6.5 数列求和讲义-备战2027年高考数学一轮复习（全国通用）

该高中数学讲义聚焦数列求和高考核心考点，涵盖等差等比数列求和公式及分组、裂项相消、错位相减等六大方法，按知识复习梳理公式与方法原理，分典例模块精讲各类题型，通过考点梳理、方法指导、真题训练的递进式教学环节，帮助学生构建系统的求和思路，突破解题难点。 讲义以数学思维培养为核心，创新采用“方法归类+题型变式”教学策略，如裂项相消法通过五种拆项类型训练推理能力，错位相减聚焦等差乘等比模型强化运算能力，设置基础到综合的分层例题，配合即时验证技巧，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

6.5 数列求和（精讲） 第一部分：知识复习 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式： Sn＝ 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和．常见的拆项类型有5种： ①分式型： ＝， ＝， ＝等； ②指数型： ＝－，＝－等； ③根式型：＝(－)等； ④对数型：logm＝logman＋1－logman，m>0且m≠1. ⑤三角函数型：tan(k＋1)tan k＝·[tan(k＋1)－tan k]－1. (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和可用错位相减法求解． (4)倒序相加法：如果一个数列满足与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法求解． (5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)的数列求和，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【注意】无论用哪一种方法求和，最后都可以用S1，S2进行验证． [常用结论] (1) ＝1＋2＋3＋…＋n＝ ； (2)＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2； (3)＝13＋23＋…＋n3＝2； (4)＝12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1). 第二部分：典型例题 典例一：倒序相加法 1．（2026高二·全国·专题练习）若等差数列满足，则_____. 2．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知，则（    ） A． B． C．1012 D．1013 3．（25-26高二上·福建三明·阶段检测）已知函数，数列满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知函数，则的对称中心为_______；若，则数列的通项公式为_______. 典例二：错位相减法 5．（25-26高二上·上海·期末）已知严格增的等比数列满足：，且是的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 6．（2026高三·全国·专题练习）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和． 7．（25-26高二下·辽宁·期末）已知数列，满足，，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 8．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数．数列满足，数列满足， (1)求数列、的通项公式； (2)求数列的前项和． 典例三：分组求和法 9．（25-26高二上·湖南株洲·期末）已知在数列中，，且． (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 10．（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知数列满足，且. (1)若，证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式以及前n项和. 11．（25-26高二下·湖南·期末）已知为等比数列的前n项和，若，． (1)求； (2)为数列的前n项和，，，求数列的前项和． 12．（25-26高二下·重庆渝中·期末）已知数列的前项和为，且 ，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)若满足，求的前项和. 典例四：裂项相消法 13．（25-26高三上·上海徐汇·期末）已知等比数列的公比为q（且），等差数列的公差为d，满足条件：，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 14．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知数列的前n项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 15．（25-26高二上·上海·期末）若数列满足，则其前2025项的和为________． 16．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 17．（2026高三上·全国·竞赛）问下面和式的值是多少？（    ） A． B． C． D． E．1 18．（25-26高二下·辽宁鞍山·期末）已知数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，设为数列的前n项和，求 (3)证明：对，． 19．（2026高三下·新疆·竞赛）已知正项数列满足，令，数列的前项和为，则__________. 20．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知是数列的前项和，，且. (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，证明：. 21．（25-26高二下·山东淄博·期末）（多选）记为数列的前项和，，设，则（   ） A． B．数列的前2026项和为 C．数列的前2026项和为 D．若数列的最大值为，则的值为 22．（25-26高二下·江西·期末）在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)在（2）的条件下，令，求数列的前项和. 典例五：并项求和法 23．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，． (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 24．（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）已知在正项数列中，，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前100项和. 25．（25-26高二下·广东茂名·期末）数列的前项和为，，，，则（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是等差数列，其前n项和为是等比数列，已知是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和 27．（2026·河北保定·三模）已知正项数列满足且. (1)判断是否可能为等差数列，并说明理由. (2)若的前项和为. （i）求； （ii）若，求的前项和. 28．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知数列是等差数列，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，符号表示的和，求． 典例六：插项、重组求和的问题 29．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）数列的前项和为，已知，，成等差数列. (1)证明：数列是等比数列； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值. 30．（25-26高二下·广东广州·期末）已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)已知数列满足，．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 31．（25-26高二下·安徽滁州·期末）已知数列满足，，数列的前项和满足，将与中的所有项从小到大依次排列构成一个新数列，记数列的前项和为，则使得成立的正整数的最小值为____． 32．（25-26高二下·福建福州·期末）已知等差数列中，，前8项和为80. (1)求的通项公式； (2)从中依次取出第项，按原顺序排成一个新数列，若，求数列的前n项和. 33．（25-26高二下·上海青浦·期末）已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值． 34．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，数列满足，数列满足；又知数列中，，且对任意正整数，，． (1)求数列和数列的通项公式； (2)将数列中的第项，第项，第项，，第项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前项和． 典例七：奇偶项求和 35．（25-26高二下·广东·期末）已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，且 (1)求数列和的通项公式； (2)设求数列的前10项和 36．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且．设表示的前项和，则________． 37．（25-26高二下·广东佛山·期末）已知数列满足，则（   ） A．720 B．746 C．760 D．780 38．（25-26高二下·广东深圳·期末）记是公差不为的等差数列的前项和，若，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.为数列的前n项和，求． 39．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）设数列{an}的前n项和构成数列{Sn}，{Sn}的前n项的平均数构成数列{Cn}，已知数列{an}满足a1=1，an+an+1=3，则C2026=（    ） A．3079520 B．1520 C．1521 D．3079521 40．（25-26高三·全国·一轮复习）已知为数列的前n项和，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.5 数列求和（精讲） 第一部分：知识复习 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式： Sn＝ 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和．常见的拆项类型有5种： ①分式型： ＝， ＝， ＝等； ②指数型： ＝－，＝－等； ③根式型：＝(－)等； ④对数型：logm＝logman＋1－logman，m>0且m≠1. ⑤三角函数型：tan(k＋1)tan k＝·[tan(k＋1)－tan k]－1. (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和可用错位相减法求解． (4)倒序相加法：如果一个数列满足与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法求解． (5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)的数列求和，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【注意】无论用哪一种方法求和，最后都可以用S1，S2进行验证． [常用结论] (1) ＝1＋2＋3＋…＋n＝ ； (2)＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2； (3)＝13＋23＋…＋n3＝2； (4)＝12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1). 第二部分：典型例题 典例一：倒序相加法 1．（2026高二·全国·专题练习）若等差数列满足，则_____. 【答案】 【分析】根据题意，利用等差中项的性质，当时，得到，化简求得，结合倒序相加法，即可求解. 【详解】由等差数列满足， 根据等差数列的性质，可得对于，当时，， 则， 设，则， 两式相加，可得，解得. 2．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知，则（    ） A． B． C．1012 D．1013 【答案】A 【分析】运用倒序相加法，结合指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】 ， 则有 因此 . 3．（25-26高二上·福建三明·阶段检测）已知函数，数列满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，利用倒序相加法求出的通项公式； 【详解】函数对任意都有， 数列满足① 又② ①②得：， 得. 故选：B. 4．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知函数，则的对称中心为_______；若，则数列的通项公式为_______. 【答案】 【分析】利用中心对称的定义求出图象的对称中心，利用函数的对称性及倒序相加法求出通项. 【详解】函数的定义域为， ， 由，得， 则， 因此函数图象的对称中心是； 由，得， 当时，， ， ， 于是，即，， 所以数列的通项公式为. 故答案为：；. 典例二：错位相减法 5．（25-26高二上·上海·期末）已知严格增的等比数列满足：，且是的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列的公比为，计算基本量，利用等比数列通项公式即可求解； （2）利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）设数列的公比为， 所以， 又是的等差中项， 所以，所以， 所以，解得或（舍去）, 时，，此时数列递减，不符合题意， 所以， 所以； （2）由（1）有：， 所以①， 所以②， 由①②得：， 所以. 6．（2026高三·全国·专题练习）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列等比数列公式列出方程组求解. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 则依题意有且 联立解得，， 所以，． （2）（2）， 则有， ． 则 ． 7．（25-26高二下·辽宁·期末）已知数列，满足，，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由等差中项可知数列是等差数列，即可得数列的通项公式，分析可知数列是等比数列，可得数列的通项公式； （2）由（1）可知：，利用分组求和法，结合等差数列求和公式以及错位相减法运算求解. 【详解】（1）因为，且，，即， 可知数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 又因为，可得， 且，可知数列是等比数列，首项为3，公比为3， 所以，即. （2）由（1）可知：， 则， 因为， 令，则， 两式相减得， 可得， 所以. 8．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数．数列满足，数列满足， (1)求数列、的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意构造，得到，再构造等比数列求解即可. （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）， ，， 可得， ，， ，，又， 是以为首项，2为公比的等比数列， ，. （2）由题意得， 可得， 得到， ， . 典例三：分组求和法 9．（25-26高二上·湖南株洲·期末）已知在数列中，，且． (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)因为，当时，， 又，可得， 又，则，即，且， 故数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以，因此. (2) 【分析】（1）直接由递推公式及等比数列的定义证明可得； （2）由（1）知，进而可求，再通过分组求和可得数列的前项和. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，所以， 所以 因此． 10．（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知数列满足，且. (1)若，证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式以及前n项和. 【答案】(1)已知， 则， 又，所以， 故数列是以2为首项，2为公比的等比数列. (2)； 【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可. （2）根据等比数列的通项公式及等差数列前项和公式、等比数列前项和公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，. 又，所以. 所以 . 综上，，. 11．（25-26高二下·湖南·期末）已知为等比数列的前n项和，若，． (1)求； (2)为数列的前n项和，，，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列通项公式将，，统一用首项与公比表示，代入解出公比，再结合前四项和求出首项，即可得到通项； （2）先由前项和分段求出通项，再写出偶数项表达式，前项由个奇数项与个偶数项组成，分开求和再相加得到. 【详解】（1） ， ， . （2）当时，， 当时，， 也满足的情况，所以， 当n为偶数时，， . 12．（25-26高二下·重庆渝中·期末）已知数列的前项和为，且 ，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)若满足，求的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据与的关系可求数列的通项公式，代入可得数列的通项公式； （2）由（1）可得，根据等差数列、等比数列前项和公式计算求解即可. 【详解】（1）已知数列的前项和， 当时，，解得， 当时，，即，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故， 所以； （2）由（1）可得， 所以数列奇数项是以为首项，为公差的等差数列， 偶数项是以为首项，为公比的等比数列， 数列的前项，包含个奇数项，和个偶数项， 所以. 典例四：裂项相消法 13．（25-26高三上·上海徐汇·期末）已知等比数列的公比为q（且），等差数列的公差为d，满足条件：，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程，结合且解出、的值，即可得出数列、的通项公式； （2）利用分组求和法可求得的表达式. 【详解】（1）由于等比数列的通项公式：且，所以， 故，因为且，所以，所以， 因为数列是等差数列，公差为， 所以，故，所以， 所以， 因此等比数列通项公式为，等差数列的通项公式为. （2）因为，根据题意得：， 由（1）得，. 故. 14．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知数列的前n项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系式得到，得到结论； （2）分组求和，结合等差和等比数列的求和公式，得到答案 【详解】（1）由得，当时，. 两式作差得，即（，）. 当时，，故. 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，. （2）由得，所以. 其中，， 故数列的前n项和. 15．（25-26高二上·上海·期末）若数列满足，则其前2025项的和为________． 【答案】 【分析】取倒数，再结合等差数列求和公式结合累加法得出通项，最后裂项相消求和． 【详解】数列满足， 可得，， ， 所以， ， 所以， 所以， 可得数列的前2025项和:． 16．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】 (1)    利用等比数列通项公式及前项和公式计算基本量； (2)    使用裂项求和方法求解的前项和. 【详解】（1）设的公比为，则，而，得， 已知，所以，， 所以，则． （2）， . 17．（2026高三上·全国·竞赛）问下面和式的值是多少？（    ） A． B． C． D． E．1 【答案】C 【分析】利用对数运算性质化简分子，再根据裂项相消求和. 【详解】由， 代入原通项得：， 所以 ， 代入，可得： . 18．（25-26高二下·辽宁鞍山·期末）已知数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，设为数列的前n项和，求 (3)证明：对，． 【答案】(1) (2) (3)证明：由上分析， 故对，， ， 因为，所以 即 【分析】（1）由题设可得，据此可得数列是首项为3，公差为1的等差数列； （2）由（1）结合错位相减法及题设可得答案； （3）由题设结合裂项求和法可完成证明. 【详解】（1）由可得， ，，依此类推可得 ， 数列是首项为3，公差为1的等差数列， ，即； （2） 用错位相减法求和： 两式相减得：． 其中等比数列部分：，代入得： ． ． （3）略 19．（2026高三下·新疆·竞赛）已知正项数列满足，令，数列的前项和为，则__________. 【答案】 【分析】根据题意求出，进而求出和的通项公式，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】解析：由可得，解得或（舍）， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. ∴， ∴. 20．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知是数列的前项和，，且. (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)由（1）得：， ， ， ， 【详解】（1）当时，，， ，又，； ，即，； 则当为奇数时，；当为偶数时，； . （2）略 21．（25-26高二下·山东淄博·期末）（多选）记为数列的前项和，，设，则（   ） A． B．数列的前2026项和为 C．数列的前2026项和为 D．若数列的最大值为，则的值为 【答案】ACD 【分析】利用已知关系和等比数列的公式法得到数列和的通项可得A；由裂项相消法可得BC，结合数列的单调性从初始值代入验证可判断D. 【详解】当时，，解得：； 当时，，， ，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， ，， 对于A，，正确； 对于B，，所以前2026项和为，错误； 对于C，， 所以的前2026项和为，正确； 对于D，令，由于指数模型增长速度远高于一次型， 且当时，单调递减，且，可考虑从初始值代入验证最值进行判断： 当时，由，， 因，显然不成立； 当时，由，， 则有， 满足，符合题意； 如此验证当时，求出值后代入后均不成立.故D正确. 22．（25-26高二下·江西·期末）在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)在（2）的条件下，令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据递推公式得数列是等差数列，进而求出通项公式； （2）利用错位相减求和法求解； （3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由，得， 又，，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，所以. （2）， 两边同乘以2，得， 两式相减，得， 所以. （3）由（2）知，所以， 所以 典例五：并项求和法 23．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，． (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的运算得到，，再求通项即可； （2）根据等比数列及等差数列的求和公式，分组求和即可． 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为． 由题意可得，解得，， 则． （2）由（1）可知，， 故 24．（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）已知在正项数列中，，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前100项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得为等比数列，再利用解得即可求. （2）由得到，再利用为偶数时，分组求出，再把代入即可. 【详解】（1）成等差数列， ，即，而， 为等比数列，设公比为. 又，得. （2）， 当为偶数时， ， 所以. 25．（25-26高二下·广东茂名·期末）数列的前项和为，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得，利用分组求和以及等差数列前项和公式即可求解. 【详解】由题意得：， 所以. 26．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是等差数列，其前n项和为是等比数列，已知是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）由求出的通项公式，再由和的等比中项可求出的通项公式； （2）利用裂项相消法和分组求和法求前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 可得，所以，解得， 所以， 则， 是和的等比中项，可得，所以， 设等比数列的公比为，则，解得， 所以， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为． （2）． 又因为， 所以的前项和． 记的前项和为， 当为偶数时，； 当为奇数时，， 综上： 27．（2026·河北保定·三模）已知正项数列满足且. (1)判断是否可能为等差数列，并说明理由. (2)若的前项和为. （i）求； （ii）若，求的前项和. 【答案】(1)不可能，理由见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）先假设是等差数列，结合条件可得，从而假设错误，即可求解； （2）（i）根据条件可猜想当时，，用数学归纳法，即可求解；（ii）由（i）得，分为偶数和奇数，利用分组求和，即可求解. 【详解】（1）因为且，令，得到，所以， 假设是等差数列，则公差，所以， 则，又，所以， 整理得到，解得，所以，与数列是正项数列相矛盾， 故假设错误，故数列不可能为等差数列. （2）（i）因为，则，， 猜想，当时，，下面用数学归纳法证明， 当时，，猜想成立， 假设时，猜想成立，即， 则时，则，所以时，猜想仍成立， 所以，则当时，， 又时，，满足，所以. （ii）由（i）知，所以， 设的前项和为，则， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 所以. 28．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知数列是等差数列，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，符号表示的和，求． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知根据等差数列的通项基本量关系求得和，进而可得数列的通项公式； （2）根据（1）可求，再由并项求和法求和即可． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为， ∴， 解得， ∴， （2）∵， ∴, ∴. 典例六：插项、重组求和的问题 29．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）数列的前项和为，已知，，成等差数列. (1)证明：数列是等比数列； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值. 【答案】(1)因为，，成等差数列， 所以， 当时，， ，得 ， 由，得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. (2) 【分析】（1）根据的关系，结合等差数列的性质、等比数列的定义进行求解即可. （2）根据等比数列前项和公式，结合数列的单调性进行求解即可. 【详解】（1）略. （2）由（1）可知：数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， ， 由题意可知：， ， 设， ， 因为，所以， 即， 所以数列是递增数列， 因为， 所以使得不等式成立的最小正整数的值为. 30．（25-26高二下·广东广州·期末）已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)已知数列满足，．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 【答案】(1)已知数列的前项和为，且， 当时，，，解得， 当时，有，两式相减，得， 所以，即， 又因为，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. (2) 【分析】（1）利用得到，两式相减即可证明； （2）根据数列和的通项公式，找出数列的规律即可求解. 【详解】（1）略. （2）由（1）可知，，所以， 数列的前几项为，，，，，，， 所以，，所以是以为首项，为公差的等差数列， 即，所以数列为， 所以数列除外，其余项均在数列中， 由于，，，即， 所以数列的前项中包含的项有，共项，因此还需往后找个非的项， 由于，因此要剔除，是接下来的个项， 因此的值等于数列的前项和减去， 即. 31．（25-26高二下·安徽滁州·期末）已知数列满足，，数列的前项和满足，将与中的所有项从小到大依次排列构成一个新数列，记数列的前项和为，则使得成立的正整数的最小值为____． 【答案】 【分析】先根据递推关系分别求出等差、等比数列通项，将两数列所有数值升序合并得到；利用分组求和分别计算等差、等比片段和，依次检验临近分界点，对比与大小确定最小正整数． 【详解】由，，得是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 时，，解得， 时，，整理得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 将、全部项从小到大不重复排列得新数列： 观察分界：小于的等比数列的项仅有，共项； 其余项为等差数列的项． 设前项中包含个等比项、个等差项，则， 等比数列的前项和， 等差数列的前项和， 观察指数增长，小于的等比项仅有个，前项内无新等比项，临界点集中在附近， ①验证， 前项包含个等比项、个等差项（）， ，， 所以，不等式不成立． ②验证， 前项在前项基础上增加等差项， ，， 所以，不等式成立． 故不满足，满足，故满足的最小正整数为． 32．（25-26高二下·福建福州·期末）已知等差数列中，，前8项和为80. (1)求的通项公式； (2)从中依次取出第项，按原顺序排成一个新数列，若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合等差数列的前n项和公式进行求解即可； （2）根据等差数列和等比数列的前n项和公式进行求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，前8项和为80， 得； （2）因为， 所以由题意可知， 于是， 所以. 33．（25-26高二下·上海青浦·期末）已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列基本量运算求出公比，再写出通项公式. （2）先根据第一问的结果求出数列的通项公式，再写出数列的通项公式，最后再求出满足条件的最小正整数. 【详解】（1）因为等比数列中，，所以，即， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）可知，所以， 由题意可知，设数列的前项和为，则 ，由， 且，所以，所以，所以单调递增， 又，， 所以使不等式成立的最小正整数的值为10. 34．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，数列满足，数列满足；又知数列中，，且对任意正整数，，． (1)求数列和数列的通项公式； (2)将数列中的第项，第项，第项，，第项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）数列的通项含，可分为奇偶两种情况确定的取值，结合是的前项和，奇偶项各占项，可求和得到的通项；数列给出了对任意正整数恒成立的指数等式，通过赋值可推导的通项形式，再验证该通项的唯一性. （2）由第一问所得，可知需删除中下标为的倍数的项，剩余项构成的新数列的奇数项、偶数项分别构成公比为的等比数列，可将前项和拆分为奇数项和与偶数项和两部分，分别用等比数列求和公式计算后合并. 【详解】（1）数列满足，所以当为奇数时，，当为偶数时，， 又数列满足， 所以 由题意知：又知数列中，，且对任意正整数，，． 令，对任意正整数均有，即， 经验证，当时，，，即恒成立， 故； （2）由题知将数列中的第项、第项、第项……删去后构成的新数列，其项依次为 观察可得，新数列的奇数项为，偶数项为 即新数列中的奇数项与偶数项仍成等比数列，首项分别是，，公比均是， 记数列的前项和为， 所以 . 【点睛】方法归纳： 1. 通项含的数列问题优先采用奇偶分类讨论的思路处理，涉及对任意正整数成立的递推关系，可通过特殊值赋值法快速推导通项. 2. 等比数列删除下标成等差数列的项后，剩余的子数列可按位置奇偶性拆分为公比相同的两个等比数列，分别求和后合并即可得到总和. 典例七：奇偶项求和 35．（25-26高二下·广东·期末）已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，且 (1)求数列和的通项公式； (2)设求数列的前10项和 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等比数列前两项和条件求公比，再结合等差数列两项关系求公差，代入通项公式即得； （2）按奇偶分项处理，奇数项为等比数列求和，偶数项裂项相消，两部分相加即得前10项和． 【详解】（1）令公比为且，则， 整理，解得，或（舍去）， 故， 又，令的公差为，则， 所以，可得， 故． （2）由， 所以． 36．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且．设表示的前项和，则________． 【答案】（或） 【分析】根据题设，结合等比数列的定义，通项公式及求和公式分别求得和的和，即可求解． 【详解】由题可知，，，， 消去得，， 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以； 当时，，， 消去得，， 则得 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以， 所以 ． 37．（25-26高二下·广东佛山·期末）已知数列满足，则（   ） A．720 B．746 C．760 D．780 【答案】D 【分析】对递推式按的奇偶性分类变形，推导相邻奇数项的和的规律，分组利用等差数列求和公式计算. 【详解】当时，， 即有； 当时，； 则，即， 故 . 38．（25-26高二下·广东深圳·期末）记是公差不为的等差数列的前项和，若，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.为数列的前n项和，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由条件计算等差数列的基本量，进而可得通项公式； （2）由题意可知当为奇数时，当为偶数时，再进行分组并项求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为 ()，由，得， 即，解得 或（舍去）， 故 ，所以数列的通项公式为. （2）由得， 当为奇数时，；当为偶数时，. 因此数列的奇数项构成等差数列，偶数项构成等比数列. 即，. 所以 . 因此. 39．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）设数列{an}的前n项和构成数列{Sn}，{Sn}的前n项的平均数构成数列{Cn}，已知数列{an}满足a1=1，an+an+1=3，则C2026=（    ） A．3079520 B．1520 C．1521 D．3079521 【答案】B 【分析】通过对赋值，判断数列为周期数列，得出数列的通项公式，从而求出，进而求. 【详解】因为数列满足， 则， 因此数列是周期为2的周期数列，且奇数项，偶数项. 所以，当，时，， 当，时，. 所以 所以． 40．（25-26高三·全国·一轮复习）已知为数列的前n项和，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明：当时，， 整理得，所以， 所以， 因为，所以， 所以是以1为首项，以2为公比的等比数列． (2) 【分析】(1)通过和的关系表示出后构造的形式并证明其为等比数列. (2)表示出后分类讨论并通过分组求和求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，则，所以， ①当n为偶数时， ； ②当n为奇数时，可得； 综上：． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $