第二章一元二次函数、方程和不等式 单元测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学第二章“一元二次函数、方程和不等式”单元卷，覆盖比较大小、不等式性质、基本不等式等核心知识，题型多样，梯度分明，注重数学思维与运算能力，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|比较大小（1题）、集合交集（2题）、充要条件（3题）|基础巩固，考查概念辨析与运算| |多项选择|3/18|不等式性质（9题）、柯西不等式应用（11题）|能力提升，体现逻辑推理与知识迁移| |填空|3/15|分式不等式（12题）、整数解问题（13题）|综合应用，强化分类讨论思想| |解答|5/77|实际应用题（17题设备盈利）、新定义“根距”（19题）|创新拓展，融合数学建模与创新意识|

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第二章　一元二次函数、方程和不等式 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若P=a2-2a,Q=2a-4,则P和Q的大小关系为(　　) A.P>Q　　B.P<Q　　C.P≥Q　　D.P≤Q 2.已知集合A={x|(x+2)(x-1)≤0},B={x|x=2k,k∈Z},则A∩B=(　　) A.{-2,0}　　B.{0,2}　　C.{0}　　D.⌀ 3.命题“∀x∈{x|x2-3x+2<0},x2-m≤0”为真命题的充要条件是(　　) A.m≥4　　B.m>4　　C.m≤4　　D.m<4 4.已知a>0,b>0,a+b=9,则+的最小值为(　　) A.8　　B.9　　C.12　　D.16 5.已知不等式ax2+bx+c<0的解集是xx<-或x>,则不等式cx2-bx+a≥0的解集为(　　) A.{x|x≤-2或x≥3}　　B.{x|x≤-3或x≥2} C.{x|-2≤x<2或x≥3}　　D.{x|-2≤x≤2或x≥3} 6.(x>1)的最大值为(　　) A.1　　B.-1　　C.3　　D.-3 7.已知不等式a(x-x1)(x-x2)>0的解集为A,不等式b(x-x1)(x-x2)≥0的解集为B,其中a,b为非零常数.则“A∪B=R”是“ab<0”的(　　) A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件 C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件 8.若不等式t(+)≤·对所有的正实数x,y都成立,则t的最大值为　(　　) A.2　　B.　　C.　　D.1 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列命题正确的是(　　) A.若c<0<b<a,则b3+c3<a3　　B.若c<0<b<a,则> C.∀a>b>0,当m>0时,>　　D.∃a>b>0,当m>0时,< 10.下列说法正确的是(　　) A.不等式>1的解集是x-<x<0 B.若+=1,则a+b的最小值为 C.若0≤x+y≤2,-1≤x-y≤1,则-≤2x+y≤ D.已知正数a,b满足+=1,则+的最小值为2 11.柯西不等式的相关内容如下:对于实数a,b,c,d,有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad-bc=0时,等号成立.柯西不等式可以用于证明其他不等式,也可以用于解决一些数学问题.如:已知x+2y=2,x,y∈R,由柯西不等式得(x2+y2)(12+22)≥(x+2y)2,当且仅当2x=y,即x=,y=时取等号,从而可得(x2+y2)min=.运用柯西不等式,判断以下说法正确的是(　　) A.若a2+b2=1,则(2a+3b)max= B.若0<a<2,则=3+2 C.若a+b=4,a>-1,b>-2,则(+2)max=2 D.若1<a<3,则(+)max= 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.关于x的不等式≥1的解集为　　　　　　.  13.已知关于x的不等式组有且仅有一个整数解,则a的取值范围为　　　　.  14.已知正实数a,b满足a+2b+ab=6,则ab的最大值为　　　　,若实数c>0,则++abc+的最小值为　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)(1)已知2<a<3,-2<b<-1,求a+2b,a-b,的取值范围; (2)已知a,b都是正实数,比较+与a+b的大小. 16.(15分)已知a>0,b>0,且a+3b=2. (1)求ab的最大值; (2)若+≥m恒成立,求m的取值范围. 17.(15分)某公司为了提高生产效率,决定投入72万元购进一套生产设备.预计使用该设备后,每年因该设备额外产生收益50万元,该设备x年的维修、保养等费用共(2x2+10x)万元.设使用x年后该设备的盈利额为y万元(设备的盈利额=因设备额外产生的收益-设备的购进成本-设备维修保养费),其中x∈N*. (1)写出y关于x的函数关系式,并求出该设备从第几年开始盈利; (2)使用若干年后,对该套设备的处理方案有以下两种: 方案①:当年平均盈利额达到最大值时,以52万元价格处理该设备; 方案②:当盈利额达到最大值时,以20万元价格处理该设备. 请你研究哪种方案处理较为合理,并说明理由. 18.(17分)如图,设矩形ABCD(AB>AD)的周长为40 cm,把△ABC沿AC向△ADC翻折成△AEC,AE交DC于点P,设AB=x cm. (1)若DP>AB,求x的取值范围; (2)设△ADP的面积为S cm2,求S的最大值及相应的x的值. 19.(17分)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根x1,x2,则称d=|x1-x2|为两根之间的距离,简称“根距”.当d∈[n,n+1),n∈N时,称该一元二次方程有n级“根距”.例如d=2.68∈[2,3),则称该一元二次方程有2级“根距”. (1)试用a,b,c表示“根距”d; (2)设关于x的方程(k-1)2x2+(2k2-3k+1)x+k2-2k+3=0有两个不等实根,求该方程的“根距”d的级数; (3)若a≠b,a,b∈{m|2m3-3m2+1=0},当x1<x2时,∀x∈(x1,x2),ax2+bx+c>0,求a,b的值,并确定当方程ax2+bx+c=0的“根距”d的级数n的最小值为多少时,c至少可以取到两个整数值. 参考答案 1.C　因为P=a2-2a,Q=2a-4, 所以P-Q=a2-2a-(2a-4)=a2-4a+4=(a-2)2≥0,当且仅当a=2时取等号,所以P≥Q. 2.A　由A={x|(x+2)(x-1)≤0}得A={x|-2≤x≤1},又B={x|x=2k,k∈Z},所以A∩B={-2,0}. 3.A　由x2-3x+2<0,得1<x<2,所以1<x2<4, 由已知得x2-m≤0恒成立,即m≥x2恒成立,所以m≥4. 4.A　+=+=4++≥4+2=8, 当且仅当=,a+b=9,即a=6,b=3时等号成立,则+的最小值为8. 5.B　由题意可得-与是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,则有即 则cx2-bx+a≥0可化为-x2-x+a≥0,即x2+x-6≥0,即(x-2)(x+3)≥0,解得x≤-3或x≥2. 6.D　令t=x-1,则x=t+1,t>0, 则==--1≤-2-1=-3, 当且仅当t=1,即x=2时,取等号, 所以(x>1)的最大值为-3. 7.B　当a>0,b>0时, 若x1=x2,则不等式a(x-x1)(x-x2)>0为(x-x1)2>0,解得x≠x1,所以A={x|x≠x1},不等式b(x-x1)(x-x2)≥0为(x-x1)2≥0,则B=R,所以A∪B=R; 若x1≠x2,不妨设x1<x2,则不等式a(x-x1)(x-x2)>0的解集为A={x|x<x1或x>x2},不等式b(x-x1)(x-x2)≥0的解集为{x|x≤x1或x≥x2},所以A∪B≠R. 当a>0,b<0时, 若x1=x2,则不等式a(x-x1)(x-x2)>0为(x-x1)2>0,所以A={x|x≠x1},不等式b(x-x1)(x-x2)≥0为(x-x1)2≤0,所以B={x1},所以A∪B=R; 若x1≠x2,不妨设x1<x2,则不等式a(x-x1)(x-x2)>0的解集为A={x|x<x1或x>x2},不等式b(x-x1)(x-x2)≥0的解集为B={x|x1≤x≤x2},所以A∪B=R. 当a<0,b>0时, 若x1=x2,则不等式a(x-x1)(x-x2)>0为(x-x1)2<0,则A=⌀,不等式b(x-x1)(x-x2)≥0为(x-x1)2≥0,故B=R,所以A∪B=R; 若x1≠x2,不妨设x1<x2,则不等式a(x-x1)(x-x2)>0的解集为A={x|x1<x<x2},不等式b(x-x1)(x-x2)≥0的解集为B={x|x≤x1或x≥x2},所以A∪B=R. 当a<0,b<0时, 若x1=x2,则不等式a(x-x1)(x-x2)>0为(x-x1)2<0,故A=⌀,不等式b(x-x1)(x-x2)≥0为(x-x1)2≤0,故B={x1},所以A∪B≠R; 若x1≠x2,不妨设x1<x2,则不等式a(x-x1)(x-x2)>0的解集为A={x|x1<x<x2},不等式b(x-x1)(x-x2)≥0的解集为B={x|x1≤x≤x2},所以A∪B≠R. 综上所述,当ab<0时,一定有A∪B=R,但A∪B=R时,还可能a>0,b>0,从而ab>0, 故“A∪B=R”是“ab<0”的必要不充分条件. 8.D　因为x,y为正实数,所以+>0, 所以t≤对所有的正实数x,y都成立, 则t≤, 令m=,则=,m>0, 所以==+≤+=1,当且仅当x=y时,等号成立,所以≤1,则m2≥1, 又m>0,所以m≥1,即≥1, 所以的最小值为1, 所以t≤1,即t的最大值为1. 9.ABD　对于A,由c<0<b<a,得b3<a3,c3<0,因此可得b3+c3<a3,故A正确; 对于B,由c<0<b<a,得0<<,所以>>0,又c<0,所以>,故B正确; 对于C,-=,由a>b>0,得b-a<0,又m>0,所以<0,即<,故C错误; 对于D,取a=3,b=2,m=1,则==,=,则<,即∃a>b>0,当m>0时,<,故D正确. 10.ABD　对于A,由>1,得<0,解得-<x<0, 即不等式>1的解集是,故A正确; 对于B,因为+=1,所以a+b=+≥=,当且仅当=,即a=b=时取等号,所以a+b的最小值为,故B正确; 对于C,令2x+y=m(x+y)+n(x-y)=(m+n)x+(m-n)y, 所以解得 所以2x+y=(x+y)+(x-y), 因为0≤x+y≤2,-1≤x-y≤1, 所以0≤(x+y)≤3,-≤(x-y)≤, 所以-≤(x+y)+(x-y)≤,即-≤2x+y≤,故C错误; 对于D,因为正数a,b满足+=1, 所以a+b=ab,即(a-1)(b-1)=1, 所以+≥2=2,当且仅当=,即a=b=2时取等号,所以+的最小值为2,故D正确. 11.AD　对于A,由柯西不等式得(a2+b2)(22+32)≥(2a+3b)2,又a2+b2=1,所以13≥(2a+3b)2,所以2a+3b≤,当且仅当3a=2b,即a=,b=时等号成立,则(2a+3b)max=,故A正确. 对于B,由柯西不等式得[a+(2-a)]≥,即×2≥=3+2,所以+≥,当且仅当×(2-a)=×a,即a=2-2时取等号,所以=,故B错误. 对于C,由柯西不等式得≤(1+4)(a+1+b+2),因为a+b=4,所以(+2)2≤5×(4+1+2)=35,即+2≤,当且仅当4(a+1)=b+2,即a=,b=时取等号,所以(+2)max=,故C错误. 对于D,令x=,y=,则x2+y2=a-1+3-a=2. 由柯西不等式得(+)2=(+)2=(x+y)2≤(1+2)(x2+y2), 因为x2+y2=2,所以(+)2≤6,则+≤,当且仅当=,即a=时取等号,所以(+)max=,故D正确. 12.答案　{x|x≤-1或x>2} 解析　由≥1,得-1≥0,即≥0, 所以(x+1)(x-2)≥0且x≠2,解得x≤-1或x>2, 所以不等式≥1的解集为{x|x≤-1或x>2}. 13.答案　{a|-5≤a<3或4<a≤5} 解析　因为关于x的不等式组有且仅有一个整数解,所以不等式<0的解集与不等式2x2+(2a+7)x+7a<0(a∈R)的解集的交集中只有一个整数. 易得不等式<0的解集为{x|x>4或x<-2}, 不等式2x2+(2a+7)x+7a<0可化为(x+a)<0,① 当-a<-,即a>时,不等式①的解集为x-a<x<-, 要使{x|x>4或x<-2}与的交集中只有一个整数,则此整数只能为-4,因此有-5≤-a<-4,解得4<a≤5. 当-a>-,即a<时,不等式①的解集为x-<x<-a, 要使{x|x>4或x<-2}与的交集中只有一个整数,则此整数只能为-3,所以-3<-a≤5,即-5≤a<3. 当-a=-,即a=时,不等式①的解集为⌀,不满足题意,舍去. 综上所述,a的取值范围为{a|-5≤a<3或4<a≤5}. 14.答案　2;12 解析　对于第一空:6=a+2b+ab≥2+ab,当且仅当a=2b时等号成立. 令t=,t>0,则6≥2+ab可化为t2+2t-6≤0, 所以0<t≤,则≤,ab≤2,当且仅当a=2,b=1时等号成立,故ab的最大值为2. 对于第二空:a+2b+ab=6可整理为(a+2)(b+1)=8, 令a+2=x,b+1=y,则xy=8,a=x-2,b=y-1,x>2,y>1. ++abc=c =cx+-4+2y+-4+xy-x-2y+2=c++2≥2+2c=4c, 当且仅当=,即即时,等号成立, 所以++abc+≥4c+. 又因为4c+=4(c+1)+-4≥2-4=12,当且仅当4(c+1)=,即c=1时,等号成立. 综上,当且仅当a=2,b=1,c=1时,++abc+取到最小值,最小值为12. 15.解析　(1)因为-2<b<-1, 所以-4<2b<-2,1<-b<2,<-<1,(3分) 又因为2<a<3,所以-2<a+2b<1,3<a-b<5,1<-<3, 所以-3<<-1.(6分) (2)+-(a+b)==.(9分) 因为a>0,b>0,所以a+b>0,ab>0. 当a=b时,+-(a+b)=0,即+=a+b;(11分) 当a≠b时,+-(a+b)>0,即+>a+b. 综上所述,+≥a+b.(13分) 16.解析　(1)因为a>0,b>0, 所以根据基本不等式得a+3b≥2,即2≥2,得ab≤,(3分) 当且仅当a=3b,即a=1,b=时取等号, 因此ab的最大值为.(6分) (2)因为+≥m恒成立,所以m≤. 由a+3b=2,得(a+3b)=1, 则+=(a+3b)=,(9分) 由基本不等式可得+≥2=12, 当且仅当=,即a=,b=时取等号. 所以+的最小值为×(15+12)=,所以m≤.(12分) 故m的取值范围为mm≤.(15分) 17.解析　(1)由题意得使用x年后,y=50x-72-(2x2+10x)=-2x2+40x-72,x∈N*,(3分) 令y>0,得-2x2+40x-72>0,即x2-20x+36<0,解得2<x<18.(6分) 因为x∈N*,所以该设备从第3年开始盈利.(7分) (2)方案①:年平均盈利额(单位:万元)为=-2x+40-,因为x>0, 所以-+40≤-2+40=-2×12+40=16, 当且仅当2x=,即x=6时等号成立, 所以第6年的年平均盈利额达到最大值,以52万元价格处理该设备,共盈利16×6+52=148万元,(10分) 方案②:盈利额(单位:万元)为y=-2x2+40x-72=-2(x-10)2+128,当x=10时,ymax=128, 所以第10年的盈利额达到最大值,以20万元价格处理该设备,共盈利128+20=148万元.(13分) 两方案盈利相同,但方案①使用时间更短,设备更新更快,更有利于提高生产效率,所以方案①更合理.(15分) 18.解析　(1)由矩形周长为40 cm,可知AD=(20-x)cm,由AB>AD>0得10<x<20,设DP=a cm,则PC=(x-a)cm,易得△ADP≌△CEP,∴AP=PC=(x-a)cm.(3分) 在Rt△ADP中,AD2+DP2=AP2,即(20-x)2+a2=(x-a)2, 得a=20-,(5分) 由题意得20->x,即x2-60x+600<0,(6分) 解得30-10<x<30+10, 又10<x<20,∴30-10<x<20,(8分) ∴x的取值范围是{x|30-10<x<20}.(9分) (2)由(1)得AD=(20-x)cm,DP=cm,10<x<20, 故S=AD·DP=(20-x)=300-10,10<x<20.(12分) ∵x>0,∴x+≥2=20,(14分) 当且仅当x=,即x=10时取等号, ∴=20, ∴Smax=300-200,此时x=10.(17分) 19.解析　(1)当b2-4ac≥0时,方程ax2+bx+c=0的根为,(2分) 不妨设x1=,x2=, 则d=|x1-x2|=.(4分) (2)由题意得k-1≠0,Δ=(2k2-3k+1)2-4(k-1)2(k2-2k+3)=(k-1)2(4k-11)>0,可得k>,(6分) 所以d=|x1-x2|==, 设=t,则k=,t>0,所以d==≤=,当且仅当t=,即t=时等号成立, 当t=时,k=>,符合题意,所以d∈,(9分) 因为∈[0,1),所以此方程的“根距”d是0级.(10分) (3)由2m3-3m2+1=0,得(m-1)2(2m+1)=0,所以m=1或m=-,则a,b∈, 因为当x1<x2时,∀x∈(x1,x2),ax2+bx+c>0,所以a<0, 因为a≠b,所以a=-,b=1,(12分) 所以关于x的方程ax2+bx+c=0的“根距”d=|x1-x2|==2, 由2∈[n,n+1),得c∈,(14分) 当-≤1,即n≤,n∈N时,c至多有1个整数值; 若n=4,则c∈,c仅有1个整数值2; 若n=5,则c∈,c仅有1个整数值3; 若n=6,则c∈,c有2个整数值4和5. 综上,当关于x的方程ax2+bx+c=0的“根距”d的级数n的最小值为6时,c至少可以取到两个整数值.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $