6.2 等差数列及其前n项和讲义-备战2027年高考数学一轮复习（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦等差数列及其前n项和核心考点，按定义、公式、函数关系及性质构建知识体系，通过知识复习梳理基础，典型例题精讲方法，真题训练强化应用，帮助学生系统突破基本量计算、性质应用等难点。 讲义采用分层教学策略，如典例六通过分析前n项和二次函数性质培养数学思维，典例八结合递推关系训练数学语言表达，设置从基础到综合的例题梯度，保障复习效率，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

6.2 等差数列及其前n项和（精讲） 第一部分：知识复习 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列． 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b. 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 3．等差数列与函数的关系 (1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列{an}的第n项an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是一次函数f(x)＝dx＋a1－d当x＝n时的函数值，一次项系数为公差d.若公差d＞0，则{an}为递增数列；若公差d＜0，则{an}为递减数列． (2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋n可以看成二次函数f(x)＝x2＋x当x＝n时的函数值，常数项为0. [常用结论] 等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，当m＋n＝2p时，am＋an＝2ap，也可推广到多项． (2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (3)等差数列{an}的前n项和Sn满足：数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，且公差为m2d. (4)若{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的. (5)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S偶－S奇＝nd，＝. (6)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则 ①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②＝. (7)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn，Tn，则＝. 第二部分：典型例题 典例一：等差数列的基本量计算 1．（25-26高二上·湖南株洲·期末）（多选）已知在等差数列中，公差不为0，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用等差数列的性质进行计算即可 【详解】， 故， 即，解得， 又公差不为0，故，A正确，B错误； ，D正确， 因为公差不为0，故C错误. 2．（25-26高二下·辽宁大连·期末）设等差数列的前n项和是，已知，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列公差为， ，解得， ． 3．（2026高三·全国·专题练习）设为等差数列的前项和，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等差数列前项和公式及等差数列的性质即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，已知为等差数列的前项和， 因为，则，化简得，即， 所以，故D正确. 4．（25-26高二下·安徽合肥·期末）在等差数列中，公差，若，则的值为（    ） A．15 B．16 C．19 D．21 【答案】C 【详解】， ， 因为，所以， 解得. 5．（2026高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，若，则________． 【答案】7 【分析】利用等差数列的性质计算即得． 【详解】由题意，得，. 所以 6．（2026·上海浦东新·三模）已知等差数列满足，则的前7项和______________． 【答案】133 【分析】设等差数列首项为、公差为，将通项代入两式求出，再用前项和公式求。 【详解】设， 由得，即， 由得，即， 联立得，。 故. 典例二：等差中项的应用 7．（25-26高二下·广东汕头·期末）已知6个数为：1，2，4，8，16，29．将这6个数分为3组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为3且公差为的等差数列，则公差d的值可以为__________． 【答案】10或11或17 【分析】根据原6个数的和等于新数列的和可以得出新数列的中间项为，因此另外两项分别为和，再由4个数的组合情况分别求出的值. 【详解】6个数的和为， 设新数列首项为，公差为，项数为3. 则新数列的和为，化简得：. 所以可设新数列为：. 所以原6个数中必须有两个数之和为20，观察发现：. 剩下：1，2，8，29分成两组，一组和为，另一组和为. 由，，解得，经检验符合题意. 由，，解得，经检验符合题意. 由，，解得，经检验符合题意. 8．（25-26高二上·陕西·期末）已知等比数列中，，公比，则与的等差中项是（    ） A．14 B．15 C．17 D．18 【答案】C 【分析】首先求出、，从而求出其等差中项. 【详解】在等比数列中，，公比，则，， 所以与的等差中项是. 故选：C 9．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，则的等差中项为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差中项求解. 【详解】， 的等差中项为， 故选：B 10．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）若，，1成等比数列，4，，成等差数列，则（   ） A．-6 B．-3 C．3 D．6 【答案】D 【详解】由题得，，则， 所以，得，，所以. 11．（2026高三·全国·专题练习）等比数列中，，，其前项和为，若是，的等差中项，则的值为________． 【答案】63 【详解】设等比数列的公比为，由，得， 由及是，的等差中项，得，则， 所以. 12．（25-26高二下·重庆·阶段检测）等比数列的公比，且，，成等差数列，则的值（     ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式及等差中项求解即可. 【详解】等比数列中，，，， 因为，，成等差数列，所以，即， 整理得，解得或（舍去）. 所以. 典例三：等差数列片段和的性质及应用 13．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知是等差数列的前项和，若，，则的值为（     ） A．35 B．45 C．55 D．60 【答案】B 【分析】根据等差中项的性质进行计算即可. 【详解】由题意知，，成等差数列， 又，， 所以，即， ． 14．（25-26高二下·四川攀枝花·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一用等差数列片段和性质. 方法二用等差数列的基本量计算. 【详解】方法一：因为等差数列的前项和为，由片段和性质可知 、、、也成等差数列. 因为，，所以， 所以，， 所以 ，. 方法二：因为等差数列中，， 所以，解得， 所以. 15．（25-26高二下·广东中山·期中）已知等差数列的前项和为，且，则__________． 【答案】6 【分析】利用等差数列的片段和仍然成等差数列求解. 【详解】因为成等差数列，设其公差为， 所以，所以， 所以，所以． 16．（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．15 B． C． D．7 【答案】C 【分析】使用等差数列前项和的性质成等差数列表示未知量，进而求解即可. 【详解】设，，则， ，，成等差数列，， 即，解得，所以. 17．（25-26高二上·广东广州·期末）若数列的前n项和为，则下列选项正确的是（   ） A．若数列为等差数列，则，，为等差数列 B．若数列为等比数列，则，，为等比数列 C．若数列为等差数列，则，，为等差数列 D．若数列为等比数列，则，，为等比数列 【答案】C 【分析】根据等差数列和等比数列的前项和公式逐项计算判断即可. 【详解】对于A，C，设等差数列的首项为，公差为， 所以. 所以，. 所以，则，，不为等差数列，所以A错误； ，. 所以，. 所以，所以，，为等差数列，C正确； 对于B，当等比数列的公比时，. 由于等比数列的项不能为0，所以，，不为等比数列，B错误； 对于D，当等比数列的公比时，. 由于等比数列的项不能为0，所以，，不为等比数列，D错误； 故选：C. 18．（2026高二下·全国·专题练习）（多选）下列结论不正确的是（   ） A．若为等比数列，是的前n项和，则是等比数列 B．若为等差数列，是的前n项和，则，是等差数列 C．若为等差数列，且均是正整数，则“”是“”的充要条件 D．满足的数列为等比数列 【答案】ACD 【分析】应用特殊数列结合等比数列定义计算判断A，D，计算结合等差数列定义计算判断B，取特殊等差数列结合必要条件定义判断C. 【详解】若为等比数列，设公比为是的前n项和， 设，当时，不是等比数列，所以A选项错误； 若为等差数列，是的前n项和， 设公差为d，则，， ， 所以是等差数列，所以B选项正确； 取为等差数列，满足，但是， 所以“”不是“”必要条件，所以C选项错误； 考虑常数列，数列不是等比数列，所以D选项错误． 故选：ACD 典例四：前n项和与n的比所组成的等差数列 19．（2026高二下·全国·专题练习）设数列满足，是前项和，且，，则（   ） A．1013 B． C．1012 D．1011 【答案】A 【详解】由题意，， 则数列为等差数列，设公差为，，， 即，，则，则， 则，所以，（常数），则也为等差数列． 则数列的公差为，所以，所以. 20．（2026·江苏南京·模拟预测）在等差数列中，，其前项和为，若，则（   ） A．-24 B．-12 C．12 D．24 【答案】C 【分析】由题意可得是以-10为首项，1为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式即可得到结果. 【详解】在等差数列中，，其前项和为，则是首项为-10的等差数列， 设其公差为，因为，所以 ， 所以 ， ， 即. 21．（25-26高二下·江西九江·期中）已知是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A． B．2026 C． D．4052 【答案】C 【分析】根据是等差数列的前项和，推得数列是等差数列，利用基本量运算即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和， 所以数列是等差数列. 又，， 则数列的公差，首项为， 所以，. 22．（2026·湖南郴州·三模）设等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【详解】， 由等差数列前项和的性质可知，即， 又， ，，， . 典例五：两个等差数列前n项和之比问题 23．（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可设，，结合运算求解即可. 【详解】因为，即， 又等差数列的前项和的表达式为关于的二次函数且无常数项，可设，， 所以. 24．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为等差数列，所以； 因为为等差数列，所以且； 又因为，所以，即， 则. 25．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________． 【答案】 【详解】. 26．（2026·重庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 因此， 因为， 因此， 所以原式化简为， 而，所以原式为， 而因为，所以， 则，， 代入得，， 而已知， 设，(为非零常数)，，， 所以. 典例六：等差数列中的最大（小）项 27．（25-26高三·全国·一轮复习）等差数列中，前项和为，则当______时，最大． 【答案】5 【详解】方法一：设等差数列的公差为，由题意可得. 又. 设二次函数，， 显然 的图象过原点，设其与轴的另一个交点为，则， 所以对称轴为，离5较近，所以， 因此当时，最大． 方法二：设等差数列的公差为， 由，得， 即，所以. 所以，所以当时，最大． 28．（25-26高二下·甘肃平凉·期末）（多选）已知等差数列的前项和是，公差是，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．当时，取得最小值 D． 【答案】BC 【详解】，， ，，故A错误，B正确； 等差数列的前项小于零，第5项开始大于零， 故当时，取得最小值，C正确； ，故D错误． 29．（2026高三·全国·专题练习）在等差数列中，前n项和为，已知，，，求当n取何值时，取得最大值． 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出不等式组，求得，得到数列为递减数列，再由，，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得， 又因为且，则， 即，解得， 由，可得数列为递减数列， 又由，即，可得，， 所以时，取得最大值． 30．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知等差数列，满足，且数列的前n项和有最大值，那么取最小正值时，n等于（    ） A．4052 B．4051 C．4050 D．4049 【答案】B 【分析】根据等差数列的下标性质、前n项和公式进行求解判断即可. 【详解】因为数列的前n项和有最大值， 所以该等差数列的公差，且该等差数列是递减数列， 由， 所以数列前项均为正数，从第项起均为负数， 所以当时，有最大值且为正值， 又因为， ， 所以当时，取最小正值. 31．（2026高三·全国·专题练习）已知是一个等差数列，且，． (1)求的通项； (2)求的前项和的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意解得 （2）， ，， ∴当时，有最大值． 32．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）（多选）设是等差数列，是其前项的和，且，，则下面结论正确的是(    ) A． B． C．与均为的最大值 D．满足的的最小值为14 【答案】ACD 【详解】A选项：因为，所以A正确； B选项：因为，，所以，所以B错误； C选项：因为，是一个递减等差数列，当时，，所以当时，，故与均为的最大值，故C选项正确； D选项：因为，，所以，而，所以满足的的最小值为14,故D选项正确. 典例七：等差数列的简单应用 33．（2026高三·全国·专题练习）据科学计算，运载“神七”的“长征二号”系列火箭，在点火后第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程增加2km，在达到离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是（   ） A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟 【答案】C 【详解】∵ 火箭点火后每秒通过的路程依次构成数列，由题意得，， ∴ 数列是首项，公差的等差数列，设该过程需要的时间为秒， ∵ 前秒的总路程为240km，等差数列前项和公式为， ∴ 代入数据得，整理得， ∵ ，∴ 解得，即该过程大约需要15秒钟. 34．（25-26高二下·湖南张家界·期末）一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（    ） A．15 B．16 C．17 D．19 【答案】C 【分析】先计算等差数列10项的总和，结合公差为正整数的约束确定等差数列的各项，再根据非递减序列的特征确定第11层的塔数. 【详解】∵ 12层塔的总数量为108，剩余两层的塔数之和为8， ∴ 构成等差数列的10层塔总数量为. 设该等差数列首项为，公差为，由题意知， 由等差数列求和公式得，整理得. ∵ 为偶数，20为偶数，∴ 为偶数，即为偶数，结合，得， 代入得，解得. ∴ 该等差数列的10项为. ∵ 每层塔数不少于上一层，即12层塔数构成非递减正整数序列， ∴ 剩余两个和为8的正整数均不大于等差数列的最大项，插入序列后不会改变序列末尾的顺序， ∴ 12层塔数按从小到大排列后，最后两项为17,19，即第11层的塔数为17. 35．（2026高二·全国·专题练习）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上级和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲､乙､丙三人来分，他们分得的白米数依此构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米为_____. 【答案】石 【分析】根据题意可得数列中的项，根据等差数列的计算公式可得解. 【详解】依题意，设甲､乙､丙分得的米重量分别为，，，公差为， 则， 且，解得，， 所以， 所以甲应该分得白米为石. 36．（2026高二·全国·专题练习）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织讫……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布______. 【答案】尺 【分析】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数. 【详解】设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列， 且，故公差， 故. 典例八：由递推关系证明等差数列 37．（2026·浙江·三模）正项数列的前项和，且． (1)证明：数列是等差数列； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用已知写出的表达式，与作差可得到与的关系，结合等差数列的定义即可证明； 【详解】（1）证明：当时，，解得， 当时， ， 与作差可得：， 数列是正项数列，， ，即， ，即， 所以数列是等差数列． 38．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）已知数列的前n项和为，，且． (1)证明：数列为等差数列； 【答案】(1) 由得：， 即， 所以， 又，所以，所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列. 【分析】（1）根据通项公式变形结合等差数列定义证明即可； 【详解】（1）略 39．（25-26高三上·广东·阶段检测）已知数列的前项和为，且，. (1)证明：数列是等差数列并求通项； 【答案】(1) 由， 则， 则， 则，即，， 又，所以，， 则数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以，则. 【分析】（1）由题设结合与的关系可得，再利用等差数列的定义即可求证以及求出； 【详解】（1）略 40．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）已知数列的前n项和为，若，． (1)记判断是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1) 因为， 当时，，又因为，所以 当时，因为，由，得①，所以②， 所以得： ，经验证，当时不等于，所以不是等差数列. 【分析】（1）取时可求，当时可根据与的关系求出，再验证是否满足即可判断其是否为等差数列； 【详解】（1）略 典例九：等差数列奇数项或偶数项的和 41．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为（    ） A．34 B．35 C．36 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据等差数列性质即可化简求出奇数项之和. 【详解】解：由题可知，， 根据等差数列的性质可知，所以，所以， 同理，根据等差数列性质可得. 42．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】利用等差数列的偶数项的和与奇数项的和的性质可求答案. 【详解】设的公差为．依题意，，解得， 又，解得，则． 43．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）在项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，则此数列的中间项是______. 【答案】55 【分析】根据奇数项和与偶数项和的关系即可求解. 【详解】设等差数列的项数为， ＝＝， ＝＝， 所以，解得，所以项数， 所以此数列的中间项为，又， 所以为所求中间项. 44．（2026·江西赣州·二模）在等差数列中，公差，且，则（   ） A．5 B．50 C．60 D．105 【答案】A 【分析】根据题意得，进而得. 【详解】解:因为等差数列中，，， 所以， 即， 所以 45．（25-26高二下·辽宁营口·阶段检测）已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】B 【分析】设等差数列共项，由偶数项之和与奇数项之和的差为可得答案. 【详解】设等差数列共项，则奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列， 所有偶数项之和为，所有奇数项之和为， 则，所以20，则． 46．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知项数为奇数的等差数列共有项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】等差数列的公差为，结合题意得，，进而求得. 【详解】设等差数列的公差为， 由题知；， 所以， 因为， 所以，即项数为. 典例十：含绝对值的等差数列前n项和 47．（25-26高二下·安徽·开学考试）已知数列的首项，前项和为，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由为等差数列，可得，然后由可得答案； （2）由（1）讨论的正负性，然后由可得答案. 【详解】（1）因，则为首项为23，公差为的等差数列， 则. 又，则， 时，, 又满足，则； （2）由（1），当时，令，可得； . 则当时，； 当时，. 综上：. 48．（2026·海南·模拟预测）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分和分析计算即可求解； （2）根据的正负情况分析计算. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 当时，， 显然满足式，所以； （2）由（1）可得时，时， 所以当时，所以， 当时，所以 ， 所以. 49．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式计算即可； （2）分和两种情况求和计算结果． 【详解】（1）设公差为，公比为，， 故，， ，故，联立，解得或（舍去）， 故，； （2）令，设数列的前项和为， 则， 由，解得， 当时，， 则， 当时，，则 ， 综上：. 50．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）在数列 中， ，且 . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到 ，由累乘法得到 ； （2）设 ， 的前 项和为 ，求出 ，当 时， ；当 时， ，从而得到答案. 【详解】（1）由数列 中， ，且 ， 所以 (符合首项)， 所以 ； （2）其中 ， 设 ， 的前 项和为 ，其中 ， 故 ， 当 时， ，故 ； 当 时， ， 故 综上所述， 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2 等差数列及其前n项和（精讲） 第一部分：知识复习 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列． 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b. 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 3．等差数列与函数的关系 (1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列{an}的第n项an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是一次函数f(x)＝dx＋a1－d当x＝n时的函数值，一次项系数为公差d.若公差d＞0，则{an}为递增数列；若公差d＜0，则{an}为递减数列． (2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋n可以看成二次函数f(x)＝x2＋x当x＝n时的函数值，常数项为0. [常用结论] 等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，当m＋n＝2p时，am＋an＝2ap，也可推广到多项． (2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (3)等差数列{an}的前n项和Sn满足：数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，且公差为m2d. (4)若{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的. (5)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S偶－S奇＝nd，＝. (6)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则 ①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②＝. (7)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn，Tn，则＝. 第二部分：典型例题 典例一：等差数列的基本量计算 1．（25-26高二上·湖南株洲·期末）（多选）已知在等差数列中，公差不为0，，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·辽宁大连·期末）设等差数列的前n项和是，已知，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）设为等差数列的前项和，若，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·安徽合肥·期末）在等差数列中，公差，若，则的值为（    ） A．15 B．16 C．19 D．21 5．（2026高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，若，则________． 6．（2026·上海浦东新·三模）已知等差数列满足，则的前7项和______________． 典例二：等差中项的应用 7．（25-26高二下·广东汕头·期末）已知6个数为：1，2，4，8，16，29．将这6个数分为3组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为3且公差为的等差数列，则公差d的值可以为__________． 8．（25-26高二上·陕西·期末）已知等比数列中，，公比，则与的等差中项是（    ） A．14 B．15 C．17 D．18 9．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，则的等差中项为（ ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）若，，1成等比数列，4，，成等差数列，则（   ） A．-6 B．-3 C．3 D．6 11．（2026高三·全国·专题练习）等比数列中，，，其前项和为，若是，的等差中项，则的值为________． 12．（25-26高二下·重庆·阶段检测）等比数列的公比，且，，成等差数列，则的值（     ） A． B． C． D．2 典例三：等差数列片段和的性质及应用 13．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知是等差数列的前项和，若，，则的值为（     ） A．35 B．45 C．55 D．60 14．（25-26高二下·四川攀枝花·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 15．（25-26高二下·广东中山·期中）已知等差数列的前项和为，且，则__________． 16．（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．15 B． C． D．7 17．（25-26高二上·广东广州·期末）若数列的前n项和为，则下列选项正确的是（   ） A．若数列为等差数列，则，，为等差数列 B．若数列为等比数列，则，，为等比数列 C．若数列为等差数列，则，，为等差数列 D．若数列为等比数列，则，，为等比数列 18．（2026高二下·全国·专题练习）（多选）下列结论不正确的是（   ） A．若为等比数列，是的前n项和，则是等比数列 B．若为等差数列，是的前n项和，则，是等差数列 C．若为等差数列，且均是正整数，则“”是“”的充要条件 D．满足的数列为等比数列 典例四：前n项和与n的比所组成的等差数列 19．（2026高二下·全国·专题练习）设数列满足，是前项和，且，，则（   ） A．1013 B． C．1012 D．1011 20．（2026·江苏南京·模拟预测）在等差数列中，，其前项和为，若，则（   ） A．-24 B．-12 C．12 D．24 21．（25-26高二下·江西九江·期中）已知是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A． B．2026 C． D．4052 22．（2026·湖南郴州·三模）设等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 典例五：两个等差数列前n项和之比问题 23．（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________． 26．（2026·重庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，且，则（     ） A． B． C． D． 典例六：等差数列中的最大（小）项 27．（25-26高三·全国·一轮复习）等差数列中，前项和为，则当______时，最大． 28．（25-26高二下·甘肃平凉·期末）（多选）已知等差数列的前项和是，公差是，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．当时，取得最小值 D． 29．（2026高三·全国·专题练习）在等差数列中，前n项和为，已知，，，求当n取何值时，取得最大值． 30．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知等差数列，满足，且数列的前n项和有最大值，那么取最小正值时，n等于（    ） A．4052 B．4051 C．4050 D．4049 31．（2026高三·全国·专题练习）已知是一个等差数列，且，． (1)求的通项； (2)求的前项和的最大值． 32．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）（多选）设是等差数列，是其前项的和，且，，则下面结论正确的是(    ) A． B． C．与均为的最大值 D．满足的的最小值为14 典例七：等差数列的简单应用 33．（2026高三·全国·专题练习）据科学计算，运载“神七”的“长征二号”系列火箭，在点火后第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程增加2km，在达到离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是（   ） A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟 34．（25-26高二下·湖南张家界·期末）一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（    ） A．15 B．16 C．17 D．19 35．（2026高二·全国·专题练习）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上级和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲､乙､丙三人来分，他们分得的白米数依此构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米为_____. 36．（2026高二·全国·专题练习）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织讫……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布______. 典例八：由递推关系证明等差数列 37．（2026·浙江·三模）正项数列的前项和，且． (1)证明：数列是等差数列； 38．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）已知数列的前n项和为，，且． (1)证明：数列为等差数列； 39．（25-26高三上·广东·阶段检测）已知数列的前项和为，且，. (1)证明：数列是等差数列并求通项； 40．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）已知数列的前n项和为，若，． (1)记判断是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由． 典例九：等差数列奇数项或偶数项的和 41．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为（    ） A．34 B．35 C．36 D．不能确定 42．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 43．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）在项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，则此数列的中间项是______. 44．（2026·江西赣州·二模）在等差数列中，公差，且，则（   ） A．5 B．50 C．60 D．105 45．（25-26高二下·辽宁营口·阶段检测）已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 46．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知项数为奇数的等差数列共有项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 典例十：含绝对值的等差数列前n项和 47．（25-26高二下·安徽·开学考试）已知数列的首项，前项和为，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 48．（2026·海南·模拟预测）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 49．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 50．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）在数列 中， ，且 . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 . 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $