第四章 指数函数与对数函数 单元测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学指数函数与对数函数单元卷，通过基础巩固与创新应用的梯度设计，融合新能源汽车续航、水果等级定价等真实情境，适配单元复习，培养数学抽象、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合运算、函数图象变换、零点判定|单选第6题以水果等级定价构建指数函数模型，体现应用意识；多选第10题分析对数函数性质，培养逻辑推理| |填空题|3题15分|复合函数单调性、方程根与对数运算|第13题结合韦达定理与指数运算，考察数学思维的严谨性| |解答题|5题77分|函数建模、零点问题、综合应用|第16题新能源汽车续航数据建模，培养数据观念；第19题函数最值探究，发展创新意识与数学抽象能力|

第四章　指数函数与对数函数 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|log3(x-)≤-1},B={x|10x2-3x-1≤0},则A∩B=(　　) A.[-] B.[-] C.(] D.(] 2.(2026黑龙江哈尔滨阶段练习)把函数y=2x的图象关于y轴对称后得到g(x)的图象,则g(x)的图象与函数y=lox的图象关于(　　) A.x轴对称 B.y轴对称 C.原点对称 D.直线y=x对称 3.设f(x)=3x-x2,则在下列区间上,使函数f(x)有零点的区间是(　　) A.[0,1] B.[1,2] C.[-2,-1] D.[-1,0] 4.已知a=,b=log2,c=lo,则(　　) A.a>c>b B.c>a>b C.a>b>c D.c>b>a 5.(2026江西吉安期末)函数f(x)=的大致图象为(　　) 6.某种水果根据果径大小,可将其从小到大依次分为6个等级,其等级x(x=1,2,3,4,5,6)与其对应等级的市场销售单价y(单位:元/千克)近似满足函数关系式y=eax+b.若花同样的钱买到的1级果比5级果多3倍,且3级果的市场销售单价为60元/千克,则6级果的市场销售单价最接近(　　)(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈1.26,≈1.44) A.130元/千克 B.160元/千克 C.170元/千克 D.180元/千克 7.如图,矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数y=lox,y=,y=()x的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2,则点D的坐标为(　　) A.() B.() C.() D.() 8.(2026辽宁沈阳期末)已知f(x)=方程f2(x)-2mf(x)+m+2=0有6个不同的实数解,则实数m的取值范围是(　　) A.(2,] B.(2,) C.(-∞,) D.(2,+∞) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列命题正确的是(　　) A.(a2)3=a6 B. C.(lg 2)2+lg 2×lg 5+lg 5=2 D.若3a=10,log925=b,则lg 5= 10.已知函数f(x)=ln|x-a|,则下列说法正确的有(　　) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为R C.f(x)在(a,+∞)上单调递增 D.f(x)的图象关于直线x=a对称 11.(2026陕西西安期中)已知f(x)=是奇函数,则(　　) A.a=1 B.f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增 C.f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞) D.f(0.3x)>f()的解集为(-∞,) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.函数f(x)=lo(-2x2+3x+2)的单调递减区间为　　　　　.  13.(2026上海期中)若方程x2+xlog26+log23=0的两根为α,β,则()α·()2β=　　　　　. 14.(2026山东聊城阶段练习)若函数y=ax+a2-a(a>0,a≠1)的图象不经过第四象限,则实数a的取值范围为　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(2026福建莆田期末)(1)求2+log2(47×2π)的值; (2)已知=3,求的值; (3)已知blog34=1,2c=6,求2b-c的值. 16.(15分)(2026安徽亳州期末)某科研所对一新款新能源汽车的续航能力进行实验,每行驶30千米,测量一次蓄电池的电量,得到蓄电池的剩余电量占满电量的百分比为A%,设f(x)=A,f(x)随里程数x(一个里程数等于30千米)的变化数据如下: 里程数x 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 100 90.5 81.95 74.255 67.330 61.097 55.487 现有三种函数模型: ①f(x)=ax+b(a<0,x≥0,b>0); ②f(x)=loga(x+k)+b(a>1,k>0,x≥0); ③f(x)=m·ax+b(m>0,0<a<1,x≥0). (1)请根据表中数据,选择符合实际情况的函数模型,并利用前三组数据求出f(x)的解析式; (2)经验表明,为了确保行车安全,当蓄电池的剩余电量为20%时,就应该开始寻找充电站,避免车辆电量过低导致无法行驶,求本次实验该新能源汽车剩余电量为20%时大约行驶了多少千米.(参考数据:lg 3≈0.48,lg 19≈1.28) 17.(15分)(2026宁夏固原期中)已知函数f(x)= (1)求函数f(x)的零点; (2)若函数g(x)=f(x)-a(a∈R)有两个零点,求a的取值范围;(注:在给定的坐标系内画图) (3)若(2)中的函数y=g(x)有四个零点,记y=g(x)的四个零点从左到右分别为x1,x2,x3,x4,求x1+x2+x3+x4的取值范围. 18.(17分)(2026陕西汉中期中)已知函数f(x)=k·2x+2-x是定义域为R的偶函数. (1)求f(2)的值; (2)证明:函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增; (3)若g(x)=22x+2-2x-2mf(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,求m的值. 19.(17分)已知函数f(x)=log4(22x+a)-x,a∈R. (1)若函数f(x)的图象经过点P(,-+log23). (ⅰ)求实数a的值; (ⅱ)设g(x)=log4(2x+x+m)(m∈R),若关于x的方程f(x)=g(x)在区间[-2,2]上有解,求实数m的取值范围. (2)是否存在实数a,使得f(x)存在最小值,且最小值小于-1?若存在,求实数a的取值范围;若不存在,说明理由. 答案： 1.C　因为log3(x-)≤-1=log3,所以0<x-,即<x≤,所以A=(]. 又因为10x2-3x-1≤0可化为(2x-1)(5x+1)≤0, 解得-≤x≤,所以B=[-], 所以A∩B=(].故选C. 2.D　由题意知,g(x)=2-x=()x.因为指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,图象关于直线y=x对称,所以g(x)的图象与函数y=lox的图象关于直线y=x对称.故选D. 3.D　显然,函数f(x)的图象是连续的.∵f(-2)=3-2-(-2)2=-<0,f(-1)=3-1-(-1)2=-<0,f(0)=30-02=1>0,f(1)=3-1=2>0,f(2)=32-22=5>0,∴f(-1)·f(0)<0, ∴使函数f(x)有零点的区间是[-1,0]. 4.A　因为函数y=3x为单调递增函数, 所以a=>30=1,即a>1. 因为y=log2x为单调递增函数, 所以b=log2<log21=0,即b<0. 因为y=lox单调递减,所以lo1<lo<lo,即0<c<1,故a>c>b.故选A. 5.A　f(x)的定义域为{x|x≠±1},关于原点对称,且f(-x)==-f(x),则函数f(x)为奇函数,图象关于原点对称,故C错误;又因为f(2)=e-2-e2<0,故D错误;当x→+∞时,f(x)→-∞,故B错误,A正确.故选A. 6.C　由题意可知=e4a=3+1, 解得ea=,由e3a+b=60, 可得e6a+b=e3a+b·(ea)3=60×()3=120≈169.2(元/千克), 最接近170元/千克.故选C. 7.A　由yA=2,则yA=loxA=2, 即xA=()2=,即xD=, 又yB=yA=2,则yB==2, 即xB=22=4,则xC=xB=4, 即有yC=(=()4=, 即yD=,所以D().故选A. 8.A　作出函数y=f(x)的图象,如图所示. 令t=f(x),g(t)=t2-2mt+m+2, 若方程f2(x)-2mf(x)+m+2=0有6个不同的实数解, 则函数y=g(t)有2个零点t1,t2,不妨设t1<t2, 结合函数y=f(x)的图象,有如下几种情况: 若0<t1<2<t2≤3,则 解得2<m≤; 若t1=2,t2>3,则g(2)=6-3m=0,解得m=2, 此时g(x)=t2-4t+4的零点为2,不合题意; 若3<t1<t2,则无解,不合题意. 综上,m的取值范围为(2,].故选A. 9.AD　对于A,由指数运算性质可得(a2)3=a2×3=a6,故A正确; 对于B,由指数运算性质可得,故B错误; 对于C,(lg 2)2+lg 2×lg 5+lg 5=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5=1,故C错误; 对于D,3a=10⇒a=log310,log925=lo52=log35=b,则=lg 5,故D正确.故选AD. 10.BCD　由|x-a|>0可得x≠a,故f(x)的定义域为{x|x≠a},值域为R,A错误,B正确; 由于y=|x-a|在区间(a,+∞)上单调递增,在区间(-∞,a)上单调递减,而y=ln x为区间(0,+∞)上的单调递增函数,因此f(x)在区间(a,+∞)上单调递增,C正确; 由于f(x)的定义域为{x|x≠a}关于x=a对称,且f(-x+2a)=ln|-x+2a-a|=ln|x-a|=f(x),故f(x)的图象关于直线x=a对称,D正确.故选BCD. 11.AC　f(x)的定义域为{x|x≠0},因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)在定义域上恒成立,即=-⇒(a-1)(2x-1)=0⇒a-1=0⇒a=1,A正确; f(x)==1+,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,B错误; 因为2x>0且2x≠1,所以2x-1>-1且2x-1≠0,所以<-2或>0,所以1+<-1或1+>1,即f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞),C正确; 因为0.3x>0,>0,且f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,所以f(0.3x)>f()等价于0.3x<⇒0.3x<0.,所以x>,D错误.故选AC. 12.(-)　令t=-2x2+3x+2, 由题意得t=-2x2+3x+2>0,解得-<x<2, 且t=-2x2+3x+2的图象为开口向下,对称轴为x=的抛物线, 所以当x∈(-)时,t=-2x2+3x+2单调递增, 当x∈(,2)时,t=-2x2+3x+2单调递减, 因为y=lot为单调递减函数, 所以f(x)的单调递减区间为(-). 13.36　因为方程x2+xlog26+log23=0的两根为α,β,由韦达定理可得α+β=-log26,故()α·()2β=()2(α+β)=(=36. 14.[3,+∞)　由题意,当x∈(0,+∞)时,ax+a2-a≥0恒成立. 当a∈(0,1)时,函数y=ax在R上单调递减, 所以a2-a≥0,即a(a-)≥0,解得a≤0或a≥, 又a∈(0,1),无解; 当a∈(1,+∞)时,函数y=ax在R上单调递增, 则需当x∈(0,+∞)时,ax>a0=1, a2-a≥-1,即3a2-10a+3≥0,解得a≤或a≥3, 又a∈(1,+∞),所以a∈[3,+∞). 综上,a∈[3,+∞). 15.解 (1)2+log2(47×2π)=+|π-4|+log2214+π=9+4-π+14+π=27. (2)∵=3,∴()2=a+a-1+2=9, 即a+a-1=7, ∴(a+a-1)2=a2+a-2+2=49,即a2+a-2=47, ∴=4. (3)∵blog34=1,2c=6,∴b==log43,c=log26, ∴2b-c=2log43-log26=log23-log26=log2=-1. 16.解 (1)由题表中数据可知,f(x)为单调递减函数,则②不符合题意, 当自变量x增加量为1时,f(x)的减少量越来越小,则①不符合题意,故选③. 由表中数据得,解得m=95,a=0.9,b=5,故f(x)=95×0.9x+5. (2)由题意可知,95×0.9x+5=20,则0.9x=, 两边取对数得,x=log0.9=20, 所以本次实验该新能源汽车剩余电量为20%时大约行驶了30×20=600(千米). 17.解 (1)由|log2x|=0,得x=1,符合0<x<2, 由x2-6x+9=0,得x=3,符合x≥2, 所以f(x)的零点为1和3. (2)作出f(x)的图象如下, 若g(x)=f(x)-a(a∈R)有两个零点,即f(x)=a有两个解,则函数y=f(x)与直线y=a有两个交点,由图象可得a=0或a>1, 所以a的取值范围为{a|a=0或a>1}. (3)因为g(x)有四个零点,且四个零点从左到右分别为x1,x2,x3,x4, 则由二次函数图象对称性可知x3+x4=6, 由-log2x1=log2x2,知x1x2=1,由0<-log2x1<1得<x1<1,所以x1+x2+x3+x4=x1++6, 因为函数y=x+在区间(,1)上单调递减, 所以x1+∈(2,), 所以x1+x2+x3+x4=x1++6∈(8,). 18.(1)解 ∵f(x)=k·2x+2-x是定义域为R的偶函数, 则f(x)=f(-x),即k·2x+2-x=k·2-x+2x, ∴(k-1)2x+(1-k)2-x=0,即(k-1)(2x-)=0, ∴k=1,∴f(x)=2x+2-x,∴f(2)=22+2-2=. (2)证明 由(1)可知f(x)=2x+2-x,对∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)= =()(1-), ∵0<x1<x2,∴1<,∴<0,1->0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. (3)解 ∵f(x)=2x+2-x,∴g(x)=22x+2-2x-2m(2x+2-x)=(2x+2-x)2-2m(2x+2-x)-2. 令t=2x+2-x,由(2)可知t=2x+2-x≥2+2-1=, 即t≥,∴h(t)=t2-2mt-2=(t-m)2-m2-2. 当m≤时,h(t)min=h()=()2-2m×-2=-2,解得m=; 当m>时,h(t)min=h(m)=-m2-2=-2,解得m=0,不符合题意,舍去. 综上,可知m=. 19.解 (1)(ⅰ)因为函数f(x)的图象经过点P(,-+log23), 所以log23-=log4(23+a)-=log4(8+a)-, 所以log23=log4(8+a)=lo)2=log2, 则3=,解得a=1. (ⅱ)f(x)=log4(4x+1)-x=log4(4x+1)-log42x=log4, 因为f(x)=g(x),所以log4(2x+x+m)=log4, 即2x+x+m=,整理得m=()x-x. 因为当x∈[-2,2]时,函数y=()x-x单调递减, 所以-≤()x-x≤6, 所以使方程f(x)=g(x)在区间[-2,2]上有解的实数m的取值范围是[-,6]. (2)由题意得f(x)=log4(4x+a)-x=log4(2x+), 当a<0时,令4x+a>0,解得x>log4(-a), 所以f(x)的定义域为(log4(-a),+∞). 令u=2x+,则u=2x+为增函数, 所以函数y=log4u是增函数, 所以f(x)在(log4(-a),+∞)上单调递增,无最小值; 当a=0时,f(x)=log44x-x=x-x=x在R上单调递增,无最小值; 当a>0时,u=2x+≥2,当且仅当2x=,即x=log2时等号成立,即u=2x+的最小值为2, 又因为函数y=log4u是增函数, 所以f(x)min=log4umin=log4(2)=log4a<-1,解得0<a<. 综上,存在实数a使得f(x)存在最小值,且最小值小于-1,此时实数a的取值范围为(0,). 11 学科网（北京）股份有限公司 $