25.2.3 因式分解法（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 分层清晰，梯度衔接合理，从单一知识点辨析到综合应用，强化因式分解法的概念理解与实际问题解决，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|因式分解法解方程的概念辨析、变形规则、直接应用；解法选择|含概念辨析题（如1题）、变形正误判断（如2题）及变式训练（如4题），夯实基础，发展抽象能力| |能力提升|综合应用、跨学科问题、几何情境、创新题型|设跨物理学科题（如10题）、三角形边长应用（如11题）及中考创新题（如13题），深化推理意识与应用意识|

25.2.3 因式分解法 01 基础达标 知识点一 用因式分解法解方程 1. 下列方程能用因式分解法求解的有（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 用因式分解法解下列方程，变形正确的是（ ） A. ，可得或 B. ，可得或 C. ，可得或 D. ，可得 3. 整式与的积为，则一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【变式】 4. 已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程可以为_______． 5. 用因式分解法解下列方程： （1）． （2）． 知识点二 用适当的方法解方程 6. 解方程，最适当的解法是（ ） A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 7. 在下列各题的空格中填写适当的解法： （1）解方程，用________法较简便． （2）解方程，用________法较简便． 8. 用适当的方法解下列方程： （1）． （2）． （3）． 02 能力提升 9. 已知方程，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 或0 [新考法·跨物理学科] 10. 根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m)约为．根据上述规律，物体经过_____秒落回到地面． 11. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________. 12. 我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一元二次方程的一对“友好方程”．如果一元二次方程的一对“友好方程”有公共解，则这个公共解是________． （长沙中考） 13. 对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________． 25.2.3 因式分解法 01 基础达标 知识点一 用因式分解法解方程 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据分解因式法求解方程的方法逐一判断即得答案． 【详解】解：方程可变形为，故①能用分解因式法求解； 方程可变形为，故②能用分解因式法求解； 方程不能用因式分解法求解； 方程可变形为，即，故④能用分解因式法求解． 综上，能用因式分解法求解的方程有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式的方法是正确判断的关键． 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用解一元二次方程—因式分解法，进行计算即可解答． 【详解】解：A、， 整理得：， ， ， ， 或， 故本选项不符合题意； B、，可得或，故本选项符合题意； C、， 整理得：， ， 或， 故本选项不符合题意； D、，可得或，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键． 【3题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题可利用题干给出的因式分解结果，用因式分解法求解一元二次方程，依据是若两个因式乘积为，则至少一个因式的值为． 【详解】解：∵ 题干已知 ， ∴ 一元二次方程 可化为 ， 令每个因式等于，得 或 ， 解得 ，． 【变式】 【4题答案】 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题设二次项系数为，利用根与系数的关系计算得到一次项系数和常数项，即可得到所求一元二次方程. 【详解】解：设所求一元二次方程为， 根据根与系数的关系可得 ，， 将，代入得 ，解得， ， 因此这个一元二次方程为，只要满足都为正确方程. 【5题答案】 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（1）左边利用平方差公式分解因式化为积的形式，利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解； （2）右边利用平方差公式分解因式，方程移项后，左边再利用提公因式分解因式化为积的形式，利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ，， 解得：，． 【小问2详解】 解：． ， ， ， ， ，， 解得：，． 知识点二 用适当的方法解方程 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】观察方程可得左右两边都含有公因式，移项后可提取公因式因式分解，直接将方程降次为一元一次方程求解，步骤最简便，因此最适当的解法为因式分解法. 【详解】解：原方程为， 移项得， 提取公因式可得， 即， 可直接转化为两个一元一次方程求解，计算简便，因此最适当的解法是因式分解法. 【7题答案】 【答案】 ①. 因式分解 ②. 直接开平方 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的不同结构特征，选择合适的简便解法，通过观察方程左右两边的形式特点即可判断. 【详解】（1）对于方程，方程左边可提取公因式因式分解，分解后可直接得到方程的根，计算过程简便，因此用因式分解法较简便. （2）对于方程，方程左边是完全平方形式，右边为正的常数，符合直接开平方法的应用形式，两边直接开平方即可求解，因此用直接开平方法较简便. 【8题答案】 【答案】（1），． （2），． （3），． 【解析】 【分析】（1）方程移项后，左边利用提公因式分解因式化为积的形式，利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解； （2）找出，及的值，计算出根的判别式的值大于，代入求根公式即可求出解； （3）两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为一元一次方程来求解． 【小问1详解】 解：， . ， ，， 解得：，． 【小问2详解】 解：， ，，， ， ∴， 解得：，． 【小问3详解】 解：， ， ， , 解得：，． 02 能力提升 【9题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，将x的值代入中，即可求出值． 【详解】解：， ∴或， 解得：， 当时，； 当时，． 故选D． [新考法·跨物理学科] 【10题答案】 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，理解题意，建立方程解决问题． 由题意可知物体回落到地面，也就是说为0，建立方程求得答案即可． 【详解】解：， 落回地面时， 所以， 解得：或， 因为时间为零时未扔出， 所以舍去． 答：物体经过2秒回落地面． 故答案为：2． 【11题答案】 【答案】16 【解析】 【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长． 【详解】解：解方程x2-10x+21=0得x1=3，x2=7， ∵3＜第三边的边长＜9， ∴第三边的边长为7． ∴这个三角形的周长是3+6+7=16． 故答案为16． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 【12题答案】 【答案】 【解析】 【分析】设一对“友好方程”的公共解为，将公共解代入两个方程，利用作差法整理方程，结合的条件求解公共解即可. 【详解】解：设公共解为， 由题意得 两式相减得， 提取公因式得， ∵， ∴， ∴， 解得. （长沙中考） 【13题答案】 【答案】或2 【解析】 【分析】根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方程即可． 【详解】解：根据新定义内容可得：， 整理可得， 解得，， 故答案为：或2． 【点睛】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $