25.2.3 第1课时 用因式分解法解一元二次方程 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦用因式分解法解一元二次方程，课堂导入通过土地面积问题引出方程2x²=80x，回顾直接开平方法、配方法、公式法，提出新解法探究，搭建新旧知识联系的学习支架。 此设计以“降次”思想为核心，结合物理上抛物体实例和“ab=0则a=0或b=0”的问题链培养推理意识，典例精析与随堂检测提升运算能力和应用意识，帮助学生构建知识网络，也为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

25.2.3　因式分解法 第1课时　用因式分解法解一元二次方程 教学设计 课题 25.2.3　第1课时 用因式分解法解一元二次方程 授课人 教学目标 1.了解因式分解法的概念.用因式分解法解一元二次方程． 2.掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，体会“降次”的数学思想方法. 3.（2022新课标）能用因式分解法解数字系数的一元二次方程. 4.通过探索因式分解法解一元二次方程的过程，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，树立转化的思想方法． 教学重点 因式分解法解一元二次方程. 教学难点 将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式进行因式分解． 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 在新城区规划建设过程中，测量土地时，发现了一块正方形土地和一块矩形土地，矩形土地的宽和正方形土地的边长相等，矩形土地的长为80 m，测量人员说：“正方形土地面积是矩形土地面积的一半．”你能帮助工作人员计算一下正方形土地的面积吗？ 设正方形土地的边长为x m．根据题意，得2x2＝80x.在解此方程时，我们可以通过直接开平方法或配方法或公式法来解决．那么，一元二次方程除了上述解法外，还有其他解法吗？ 学生带着问题去学习，并由此引出本节课的学习探究. 探究新知 用因式分解法解一元二次方程 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度为(10x－4.9x2)m.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01 s)? 分析：设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m，则得方程10x－4.9x2＝0．请大家分别用配方法和公式法求解该方程． 教师选派两名学生分别板演出两种解法的解题过程，并提出疑问：除了配方法和公式法外，是否能找到更简便的方法？ 问题1：当a，b分别取什么值时，等式ab＝0成立？ 学生交流，讨论，得出结论． 教师板书：理论依据：若ab＝0，则a＝0或b＝0. 问题2：依据问题1，你能解情境问题中的一元二次方程10x－4.9x2＝0吗？对比配方法和公式法，这种解法有什么优点？ 方程左边分解因式，得x(10－4.9x)＝0，则x＝0或10－4.9x＝0，解得x1＝0，x2＝. 应用探究： (1)若(x＋1)(x－2)＝0，则x1＝__－1__，x2＝__2__； (2)若(2x－1)(3x＋5)＝0，则x1＝____，x2＝__－__； (3)解方程x2－x＝0时，方程可以变形为__x(x－1)__＝0，则x1＝__0__，x2＝__1__； (4)解方程4x(x＋3)＋3(x＋3)＝0时，方程可以变形为__(4x＋3)(x＋3)__＝0，则x1＝__－__，x2＝__－3__． 学生自主解答问题，教师进行个别指导，然后学生进行做法讲述，教师进行点评与总结． 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为0； ②将方程的左边进行因式分解； ③令每个因式为0，得到两个一元一次方程； ④解一元一次方程，得到方程的解． 归纳：不用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 通过问题引发学生思考，引导学生探究. 通过问题解决，总结因式分解法及其解一元二次方程的步骤. 典例精析 【例1】 (教材p13例4) 解下列方程： （1）x（x-2）+x-2=0   ；(2)5x2－2x－＝x2－2x＋. 【解】（1）因式分解，得x（x-2）+（x-2）=0 ； （x-2）（x+1）=0， 于是得x－2＝0，或x＋1＝0， 解得：x1=2；x2=-1. ⑵移项，合并同类项，得4x2−1＝0, 因式分解，得（2x＋1）（2x−1）＝0, （2x＋1）=0；（2x−1）＝0, x1＝；x2＝－. 【方法总结】因式分解法解一元二次方程的一般步骤是： ①将方程的右边化为0； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 【针对训练】用因式分解法解下列方程： (1)4x2－121＝0；(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；(3)(x－4)2＝(5－2x)2. 解：(1)因式分解，得(2x＋11)(2x－11)＝0. ∴2x＋11＝0或2x－11＝0， x1＝－，x2＝. (2)移项，得3x(2x＋1)－(4x＋2)＝0. 因式分解，得(2x＋1)(3x－2)＝0. ∴2x＋1＝0或3x－2＝0， ∴x1＝，x2＝－. （3）移项，得(x－4)2－(5－2x)2＝0. 因式分解，得[(x－4)＋(5－2x)][(x－4)－(5－2x)]＝0. 即(1－x)(3x－9)＝0.∴1－x＝0或3x－9＝0， ∴x1＝1，x2＝3. 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答． 通过例题，加强学生对因式分解法解方程的能力. 随堂检测 1．下列方程，最适合用因式分解法解的是（　　） A．(x－1)(x－2)＝3 B．2(x－1)2＝x2－1 C．x2＋2x－1＝0 D．x2＋4x＝2 解析：选项A，整理得x2－3x－1＝0，方程左边不能进行因式分解，故不适合； 选项B，原方程可化为2(x－1)2＝(x＋1)(x－1)，移项后方程左边可提取公因式(x－1)，能进行因式分解； 选项C，方程左边不能进行因式分解，故不适合； 选项D，整理得x2＋4x－2＝0，方程左边不能进行因式分解，故不适合． 答案：B. 2．方程2x2＝3x的解为（　　） A．x＝0　　　　 B．x＝ C．x＝－　　　　 D．x1＝0，x2＝ 解析：移项，得2x2－3x＝0， 左边因式分解，得x(2x－3)＝0， ∴x＝0或2x－3＝0， ∴x1＝0，x2＝． 答案：D. 3．解下列方程： （1）3x2-6x=-3； （2）4x2-121=0. 解：（1）化为一般式 x2－2x＋1＝0． 因式分解，得 (x－1)(x－1)＝0． ∴x－1＝0， ∴x1＝x2＝1． （2）因式分解，得 (2x＋11)(2x－11)＝0． ∴2x＋11＝0，或2x－11＝0， ∴x1＝－，x2＝. 4．由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式： x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)． 示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3 ＝(x＋2)(x＋3)． （1）尝试． 分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋ )(x＋ )； （2）应用． 请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0． 解：（1）2 4 （2）∵x2－3x－4＝x2＋(－4＋1)x＋(－4)×1 ＝(x－4)(x＋1)＝0， ∴x－4＝0，或x＋1＝0， ∴x1＝4，x2＝－1． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 【课堂小结】 引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到什么方法？从知识内容上学到什么内容？分清楚概念的区别和联系？ 1.方法层面：学习了因式分解法，体会 “降次转化” 思想，利用因式分解把一元二次方程化为两个一元一次方程，实现 “二次→一次” 的化归. 2.知识内容层面：掌握因式分解法的核心依据：若 ab=0，则 a=0 或 b=0；熟练运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式；归纳解题步骤：移项→右边化为 0→左边因式分解→令每个因式为 0→解一元一次方程. 3.概念联系与区别：因式分解法是特殊、简便方法，只适用于能轻松分解的方程；与配方法、公式法对比：配方法和公式法是通用方法，因式分解法是快捷方法；强调必须先把方程化为 “一边为 0，另一边乘积” 的形式，不能直接开方或约分. 【知识网络】 教学说明：教师提问并引导学生总结归纳配方法的概念及解题步骤． 巩固所学知识，加深对求根公式的理解与应用. 作业布置 《课时训练》p11—p12练习题 板书设计 用因式分解法解一元二次方程 1.概念 2.原理 3.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）移项； （2）分界； （3）转化； （4）求解. 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $