课时分层检测(4)等差数列的性质及应用-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（四） 等差数列的性质及应用 :10.在通常情况下，从地面到10km高空，高度 …0 基础达标练0 每增加1km,气温就下降某一个固定数值. 1.在等差数列{an}中，已知a4=2,ag=14,则： 如果1km高度的气温是8.5℃，5km高度 a15等于 ( 的气温是一17.5℃，求2km,4km,8km A.32 B.-32 C.35 D.-35 高度的气温 2.在数列{an}中，a1=2,2an+1=2am十1 (n∈N*),则a1o1的值为 ( A.52 B.50 C.51 D.49 3.已知数列{an}为等差数列且a1十a7十a13= 4元，则tan(a2十a12)的值为 ) A.3 B.±5 C. 3 D.-√5 4.各项均为正数的等差数列{an}中，3a6一a号十 3a8=0,则a7= A.2 B.4 C.6 D.8 5.已知在数列{am}中，a1=1,a2=2,对Hn∈N* 都有2a+1=a+2十a,则a1o等于( ) A.10 B./10 C.64 D.4 6.在等差数列{an}中，已知am=n,am=m,m, 、 n∈N*,则am十n的值为 …0 能力提升练。… .已知数列a,清足a1=1,若点) 在 1.（多选)若{an}是等差数列，则下列数列为等 直线x-y+1=0上，则am= 差数列的有 ( 8.若三个数成等差数列，且它们的和为9，平方 A.{an十an+1} B.{a) 和为59，则这三个数的积为 C.an+1-an D.(2an 9.在等差数列{am}中，若a3十ag十a13=12,2.已知数列{an}是等差数列，若a4十a7十a10= a3aga13=28. 17,a4+a5+a6+…十a12+a13十a14=77且 (1)求数列{am}的通项公式； ak=13,则k= (2)求a23的值. 3.在下面的数表中，已知每行、每列中的数都 成等差数列. 第1列 第2列 第3列 第1行 1 2 3 第2行 2 4 6 第3行 3 6 9 … 那么位于表中的第n行第n十1列的数是 79 班级 姓名 得分 4.已知无穷等差数列{am},首项a1=3,公差d: 创新拓展练 0… =一5，依次取出项的序号被4除余3的项组 成数列{bn}. 若数列{bn}对于n∈N*,都有b+2-bn=d (1)求b1和b2; (d为常数)，则称数列{bn}是公差为d的准 (2)求数列{bn}的通项公式： (3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的 等差数列.例如cn= 4n-1,n为奇数·则数 4n十9，n为偶数， 第几项？ 列{cn}是公差为8的准等差数列.设数列 {am}满足：a1=a,对于n∈N*,都有am十 am+1=2n. (1)求证：数列{an}为准等差数列； (2)求数列{an}的通项公式. 802.A[ :8.-21[设这三个数为a-d,a,a十d,则 1十a3 3'1+a2 a-d+a+a十d=9, 设数列 1的公差为d, 1(a-d)2+a2+(a+d)2=59, 1十am】 解得日或{侣8， d=-4 .这三个数为一1,3,7或7,3，一1，这三个数的积为一21.] +4d2 9.解(1)根据题意，设等差数列{an子的公差为d, 若a3十a%十a13=12,则3ag=12,则ag=4, 又由a3a%a1x=28,得aa14=(4-5d)(4十5d)=7, 1+a1 6 解得d=土5 3 d12 1 当d=是时，a,=as十(m-8)d=3n4, 5 1十a =+(m-1)2 5 1=1+11=1+1=1, 当d=一 子时a,=as十(u-8d=4与 5 1十aW 6 T12 12 .a11=0.] (2)由1)的结论，当d=号时，a=,,此时a=8X3 5 3.30[在50到350之间，末位数字是3的自然数有53,63，，343，枸成 =13, 以53为首项，343为末项，10为公差的等差数列，由a,=a1十(n-1)d, 当d=- 可得项教m0,4+1=34853+1=30.] 号时2.4与，剥a-443X28=一-5， 5 5 10 则a2g=13或-5. 4.解(1)因为an+1=(n2十n一A)an(n∈N), 110,解用{a,}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，设公差为 且a1=1,所以当ag=-1时，得-1=2-入，解得入=3. d,则a1=8.5a5=-17.5, 从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3. 由a5=a1十4d=8.5十4d=-17.5,解得d=-6.5,.an= (2)不存在实数入使得{an}为等差数列。 15-6.5n. 理由如下： ∴.a2=2,a1=-11,a8=-37, 由a1=1,an+1=(n2十n-入)an, 即2km,4km,8km高度的气温分别为2℃，一11℃，-37℃. 得a2=2-X,a3=(6-A)(2-入)， :能力提升练 a1=(12-入)(6-入)(2-λ). 1.ACD[设等差数列{an}的公差为d. 若存在实数λ，使得{an}为等差数列，则a3一a2=a2一a1: 对于A,(an十an+1）-(a,1十an)=(anan-1)+(a+1-an)=2d(n≥ 即(5-λ)(2一λ)=1-λ，解得λ=3. 2),所以{an十an+i}是以2d为公差的等差数列： 于是a2一a1=1一λ=-2， 、 对于B,ai+1-a听=(an+1一a,)(a,十a+1)=d(an十an+1),因为 a1-a3-(11-X)(6-A)(2-)=-24, d(a,十am+1)不一定为常数，所以{a}不一定是等差数列： a2a1≠a1a,这与{an}为等差数列矛盾】 对于C,因为an+1一an=d,所以{an+1一an}为等差数列； 所以不存在实数入使得{an}为等差数列. 对于D,因为2an+1一2an=2d,所以{2an}为等差数列.] 创新拓展练 7 解(1)设等差数列{an}的公差为d, 2.18[:a1十a?+a10=3a=17,a?=3, 由题意得，a1十a1十d+a1+2d=12. 又a1十a5十…十a13十a11=11ag=77,.ag=7. a1+7d=16, 解得∫a1-2, 1d=2, .am=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n. a4=十(k-9)d=13, (2)a2=4,a1=8,a6=12,a8=16,…,a2m=2×2n=4n. 当n>1时，a2na2a-D=4n-4(n-1)=4. 18-7=(k-9)×号∴k=18.] .{b}是以4为首项，4为公差的等差数列 !3.n十n[第n行的第一个数是n,第n行的数构成以n为公差的等差 ∴.bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n. 数列，其第n十1项为n十n·n=n2十n.所以数表中的第n行第n十1 课时分层检测（四）》 列的数是n十n.] 基础达标练 4.解(1)由题意，等差数列{an}的通项公式为 1.C[由ag-a1=(8-4)d=4d,得d=3,所以a15=ag十(15-8)d=: am=3十(-1)(-5)=8-5n, 14+7×3=35.] 设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项， 则需满足m=4n-1,n∈N“, 2.A[由已知得，an+1一an=2n∈N”, 所以b1=a3=8-5×3=-7, b2=a7=8-5X7=-27. 所以{a}是首项为2，公差为的等差数列. (2)由(1)知bn+1,-b,=a1a+1-1一a1m-1=4d=-20, 所以新数列{bn》也为等差数列， 所以a01=2+100×2=52.] 且首项为b1=一7，公差为d=一20， 3.D[由等差数列的性质，得a1十a7十a13=3a?=4π，∴.a2= 4π 所以bn=b1+(n-1)d 3 =-7+(n-1)×(-20)=13-20n. an(a十a)=an(2a)=tam=tan=5.] 8π (3)因为m=4n-1,n∈N”,所以当n=110时 m=-4×110-1=439, 4.C[:3a6一a号十3ag=0,∴.由等差数列的性质，得6aa号=0，：等 所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项. 差数列{an}的各项不为零，a?=6,故选C.] 创新拓展练 5.D[对Vn∈N“都有2a+1=a+2十a,由等差中项法可知，数列；解(1)证明因为an十an+1=2n(n∈N),① {a}为等差数列，由于a1=1,2=2,则数列{a}的公差为d= 所以an+1十an+2=2(n+1),② a1一ai=7,所以aio=a1十9d=1十9×7=64，因此，a1o=4.] ②-①得an+2一an=2(n∈N), 6.0[设等差数列的公差为d,则d=a马-””=-1，从而a+ 所以数列{an}是公差为2的准等差数列. m-nm-n (2)因为a1-a,a,十a+1=2n(n∈N"), =am十(m十n-m)d=n十n·(-1)=0.] 所以a1十a2=2×1,即a2=2-a. 元EN)）[由题设可得号片十1=0. 因为a1,a,a5,…是以a为首项，2为公差的等差数列， a2a1a6,…是以2-a为首项，2为公差的等差数列， 即出-=1, n十1n 所以当n为锅数时a,=2-a+(受一-1）X2=na, 所以载列{侣}是以1为首项1为公差的等差数列， 当n为奇教时，=a十(（生-1）X2=叶a-1. 故通项公式为=，所以an=n(n∈N”).] 所以a,三 n十a-1,n为奇数， (n-a,n为偶数. 165 课时分层检测（五） :4.解(1)设等差数列{an}的公差为d,且d>0. 基础达标练 ,ag+a1=a2十a5=22,又a3a1=117, 1.D设数列a,的公差为d,剥S=分+”4，所以S=2+ ∴a3a1是方程x2-22x十117=0的两个根 2 又公差d0,∴.ag<a1,.a3=9,a1=13. 6d=20, 81十2d0、∴{aa,=4m3m∈N 解得d=3,所以S6=3十15d=48.] {a1+3d=13,1 2.B[周为S,=27,所以96a十a)_92a=27,所以9a,=27,则 (2)由(1)知，5=nX1+n,卫×4=2m2-n, 2 2 2 a5=3,故选B.] Sn2nn 3.B[设等差数列{an}的公差为d,a1=1.因为前10项的和等于前51 b,=n十c-n+c 项的和，且am十a=0,则10十45d-5十10d,2+(m十5)d=0,解得： 15 m=9.1 4.A[由题意知，a1十a1>0,a2十a11=a1十a12<0,得S11=! :{bn}是等差数列，2b=b1十b, 1(a,+a>0,5212a,+a42<0.故选A] 2 2 六2c2+c=0c=-2(c=0舍去). 5.B[由题意知a1十a2十a十a1=124, 经检验，c=一 an十am-1十am-2+am-3=156, 之符合题意，∴c=- .4(a1十an）=280, 5.解设数列{a}的公差为d,依题意得2√S=√S十√S ∴.a1十an=70. .2√2a1+d=√a1+√3a1+3d, 又8.aa-号70=210n=6.] 把a1=1代入求得d=2, 2 .am=1十(n-1)X2=2n-1, 6.6[a3十a5=2a1,.a1=0.a1=6,a1=a1十3d,.d=-2,: ∴S.=6a1+6X(5D4=6×630=6.] S.=n+"2=, 2 2 ,[设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由6S5一5S1=5,得1 :S0=n+10 (2n-1) 3a+3d)=1,所以a1=子] (+)）<121 8.+[s4=n+1a,+a±里，5%-nata 2 2 :S+的最大值是121. a1十a2n+t=ag十aa5产=，门 创新拓展练 9.解(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1十(n-1)d. 11.4(n十1)22n2+6n[令n=1,得/a1=4,故a1=16. 由a1=1,a3=一3，可得1十2d=-3,解得d=2. 当n≥2时，√a+√a2+…十√an-i=(n-1)2+3(n-1). 从而am=1十(n-1)X(-2)=3-2n. 与已知式相减，得√an=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n十2. (2)由(1)可知a,=3-2m,所以S,=n1+(8-2m] .am=4(n十1)2， 2 又，n=1时，a1满足上式， =2n-n2. .an=4(n十1)2(n∈N"). 由S4=-35,可得2k一k2=-35,即k2-2k-35=0, +7=4n十4， n 解得k=7或k=一5.又k∈N“,故k=7. 10.解法一设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, ,S10=100,S100=10, ÷2+号十…+气8十+0 n+1 2 （10a1+1019-Da=100, =2n2十6n.] 2 2.3m2-2n[设bn=2n-1,cn=3m-2,bn=cm,则2n-1=3m-2,得 100a1+100100-D4=10, 2 n=3m,1-3m,3+2_-3m,卫+1，于是m-1=26,k∈N,所以 2 2 2 1099 (a1=100, m=2k十1，k∈N,则ak=3(2k十1)-2=6k+1,k∈N,得am=6n-5, 解得 11 n∈N,故S,=1+6”5Xn=3m2-2m.] d=-50 2 ∴S1o=110a1+110110-1Dd 课时分层检测（六） 2 1基础达标练 =110x182+010×() 1.D[:an=26-2n,…an-am-1=-2, 100 .数列{an}为等差数列. =-110. 又a1=24,d=-2, 法二 S10,S20-S10,S0-S20,…,S100-S0,S110-S100,…成等 差数列， S=2m+21×(-2)=-+25m=-(（口2)+5 2 设公差为d, : :n∈N*,.当n=12或13时，Sn最大.] 该教列的前10项和为10X100+10X94=510=10, 2 2.A[由数列{an}为等差数列，且a1<a2<0,得公差d=a2-a1>0, 解得d=-22, 故数列{an}为递增数列，且a1<0,所以S,有最小值，无最大值.] ∴前1项和S1o=11×100+11X10×(一2)=-110. 13.AB[,S>S1,.a70,,S7>S5,a6十a7>0,∴.a6>0,.d 2 0,A正确；又S1=号(a1十am)=11a>0,B正确：S=号(a1+ 法三直桃利用性度S=S。AS.m中)，可得S a12)=6(a6十a?)>0,C不正确：{Sn}中的最大项为S6,D不正确.故 -110. 选A、B.] 1.B[由题意及等差教列的性质可得4(a1十a,)=20十60=80,4.D国为等差数列的前n项和S。是关于n的二次函数， 能力提升练 a1十a,=20.:前n项之和是100=na+a,解得n=10,故 所以由二次函数的对称性及S2014=S2021,S=S212, 2 可得2014+2021_2012+k 2 2 选B.] 2.35[设对324的18项划分中最小数为a1,最大数为a18, 解得k=2023.] 15.A[由题意，可知良马第n日行程记为am,则数列{an}是首项为97， (a18=a1十(18-1)×2， 公差为15的等差数列， 则由 【8a+a四2二324，解得1、 2 (a18=35. 驽马第n日行程记为bn,则数列{bn}是首项为92，公差为一1的等差 数列， 3.-3[因为a,=2m+3,所以a1=5,5,=5+2)+3)n=m2十4m,与 则an=97+15(n-1)=15n十82，b,=92-(n-1)=93-2. 2 Sn=an2十bn十c比较，得a=1,b=4,c=0,所以a-b十c=-3.] 因为数列(an}的前n项和为”(97十15n十82)=n(179+15n 2 2 166