25.2.3 因式分解法-教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦因式分解法解一元二次方程，通过回顾公式法解题步骤，结合物理竖直上抛情境引出方程，对比配方法、公式法的繁琐，凸显因式分解法的简便，构建完整的一元二次方程解法体系。 特色在于以现实问题培养数学眼光，用抛球情境抽象方程；通过对比四种解法发展数学思维，引导学生推理择优；分层练习与综合拓展强化数学语言应用，助力学生提升运算能力与模型意识，为教师提供清晰教学脉络和易错点指导。

教学设计 《25.2.3 因式分解法》教学设计 课型 新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本课是一元二次方程四种解法的收尾课时，承接直接开平方法、配方法、公式法，补充更简便快捷的因式分解法，完善整式方程完整解法体系．教材借助竖直上抛物理实际情境引出方程，依托“积为0则因式为0”的旧知推导新解法，延续贯穿全章的“降次”核心思想，实现二次向一次方程转化．因式分解法计算量小、步骤简洁，是后续解决实际应用题的首选简便方法；课堂末尾对比四种解法的适用范围，帮助学生建立择优解题的思维，实现方法整合．同时串联八下因式分解相关知识，完成新旧知识联动，培养学生观察方程结构、灵活选择最优解法的运算素养，为后续根与系数关系、综合应用题的计算减负，是提升学生代数解题效率的关键一课． 学习者分析 学生已熟练掌握提公因式、平方差、完全平方公式因式分解，前四课时已经掌握三种一元二次方程解法，深刻理解解方程“降次”的核心思路．但学生存在明显薄弱点：容易忘记因式分解法的前提是方程一侧化为0，移项时常漏变号；面对复杂多项式，因式分解不彻底导致漏根；不擅长观察方程结构，无论题型都机械套用公式法，缺乏择优解题意识；无法清晰区分四种解法的适用场景，分类归纳、对比总结的能力不足，需要结合实例对比，引导学生自主辨析不同解法优劣． 教学目标 1．依据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”，理解因式分解法解方程原理． 2．掌握提公因式、平方差、完全平方分解方程左边多项式，快速求解方程． 3．对比四种解法，能根据方程结构特征选择最简捷的解方程方法． 教学重点 理解因式分解法解方程的原理，熟练运用因式分解法解方程，能根据方程特征灵活选择最优解法． 教学难点 准确将方程整理为一边等于0的形式并彻底分解因式，结合方程结构对比区分四种解法，合理选择最简捷的求解方法． 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：学习目标 教师活动1： 师出示学习目标： 1．依据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”，理解因式分解法解方程原理． 2．掌握提公因式、平方差、完全平方分解方程左边多项式，快速求解方程． 3．对比四种解法，能根据方程结构特征选择最简捷的解方程方法． 学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标 活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性． 环节二：新知导入 教师活动2： 问题：1．上节课我们学习了哪种解一元二次方程的通用方法？ 答案：公式法 2．用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 答案：第1步：先把方程化为一般形式； 第2步：确定a，b，c的值； 第3步：计算b2－4ac的值； 第4步：当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 导言：一元二次方程一般可以用公式法来解，但对于像这样的方程，根据平方根的意义求解较为简便. 下面，我们继续讨论对于解某些一元二次方程较为简便的方法. 学生活动2： 学生积极回答问题 活动意图说明： 通过回顾公式法核心知识点与完整解题步骤，巩固上节课所学内容，铺垫解方程“降次”的核心思路，再引出部分方程可用更简便方法求解，制造认知冲突，自然导入因式分解法的学习． 环节三：新知讲解 教师活动3： 问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过后的离地高度(单位:m)约为 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ 解：设物体经过落回地面，这时它离地面的高度为，即 追问1：你能利用学过的方法解这个方程吗？ 解：①配方法： 整理，得5x2－10x＝0． 二次项系数化为1，得x2－x＝0． 配方，得， ， 由此可得， x1＝0，x2＝． ②公式法： 方程化为5x2－10x＝0． a＝5，b＝－10，c＝0． Δ＝b2－4ac ＝(－10)2－4×5×0＝100＞0． 方程有两个不等的实数根 即x1＝0，x2＝． 思考1：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程 10x－5x2＝0？ 引导：观察方程10x－5x2＝0的左右两边，发现： 方程的左边是一个二项式，且这个二项式可以进行因式分解， 即 10x－5x2＝5x(2－x)． 方程的右边是0，所以 5x(2－x)＝0． 追问2：怎么解5x(2－x)＝0个这方程呢？ 注意：如果，那么，或. 引导：这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0.我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0， 那么它们的积也等于0.所以 5 因此，方程的两个根是 对于这两个根，表示物体抛离地面的时刻，即在时物体被抛出，此刻物体的高度是；而表示物体在抛离地面时落回地面. 思考2：解方程时，二次方程是如何降为一次的? 引导：可以发现，在上述解法中，由到或的过程，不是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 归纳：这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 例：解下列方程: (1)； (2). 解:(1)左边分解因式，得 于是 即 (2)移项、合并同类项，得 左边分解因式，得 于是 即 归纳：利用因式分解法解一元二次方程的常用方法 （1）提公因式法：把多项式各项的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式． （2）运用平方差公式a2－b2 ＝ (a＋b)(a－b) 和完全平方公式a2±2ab＋b2 ＝ (a±b)2来分解因式． 思考3：学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗? 归纳：配方法要先配方，再开方，进而降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0. 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便.总之，解一元二次方程的基本思路是:先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程. 学生活动3： 学生合作探究后，班内汇报交流，然后听老师的点评和讲解 活动意图说明： 借助抛球物理实例引出方程，依托零乘积性质讲解因式分解法的降次原理，搭配两类典型例题练习提公因式、平方差分解．课后对比四种解法的适用范围，引导学生观察方程结构择优选择解法，深化降次转化思想，完善一元二次方程解法体系，提升灵活运算的能力． 环节四：课堂小结 教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识 活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系． 板书设计 课题：25.2.3因式分解法 一、定义 二、方法 三、解法选择 教师板演区 学生展示区 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．一元二次方程的解是（     ） A． B． C．或 D．或 答案：C 2．若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 答案： 3．用适当的方法解方程： (1)； (2)． 解：（1）， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，． 选做题： 4．若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 答案：B 【综合拓展类练习】 5．已知关于x的一元二次方程． (1)当时，求方程的解． (2)若是方程的一个解，求b的值和方程的另一个解． 解：（1）当时，方程为， 因式分解，得， 所以或， 解得，． （2）∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴方程为， 因式分解，得， 解得，， ∴方程的另一个解为． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 答案：A 2．的根是______，的根是______． 答案：， ， 3．用适当方法解下列方程 (1) (2) 解：（1） ∴或 解得，． （2） 移项得 开平方得 解得，． 选做题： 4．将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 答案：或 【综合拓展类作业】 5．设是实数，已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程的两根都大于，求的取值范围． 证明：（1）， 该方程总有两个实数根； （2）由得， 或， ，． 方程的两根都大于， ， 解得， 的取值范围是． 教学反思 本节课以物理抛球情境引入，依托零乘积性质推导因式分解法，多数学生能掌握基础提公因式解方程．但课堂存在明显短板，部分学生解题前不整理方程，未将右侧化为0就直接分解；不少学生依旧习惯套用公式法，不会判断题型选用简便解法．后续可增加题型对比专项练习，设置分层辨析题，强化“先观察、再选法”的解题习惯，梳理四种解法适用题型清单，加深学生择优运算的意识． 学科网（北京）股份有限公司 $