1) (2) (3)，表示当速度时，速度每增加，全程运输成本减少4500元 【分析】（1）依题意可得轮船每小时的燃料费和总共行驶时间，进而列出函数解析式； （2）根据平均变化率的定义进行求解； （3）求出导函数，再代值计算，最后根据瞬时变化率的意义解释. 【详解】（1）依题意得，函数的定义域为，． （2）， ． （3）， ． 表示当速度时，速度每增加，全程运输成本减少4500元． 题型三 导数（导函数）概念辨析 9．若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在处可导， 所以. . 10．已知：函数的自变量处的改变量，函数值的改变量为在处的导数值，下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据导数的定义及极限的简单运算计算即可判断. 【详解】根据导数的定义可知，A正确； 若令，当，则， 则，B正确； 根据导数的定义，C错误； 根据导数的定义可知，D正确． 故选：ABD. 11．一物体的运动方程为，则其在__________时瞬时速度为1． 【答案】 【分析】根据导数的物理意义，以及导数的定义，即可求解. 【详解】． 因为瞬时速度为1，故，即． 故答案为： 12．已知函数，其中， (1)求曲线在，，，处的切线的斜率； (2)说明这些斜率值是如何变化的． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的定义求解； （2）利用一次函数的性质求解. 【详解】（1）解：因为， 所以，，，； （2）因为在上单调递增，所以随着x的增大，斜率也增大． 题型四 导数定义中极限的简单计算 13．已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由极限定义可知. 14．若当，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．曲线上点处的切线斜率为 D．曲线上点处的切线斜率为 【答案】AD 【分析】根据导数的定义和几何意义依次判断各个选项即可. 【详解】由得：，即， 曲线上点处的切线斜率为，C错误；D正确； ，A正确；B错误. 故选：AD. 15．已知，的值是______． 【答案】2 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】 16．航天飞机发射后的一段时间内，第时的高度，其中h的单位为m，t的单位为s． (1)分别表示什么？ (2)求第内高度的平均变化率； (3)求第末高度的瞬时变化率，并说明它的意义． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据的含义即可求解， （2）根据平均变化率的计算公式即可求解， （3）根据瞬时变化率的定义，利用极限即可求解.. 【详解】（1）表示航天飞机未发射时的高度，表示航天飞机发射后的高度． （2），即第内高度的平均变化率为． （3）， 即第末高度的瞬时变化率为． 它说明在第末附近，航天飞机的高度大约以的速度增加． 题型五 利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 17．已知函数在处可导，且，则（  ） A．-3 B．2 C．4 D．-1 【答案】D 【分析】利用导数的定义分析即可. 【详解】因为函数在处可导， 所以， 所以. 18．电动汽车产业是我国的优势新型产业之一．某款电动汽车在一次上路测试中，速度（单位：千米每小时）关于运行时间（单位：分钟）的关系可以用函数表示，则（    ） A．该车速度在前分钟内的平均变化率为 B．该车速度的瞬时变化率逐渐减小 C．该车速度在第分钟的瞬时变化率为 D．可以用该车运行分钟到分钟之间的平均速度估算该车在时的瞬时速度 【答案】AD 【分析】利用平均变化率的定义可判断A选项；求出瞬时变化率的表达式，结合一次函数的单调性可判断B选项；求出的值，可判断C选项；利用瞬时速度的概念可判断D选项. 【详解】函数在上的平均变化率为，故A正确； 该车速度的瞬时变化率即， 所以该车速度的瞬时变化率逐渐增大，故B错误； 由，故当时，，故C错误； 函数在时的瞬时速度为， 在现实生活中，可以用很小的近似替代，而D中，符合条件， 可以用该车运行分钟到分钟之间的平均速度估算该车在时的瞬时速度，故D正确． 故选：AD． 19．已知函数的导函数为，若，则________. 【答案】5 【分析】根据导数的定义直接求解. 【详解】. 故答案为：5 20．（1）求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数； （2）求函数y＝3x2在x＝1处的导数． 【答案】（1），3；（2）6. 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】（1）∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋2 ＝3Δx－(Δx)2， （2）∵Δy＝f(1＋Δx)－f（1）＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2， 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.1 变化率问题 题型一 平均变化率 1．函数在区间上的平均变化率为（     ） A．3 B．15 C．10 D．30 2．如图显示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，则下列说法不正确的是（    ） A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 3．一个质点P在水平路径上运动，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则在这段时间里，质点P的平均速度为_______m/s． 4．已知某产品生产成本与产量的函数关系式为，价格与产量的函数关系式为，求： (1)从1变到3时，利润关于产品数量的平均变化率； (2)并解释它的实际意义. 题型二 瞬时变化率的概念及辨析 5．一质点的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为（     ） A． B． C． D． 6．一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个选项： 其中正确的选项有（   ） A．汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； B．汽车在时间段内不断加速行驶； C．汽车在时间段内不断减速行驶； D．汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 7．物体位移（单位：米）和时间（单位：秒）满足函数关系，则当（秒）时，物体的瞬时速度为__________米/秒. 8．现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为地至B地之间的航行距离约为，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成，轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用为每小时960元． (1)把全程运输成本y（元）表示为速度的函数； (2)求从变到时，全程运输成本关于速度的平均变化率； (3)求并解释它的实际意义． 题型三 导数（导函数）概念辨析 9．若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 10．已知：函数的自变量处的改变量，函数值的改变量为在处的导数值，下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 11．一物体的运动方程为，则其在__________时瞬时速度为1． 12．已知函数，其中， (1)求曲线在，，，处的切线的斜率； (2)说明这些斜率值是如何变化的． 题型四 导数定义中极限的简单计算 13．已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C． D． 14．若当，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．曲线上点处的切线斜率为 D．曲线上点处的切线斜率为 15．已知，的值是______． 16．航天飞机发射后的一段时间内，第时的高度，其中h的单位为m，t的单位为s． (1)分别表示什么？ (2)求第内高度的平均变化率； (3)求第末高度的瞬时变化率，并说明它的意义． 题型五 利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 17．已知函数在处可导，且，则（  ） A．-3 B．2 C．4 D．-1 18．电动汽车产业是我国的优势新型产业之一．某款电动汽车在一次上路测试中，速度（单位：千米每小时）关于运行时间（单位：分钟）的关系可以用函数表示，则（    ） A．该车速度在前分钟内的平均变化率为 B．该车速度的瞬时变化率逐渐减小 C．该车速度在第分钟的瞬时变化率为 D．可以用该车运行分钟到分钟之间的平均速度估算该车在时的瞬时速度 19．已知函数的导函数为，若，则________. 20．（1）求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数； （2）求函数y＝3x2在x＝1处的导数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $