5.1.1 变化率问题 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教A版）

5.1.1　变化率问题 [课时跟踪检测] 1.已知某质点运动的方程是s=2+,当t由1变到2时,其位移的增量Δs等于 (　　) A. B.- C.1 D.-1 解析:选B　Δs=-(2+1)=-. 2.已知抛物线y=3x-x2在x0=2处的增量为Δx=0.1,则的值为 (　　) A.-0.11 B.-1.1 C.3.89 D.0.29 解析:选B　令y=f(x)=3x-x2.∵Δy=f(2+0.1)-f(2)=(3×2.1-2.12)-(3×2-22)=-0.11,∴==-1.1. 3.已知曲线y=2x2上一点A(2,8),则在点A处的切线斜率为 (　　) A.4 B.16 C.8 D.2 解析:选C　k==8. 4.已知物体做自由落体的运动方程为s=gt2,且Δt无限趋近于0时,无限趋近于9.8 m/s.那么关于9.8 m/s正确的说法是 (　　) A.物体在0~1 s这一段时间内的速度 B.物体在1~(1+Δt)s这一段时间内的速度 C.物体在1 s这一时刻的速度 D.物体从1 s到(1+Δt)s这一段时间内的平均速度 解析:选C　由平均速度的概念,表示的是1~(1+Δt)s这一段时间内的平均速度,其极限值即=9.8 m/s,表示在t=1 s这一时刻的瞬时速度. 5.一物体的运动方程是s(t)=t+,则在t=2时的瞬时速度是 (　　) A. B. C.1 D.2 解析:选B　∵Δs=2+Δt+-2-=Δt-,∴=1-,∴在t=2时的瞬时速度为==1-=.故选B. 6.一个物体做直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s(t)=6t2+mt,且这一物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s,则实数m的值为 (　　) A.2 B.1 C.-1 D.-2 解析:选A　Δs=s(2)-s(1)=6×22+2m-(6×12+m)=18+m,Δt=2-1=1,因为物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s,所以===18+m=20 m/s,解得m=2. 7.物体甲、乙在时间0到t1范围内,路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是 (　　) A.在0到t0范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t0范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度 C.在t0到t1范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t0到t1范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度 解析:选C　在0到t0范围内,甲、乙的平均速度都为,故A、B错误;在t0到t1范围内,甲的平均速度为,乙的平均速度为,因为s2-s0>s1-s0,t1-t0>0,所以>,则在t0到t1范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度,故C正确,D错误. 8.[多选]某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,则 (　　) A.物体在t=1 s时的瞬时速度为0 m/s B.物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s C.瞬时速度为9 m/s的时刻是在t=4 s时 D.物体从0 s到1 s的平均速度为2 m/s 解析:选BCD　对于A,==(3+Δt)=3,即物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s,A错误;对于B,==(1+Δt)=1,即物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s,B正确;对于C,设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s,则=(2t0+1+Δt)=2t0+1=9,所以t0=4,物体在t=4 s时的瞬时速度为9 m/s,C正确;对于D,==2(m/s),D正确. 9.(5分)已知一列火车在启动后做匀加速直线运动,火车行驶的距离s(单位:km)与经过的时间t(单位:s)(0≤s≤10)满足的函数关系为s(t)=(1.5t-1),则火车在1≤t≤2这段时间中的平均速度是　　　　km/s.  解析:在1≤t≤2这段时间,火车行驶的距离增加了s(2)-s(1)=0.075(km),火车在这段时间中的平均速度==0.075(km/s). 答案:0.075 10.(5分)若一个物体的运动规律如下(位移s的单位:m,时间t的单位:s):s(t)=则此物体在t=1和t=3时的瞬时速度分别为　　　,　　　　.  解析:∵物体在t=1附近的平均速度为===6+3Δt,∴当Δt趋近于0时,趋近于6,∴物体在t=1时的瞬时速度为6 m/s.∵物体在t=3附近的平均速度为==3Δt,∴当Δt趋近于0时,趋近于0,∴物体在t=3时的瞬时速度为0 m/s. 答案:6 m/s　0 m/s 11.(5分)若f(x)为可导函数,且=-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为　　　　　.  解析:因为=-1,故所求切线的斜率k===1. 答案:1 12.(5分)过曲线y=图象上一点(2,-2)及邻近一点(2+Δx,-2+Δy)作割线,则当Δx=0.5时割线的斜率为　　　　,在点(2,-2)处的切线斜率为　　　　.  解析:割线的斜率k====2=. ====1,故切线斜率为1. 答案:　1 13.(10分)若一物体运动方程如下:(位移单位:m,时间单位:s)s=f(t)= 求:(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度;(3分) (2)物体的初速度v0;(4分) (3)物体在t=1时的瞬时速度.(3分) 解:(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2, 物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48, ∴===24(m/s), ∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为24 m/s. (2)求物体的初速度v0,即求物体在t=0时的瞬时速度. ∵ = =3Δt-18, ∴物体的初速度v0= (3Δt-18)=-18(m/s). (3)∵==3Δt-12, ∴物体在t=1时的瞬时速度为 (3Δt-12)=-12(m/s). 14.(10分)已知函数f(x)=,A(1,f(1)),B(2,f(2)). (1)设割线AB的斜率为k1,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为k2,判断k1与k2的大小关系,并说明理由;(5分) (2)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处的切线与两坐标轴所围三角形的面积为2,求a的值.(5分) 解:(1)k1<k2.理由如下: 易知A(1,1),B(2,),所以割线AB的斜率k1==-1, 点A处的切线斜率k2====, 所以k2>k1. (2)点(a,f(a))处的切线斜率为==, 所以f(x)在点(a,f(a))处的切线方程为y-=(x-a),即y=x+, 其在x轴和y轴的截距分别为-a和, 所以切线与两坐标轴所围三角形的面积为,故=2,解得a=4. 故a的值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $