第28讲数列求和与综合应用（知识清单+5典例精讲+5方法技巧+分层训练）-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦数列求和与综合应用核心考点，涵盖裂项相消、错位相减、分组求和等高考高频方法及增长率等实际应用问题，按知识清单、典例精讲、方法技巧、分层训练的逻辑架构组织，通过考点梳理、题型突破、真题演练帮助学生构建系统知识网络，突破求和方法选择与综合应用难点。 资料创新设计解题大招秒杀模板（如错位相减四步流程、裂项相消公式速记），结合基础过关、拔高选练、错题复盘分层训练，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（模型观念），通过典型例题变式训练提升解题效率，为教师提供精准复习节奏把控方案，助力学生高效突破高考数列重难点。

第28讲数列求和与综合应用 （知识清单+5典例精讲+5方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 裂项相消求和、分组求和综合 单选/解答题 5分/12分 错位相减求和、等差等比数列综合 填空/解答题 5分/12分 分组求和、周期数列求和 解答题 5分/12分 公式法求和、数列最值综合应用 单选/解答题 5分/12分 倒序相加求和、等差数列性质综合 单选/解答题 5分/12分 【知识点01】数列求和的几种常用方法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. ①等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋d. ②等比数列的前n项和公式： Sn＝ (2)分组求和法与并项求和法 ①分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. ②并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解. (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. (4)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧 ①. ②. ③. ④. ⑤. 【例1】求的前项和。 【知识点02】数列的综合应用 增长率、存款复利、产量递增等问题，优先构造等差/等比数列求解 【例2】某工厂年产值每年递增10%，今年产值为100万元，求5年后总产值。 【题型一】错位相减法求和 【例1】（2025·广东茂名·二模）已知函数满足，，设，为数列的前项和，则使得成立的最小整数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式1】（多选）（2025·河南新乡·二模）已知函数的定义域为，，，则（    ） A． B．是增函数 C． D． 【变式2】（2026·浙江温州·二模）若i为虚数单位，则________． 【变式3】（2026·广西南宁·三模）已知函数，，且的图像在点处的切线为．若数列满足，且对任意，点均在切线上． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 【题型二】裂项相消法求和 【例1】（2026·福建·三模）已知数列是首项为，公差为的等差数列，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·海南省直辖县级单位·二模）等差数列的前n项和为，已知，，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·浙江金华·二模）数列中，，，记数列的前n项和为，则______． 【变式3】（2026·广西桂林·模拟预测）已知数列和满足，，直线上有三点满足． (1)求与； (2)设．记数列的前项和为，求． 【题型三】分组(并项)法求和 【例3】（2026·河北·模拟预测）若，，则（   ） A． B．2026 C．4050 D．4051 【变式1】（多选）（2025·青海·模拟预测）的前项和为，已知，，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知数列的前项和为，则该数列的前2026项的和__________. 【变式3】（2026·河南濮阳·二模）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前90项和． 注意：这里表示角度， 【题型四】数列求和的其他方法 【例4】（2024全国·模拟预测）已知数列满足，，则数列的前2020项的和为（    ） A．0 B．1010 C．2020 D．2024 【变式1】（2025·河南鹤壁·模拟预测）数列中表示与最接近的整数，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·浙江·二模）已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推.将该数列前项的和记为，则使得成立的最小正整数的值是______. 【变式3】（2024·重庆·一模）已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【题型五】数列的综合应用 【例5】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（    ）（参考数据：） A．3937万元 B．3837万元 C．3737万元 D．3637万元 【变式1】（2024·山西运城·一模）某工厂加工一种电子零件，去年月份生产万个，产品合格率为.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年月份的产量在去年月的基础上提高，产品合格率比去年月增加，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格品数达到最大是今年的（    ） A．月份 B．月份 C．月份 D．月份 【变式2】（2024·四川乐山·三模）峨眉山是一个著名的旅游和朝圣地，以其壮丽的自然风光和宗教文化遗址而闻名.其中“九十九道拐”景点约有2000级台阶，某游客一次上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，给出下列四个结论： ①；②；③；④. 其中所有正确结论的序号是__________. 【变式3】（2025·湖南郴州·三模）“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起点和终点.例如，在复利计息的情况下，设本金为，每期利率为，期数为，到期末的本利和为，则其中，称为期末的终值，称为期后终值的现值，即期后的元现在的价值为. 现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案 方案一：一次性付全款25万元； 方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完； (1)已知一年期存款的年利率为，试讨论两种方案哪一种更好？ (2)若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，参照第（1））问中的存款年利率，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值.（精确到百元） 参考数据： 【解题大招01】公式法求和 秒杀速算技巧 无需分步推导，直接套用固定结论，纯等差、纯等比数列直接秒写前项和，重点规避等比数列公比易错点。 万能秒杀公式 等差数列求和： 等比数列求和： 高频自然数求和速记： 【例1】已知等比数列，，，求前6项和。 【解题大招02】分组求和 拆分秒杀模板 通项可拆分为两类基础数列：。 解题逻辑 拆分分组→分别套用公式求和→合并结果，无需复杂变形，固定套路直接用。 【例2】求数列的前项和。 【解题大招03】裂项相消 满分万能模板（高考最高频） 所有分式型、根式型数列求和，统一裂项，中间项全部抵消，仅剩余首尾固定项，是高考解答题必考满分模板。 高考必考裂项秒杀公式（直接背诵） ① ② ③ 【例3】求的前项和。 【解题大招04】错位相减 满分秒杀套路（压轴必考） 1. 精准识别题型 通项为等差×等比型：，高考大题核心必考。 2. 四步满分万能模板（直接套用） ① 写；② 乘公比错位；③ 两式相减；④ 整理化简（重点注意符号） 【例4】求前项和。 【解题大招05】倒序相加 小题秒杀技巧 1. 识别核心特征 数列首尾对应项相加为固定常数，多用于函数型数列、对称型数列求和。 2. 秒杀逻辑 正序+倒序=定值×项数，整体均分快速得结果，无需逐项计算。 【例5】已知，求。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2024·四川德阳·一模）已知数列的前项和为，且，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若是等比数列，且，则数列的前8项和为（    ） A．689 B．716 C．729 D．1597 3．（2026·湖南·三模）已知数列的通项公式为，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，则（    ） A．1013 B．1014 C．502 D．503 二、多选题 4．（2025·陕西汉中·一模）记数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B．是等差数列 C． D． 三、填空题 5．（2024·河北沧州·模拟预测）自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成的，这种生物在生育下一代时，成对的基因相互分离形成配子，配子随机结合形成下一代的基因型．若某生物群体的基因型为，在该生物个体的随机交配过程中，基因型为的子代因无法适应自然环境而被自然界淘汰．例如当亲代只有的基因型个体时，其子一代的基因型如下表所示： 雌 雄 由上表可知，子一代中，子一代产生的配子中A占，a占，以此类推，子七代中的个体所占的比例为______． 6．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知，，则______. 四、解答题 7．（2026·新疆·模拟预测）已知数列的前项和. (1)证明：； (2)若，求数列的前项和. 8．（2026·四川成都·模拟预测）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·河北邯郸·三模）已知等差数列的首项，且满足.若，令，数列的前项和为，则当时，的最大值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 2．（2026·河南·模拟预测）若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 二、多选题 3．（2026·陕西咸阳·三模）记为等差数列的前项和，为的公差，若成公比不为的等比数列，且，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（2026·陕西榆林·三模）已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，若对于任意正整数恒成立，则的最小值为___________． 5．（2026·江苏无锡·三模）已知是数列的前项和，若，，则当为奇数时，___________（用含的式子表示）；___________. 四、解答题 6．市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式： ①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同； ②等额本息：每月的还款额均相同． 银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（如2020年7月7日贷款到账，则2020年8月7日首次还款）．已知该笔贷款年限为20年，月利率为0.4%． （1）若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算该笔贷款的总利息． （2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半．已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）． 参考数据：． （3）对比两种还款方式，从经济利益的角度考虑，小张应选择哪种还款方式． 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·山东青岛·三模）已知数列的前项和为．．，则（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2026·湖北·二模）“东数西算”是一项国家战略工程，旨在通过构建全国一体化算力网络体系，将东部算力需求有序引导到西部的资源优化配置策略．某人工智能公司有两种方式租赁算力方案可供选择，一种是仅根据单位算力支付费用，另一种是租用专用超级计算机，然后再根据单位算力支付费用，下表列出了该公司调查A、B、C三个公司租赁方案的整体费用最少的租赁方案，当他有算力需求时，最优方案所需费用为（   ） 公司 算力 租赁最少费用 A公司 120万元 B公司 180万元 C公司 220万元 A．240万元 B．260万元 C．280万元 D．300万元 二、多选题 3．（2026·湖北黄冈·二模）在数列中，若，，则（    ） A．数列为等比数列 B．数列是递减数列 C．若数列的前n项和为，则 D．若数列的前n项和为，则 三、填空题 4．（2026·江西宜春·模拟预测）已知数列中，为正整数，且，，，则当的值最大时，满足的的值为________． 四、解答题 5．（2026·福建泉州·模拟预测）已知数列满足：，，记的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28讲数列求和与综合应用 （知识清单+5典例精讲+5方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 裂项相消求和、分组求和综合 单选/解答题 5分/12分 错位相减求和、等差等比数列综合 填空/解答题 5分/12分 分组求和、周期数列求和 解答题 5分/12分 公式法求和、数列最值综合应用 单选/解答题 5分/12分 倒序相加求和、等差数列性质综合 单选/解答题 5分/12分 【知识点01】数列求和的几种常用方法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. ①等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋d. ②等比数列的前n项和公式： Sn＝ (2)分组求和法与并项求和法 ①分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. ②并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解. (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. (4)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧 ①. ②. ③. ④. ⑤. 【例1】求的前项和。 解析：裂项得： 答案： 【知识点02】数列的综合应用 增长率、存款复利、产量递增等问题，优先构造等差/等比数列求解 【例2】某工厂年产值每年递增10%，今年产值为100万元，求5年后总产值。 解析：构成等比数列： 答案：5年后总产值为万元 【题型一】错位相减法求和 【例1】（2025·广东茂名·二模）已知函数满足，，设，为数列的前项和，则使得成立的最小整数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】由题意可得是以为首项，2为公比的等比数列，从而可得，利用错位相减法可求得，可求解. 【详解】因为，所以，又，所以， 所以，所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以， 所以 所以， 所以， 所以，又，， 所以使得成立的最小整数为. 故选：B. 【变式1】（多选）（2025·河南新乡·二模）已知函数的定义域为，，，则（    ） A． B．是增函数 C． D． 【答案】ACD 【分析】利用赋值法计算可判断AB；由已知可得，进而可得，可求判断C；利用错位相减法可求得，判断D. 【详解】令，则，解得，故A正确； 令，，则，故B错误； 由，可得， 令，，则，即， 所以，故， 则，故C正确； 因为， 所以， 两式相减，可得， 故，故D正确. 故选：ACD. 【变式2】（2026·浙江温州·二模）若i为虚数单位，则________． 【答案】 【分析】设，利用错位相减法求得，进而求解即可. 【详解】由，， 设， 则， 两式相减得， ， 所以. 【变式3】（2026·广西南宁·三模）已知函数，，且的图像在点处的切线为．若数列满足，且对任意，点均在切线上． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意解得参数的值，再计算在点处切线方程，根据点均在切线上可得，结合递推关系求得通项公式； （2）代入上一问所求结果求得，再结合分组求和和错位相减求得前项和； 【详解】（1）对函数求导得， 因为，即，解得， 因此，又因为的图像过点，所以，解得 因此， 因为，的图像在点处的切线为，即 因为数列满足，且对任意，点均在切线上， 所以，变形可得 因此数列是首项为，公比为的等比数列， 所以由等比数列通项，整理得 （2）已知 因此前项和 因为，令， ， 两式相减得：， 即，整理得 因此. 【题型二】裂项相消法求和 【例1】（2026·福建·三模）已知数列是首项为，公差为的等差数列，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用等差数列的通项公式求出，进而可得，利用裂项相消法，即可求解. 【详解】因为数列是首项为，公差为的等差数列，则， 得到，则， 所以数列的前项和为. 【变式1】（2026·海南省直辖县级单位·二模）等差数列的前n项和为，已知，，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，，化简得， 又，，即，故， ，， 故数列的前20项和为 . 【变式2】（2026·浙江金华·二模）数列中，，，记数列的前n项和为，则______． 【答案】 【分析】先根据累乘法求出的通项公式，然后根据裂项法求出，最后再计算. 【详解】，. ，又，. . . . 【变式3】（2026·广西桂林·模拟预测）已知数列和满足，，直线上有三点满足． (1)求与； (2)设．记数列的前项和为，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先由三点共线的向量系数和为，推导出数列的递推关系，再通过累乘式相除结合求出，进而确定的通项；最后将的通项代入累乘式，通过指数运算得到； （2）先将的通项代入，拆分出等比数列项和可裂项的分式项，再将前项和拆分为等比数列求和与裂项相消求和两部分，分别计算后合并化简，最终得到． 【详解】（1）由题意，，， 所以，， 因为三点共线，且满足， 所以，化简得， 因为，所以数列是等比数列，且公比， 所以， 所以数列的通项公式为， 所以， 故数列的通项公式为； （2）由（1）知，， 所以， 【题型三】分组(并项)法求和 【例3】（2026·河北·模拟预测）若，，则（   ） A． B．2026 C．4050 D．4051 【答案】A 【分析】发现自变量互为倒数时函数值之和为定值，从而应用分组求和两两配对计算即可. 【详解】因为，又， 且， 所以． 【变式1】（多选）（2025·青海·模拟预测）的前项和为，已知，，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由，得的偶数项均为-2，由．又因为，所以的奇数项均为2，即可判断选项． 【详解】因为，，所以，即的偶数项均为-2，B正确． 因为，所以． 又因为，所以的奇数项均为2，A正确． ，C，D错误． 故选：AB 【变式2】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知数列的前项和为，则该数列的前2026项的和__________. 【答案】2026 【分析】设,则，利用求解即可. 【详解】设,则，, 所以, 则, 故答案为： 【变式3】（2026·河南濮阳·二模）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前90项和． 注意：这里表示角度， 【答案】(1) (2)45 【分析】（1）根据求出数列的通项公式即可. （2）先列出数列的前90项和，然后利用三角函数的二倍角公式进行化简，进而求出结果. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时满足，故. （2）设数列的前90项和为，又， 则 因为， 所以 ， 所以. 【题型四】数列求和的其他方法 【例4】（2024全国·模拟预测）已知数列满足，，则数列的前2020项的和为（    ） A．0 B．1010 C．2020 D．2024 【答案】C 【分析】根据对的分类讨论，令可得，，进行归纳可得规律，，再进行求和即可得解. 【详解】由，，令， 可得，， 两式相加可得， ，， 两式相加， 进行推论归纳可得，， 所以数列的前2020项的和为． 故选：C. 【变式1】（2025·河南鹤壁·模拟预测）数列中表示与最接近的整数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得到，求得数的项共有项，当时，求得，，进而求得的值，得到答案. 【详解】由题意，设，则，即， 因为，所以数的项共有项， 当时，，，所以，， 所以． 故选：D． 【变式2】（2024·浙江·二模）已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推.将该数列前项的和记为，则使得成立的最小正整数的值是______. 【答案】 【分析】将已知数列分组，将各组数据之和即为数列，由等差数列求和公式可求得，由此可得求得数列的前项和为，结合，可确定，由此可推导得到，，由此可得结果. 【详解】将已知数列分组，每组的第一项均为，即第一组：；第二组：；第三组：；依此类推； 将各组数据之和记为数列，则， 记数列的前项和为，则； ，； 对应中项数为项，即， ，， 则使得成立的最小正整数. 故答案为：. 【变式3】（2024·重庆·一模）已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)当为偶数时，，当为奇数时，. 【分析】（1）根据等差数列前和公式即可求出，则得到其通项公式； （2）分为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可. 【详解】（1）由题意得是公差为2的等差数列，且， 即，又因为，所以， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 经检验，时，满足， 综上，当为偶数时，， 当为奇数时，. 【题型五】数列的综合应用 【例5】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（    ）（参考数据：） A．3937万元 B．3837万元 C．3737万元 D．3637万元 【答案】A 【分析】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为，进而可得，根据配凑法、分组求和法求得正确答案. 【详解】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为. 依题意可得，则， 所以数列是首项为90，公比为1.3的等比数列， 则，即， 则， 故从2024年到2033年该产品的销售总额约为3937万元. 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于递推公式为，常常通过构造等比数列的方法求得通项公式. 【变式1】（2024·山西运城·一模）某工厂加工一种电子零件，去年月份生产万个，产品合格率为.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年月份的产量在去年月的基础上提高，产品合格率比去年月增加，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格品数达到最大是今年的（    ） A．月份 B．月份 C．月份 D．月份 【答案】C 【分析】该工厂每月的产量、不合格率分别用、表示，月份用表示，求出的表达式，分析数列，即可得出结论. 【详解】设从今年月份起，每月的产量和产品的合格率都按题中的标准增长， 该工厂每月的产量、不合格率分别用、表示，月份用表示， 则，，其中，， 则从今年月份起，各月不合格产品数量为，单位：万台， 因为 ， 当时，，即，此时，数列单调递增， 即； 当且时，，即，此时，数列单调递减， 即， 因此，当时，最大，故该工厂的月不合格品数达到最大是今年的月份. 故选：C. 【变式2】（2024·四川乐山·三模）峨眉山是一个著名的旅游和朝圣地，以其壮丽的自然风光和宗教文化遗址而闻名.其中“九十九道拐”景点约有2000级台阶，某游客一次上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，给出下列四个结论： ①；②；③；④. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②④ 【分析】根据题意可以得到,再对每一个进行判断即可. 【详解】由于到第级阶梯有两种方法：从第级阶梯上一级台阶或者从第级阶梯上两级台阶， 因此由题意有， 可得 , 当时，,所以②正确; 所以 , 所以①正确, 所以，③错误; ,所以④正确. 故答案为：①②④ 【变式3】（2025·湖南郴州·三模）“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起点和终点.例如，在复利计息的情况下，设本金为，每期利率为，期数为，到期末的本利和为，则其中，称为期末的终值，称为期后终值的现值，即期后的元现在的价值为. 现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案 方案一：一次性付全款25万元； 方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完； (1)已知一年期存款的年利率为，试讨论两种方案哪一种更好？ (2)若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，参照第（1））问中的存款年利率，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值.（精确到百元） 参考数据： 【答案】(1)购置设备的方案较好 (2)（万元） 【分析】（1）解法1（从终值来考虑），分别求出若全款购置，则25万元10年后的价值和若分期付款，每年初所付金额3万元，10年后的总价值，两者比较即可得出答案. 解法2（从现值来考虑）每年初付租金3万元的10年现值之和与购置一次付款25万元相比，即可得出答案. （2）设小明第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为万元，，由错位相减法即可求出. 【详解】（1）解法1（从终值来考虑）若全款购置，则25万元10年后的价值 万元 若分期付款，每年初所付金额3万元，10年后的总价值为 （万元）. 因此，付全款较好. 解法2（从现值来考虑）每年初付租金3万元的10年现值之和为 （万元） 比购置一次付款25万元多，故购置设备的方案较好. （2）由题意，设小明第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为万元， 记，则 作差可得： （万元）. 【解题大招01】公式法求和 秒杀速算技巧 无需分步推导，直接套用固定结论，纯等差、纯等比数列直接秒写前项和，重点规避等比数列公比易错点。 万能秒杀公式 等差数列求和： 等比数列求和： 高频自然数求和速记： 【例1】已知等比数列，，，求前6项和。 解：，直接代入公式： 答案： 【解题大招02】分组求和 拆分秒杀模板 通项可拆分为两类基础数列：。 解题逻辑 拆分分组→分别套用公式求和→合并结果，无需复杂变形，固定套路直接用。 【例2】求数列的前项和。 解：拆分两组数列：等差、等比 答案： 【解题大招03】裂项相消 满分万能模板（高考最高频） 所有分式型、根式型数列求和，统一裂项，中间项全部抵消，仅剩余首尾固定项，是高考解答题必考满分模板。 高考必考裂项秒杀公式（直接背诵） ① ② ③ 【例3】求的前项和。 解：因式分解裂项： 答案： 【解题大招04】错位相减 满分秒杀套路（压轴必考） 1. 精准识别题型 通项为等差×等比型：，高考大题核心必考。 2. 四步满分万能模板（直接套用） ① 写；② 乘公比错位；③ 两式相减；④ 整理化简（重点注意符号） 【例4】求前项和。 解： 两式错位相减： 化简得： 答案： 【解题大招05】倒序相加 小题秒杀技巧 1. 识别核心特征 数列首尾对应项相加为固定常数，多用于函数型数列、对称型数列求和。 2. 秒杀逻辑 正序+倒序=定值×项数，整体均分快速得结果，无需逐项计算。 【例5】已知，求。 解：推导定值： 设和为，倒序相加：，解得 答案： 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2024·四川德阳·一模）已知数列的前项和为，且，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，然后利用裂项相消求出结果. 【详解】由已知有，故. 所以，从而. 故选：C. 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若是等比数列，且，则数列的前8项和为（    ） A．689 B．716 C．729 D．1597 【答案】C 【分析】先求出的公比，再求出的通项，故可求的前8项和. 【详解】设等比数列的公比为，则， 所以，则， 故数列的前8项和为. 故选：C. 3．（2026·湖南·三模）已知数列的通项公式为，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，则（    ） A．1013 B．1014 C．502 D．503 【答案】A 【详解】由题意，又，故， ． 二、多选题 4．（2025·陕西汉中·一模）记数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B．是等差数列 C． D． 【答案】ABD 【分析】利用与的关系式，运用迭代相减法，得到，即可判断其为等差数列，写出数列的通项与前项和，即可依次判断A,B,C项；再利用裂项相消法求和即可判断D项. 【详解】对于A，在中，取时，，故A正确； 对于B，当时，由①，得②， 则①②得，即，所以． 又，所以是以2为首项，2为公差的等差数列，故B正确； 对于C，由B项，可得，故C错误； 对于D，因， 故，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题 5．（2024·河北沧州·模拟预测）自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成的，这种生物在生育下一代时，成对的基因相互分离形成配子，配子随机结合形成下一代的基因型．若某生物群体的基因型为，在该生物个体的随机交配过程中，基因型为的子代因无法适应自然环境而被自然界淘汰．例如当亲代只有的基因型个体时，其子一代的基因型如下表所示： 雌 雄 由上表可知，子一代中，子一代产生的配子中A占，a占，以此类推，子七代中的个体所占的比例为______． 【答案】/ 【分析】本题考查数列的综合应用，要求考生能从实际问题中抽象出数列的递推关系式，能利用等差数列解决实际问题． 【详解】设子n代中占比为，则占比为， 所以，则子代的基因型如下表所示： 雌 雄 由表可知，表格中总份数为（其中淘汰了份）， 因此子代中的占比为， 化简得，即，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，，因此． 故答案为：. 6．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知，，则______. 【答案】 【分析】根据裂项相消求和法可得. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为：. 四、解答题 7．（2026·新疆·模拟预测）已知数列的前项和. (1)证明：； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【分析】（1）根据得到通项公式，进而得到； （2）得到，由错位相减法求和得到答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， 由于，故对，， 所以，而， 故； （2）， 故①， 则②， 式子①-②得， 故. 8．（2026·四川成都·模拟预测）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用等差数列的定义即可得证； （2）利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）由，所以， 所以， 所以数列是以为公差，首项为的等差数列； （2）由（1）有，所以， 所以， 所以. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·河北邯郸·三模）已知等差数列的首项，且满足.若，令，数列的前项和为，则当时，的最大值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【分析】根据已知条件求得等差数列的通项公式，利用分组求和法求得，由此解不等式求得的最大值. 【详解】设数列的公差为，则， 所以，， 因为，所以， 解得，所以， 又因为，， 所以， 所以， 当，即，则， 当时，， 当时，， 数列是单调递增数列，数列是单调递减数列， 所以的最大值为9. 2．（2026·河南·模拟预测）若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 【答案】D 【分析】根据题干条件易得首末项自变量之和为常数2，可得，进而利用倒序相加求解即可. 【详解】令，则， 所以， 则， 所以， 令， 则，两式相加得， 所以. 二、多选题 3．（2026·陕西咸阳·三模）记为等差数列的前项和，为的公差，若成公比不为的等比数列，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】（1）根据条件，直接求出，进而可得，即可判断A和B的正误；对C，通过作差法，即可求解；对D，根据条件得时，，再由进行放缩、裂项求和，即可求解. 【详解】因为成公比不为的等比数列，则， 又，则，解得，故A正确， 对于B，因为，则，所以B正确， 对于C，因为， 则，所以，故C错误， 对于D，由选项C知，当时，， 所以，故D正确. 三、填空题 4．（2026·陕西榆林·三模）已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，若对于任意正整数恒成立，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】先求的通项公式，再求和的表达式，并确定的最小值 【详解】设的公差为，则， 所以，所以， ， 且当时，， 所以为使若对于任意正整数恒成立，则， 则的最小值为． 5．（2026·江苏无锡·三模）已知是数列的前项和，若，，则当为奇数时，___________（用含的式子表示）；___________. 【答案】 2 【分析】当为奇数时，，利用累加法可求解；当为偶数时，，可得偶数项的和，又有，可得奇数项的和，再结合第一空的解析式求解. 【详解】当为奇数时，， 所以 当时，满足上式. 所以当为奇数时,. 当为偶数时，， 所以， 又因为，所以. 即      解得. 四、解答题 6．市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式： ①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同； ②等额本息：每月的还款额均相同． 银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（如2020年7月7日贷款到账，则2020年8月7日首次还款）．已知该笔贷款年限为20年，月利率为0.4%． （1）若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算该笔贷款的总利息． （2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半．已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）． 参考数据：． （3）对比两种还款方式，从经济利益的角度考虑，小张应选择哪种还款方式． 【答案】（1）（元） ；（2）小张申请该笔贷款能够获批 ；（3）小张应选择等额本金的还款方式． 【分析】（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，即可由等差数列的前项和公式求得其还款总额，减去本金即为还款的利息； （2）根据题意，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，设小张每月还款额为元，由等比数列求和公式及参考数据，即可求得其还款额，与收入的一半比较即可判断； （3）计算出等额本息还款方式时所付出的总利息，两个利息比较即可判断. 【详解】（1）由题意可知，等额本金还款方式中， 每月的还款额构成等差数列，记为， 用表示数列的前项和， 则，， 则， 故小张的该笔贷款的总利息为（元）． （2）设小张每月还款额为元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列， 则， 所以， 即， 因为， 所以小张该笔贷款能够获批. （3）小张采取等额本息贷款方式的总利息为 （元）， 因为， 所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金的还款方式． 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·山东青岛·三模）已知数列的前项和为．．，则（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据给定的递推公式，利用分组求和法列式求解. 【详解】依题意，，则， 又，则， ，由， 得，所以. 2．（2026·湖北·二模）“东数西算”是一项国家战略工程，旨在通过构建全国一体化算力网络体系，将东部算力需求有序引导到西部的资源优化配置策略．某人工智能公司有两种方式租赁算力方案可供选择，一种是仅根据单位算力支付费用，另一种是租用专用超级计算机，然后再根据单位算力支付费用，下表列出了该公司调查A、B、C三个公司租赁方案的整体费用最少的租赁方案，当他有算力需求时，最优方案所需费用为（   ） 公司 算力 租赁最少费用 A公司 120万元 B公司 180万元 C公司 220万元 A．240万元 B．260万元 C．280万元 D．300万元 【答案】B 【分析】设相关参数，根据题意分析整体费用最少的租赁方案的可能组合，可得，，，运算求解即可. 【详解】设方案一，单位算力费用为万元，方案二，单位算力费用为万元，租用一台超级计算机费用t万元 运算量付费 租赁方式付费 租赁最少费用 A公司 120万元 B公司 180万元 C公司 220万元 由于A、B、C三个公司租赁方案的整体费用最少， 根据数据计算量支付费用分别为，，成等差数列，与租赁最少费用120万元，180万元，220万元矛盾， 租用超级计算机分别为，，也成等差数列，与租赁最少费用120万元，180万元，220万元矛盾， 则必有某公司是根据数据计算量支付费用的． 若根据数据计算量支付费用的是B公司则， 则与A公司租赁最少费用120万元矛盾； 若根据数据计算量支付费用的是C公司则， 则与A公司租赁最少费用120万元矛盾； 故根据数据计算量支付费用的是A公司，租用超级计算机的是B公司和C公司， 则，，， 解得：，，， 若某公司有算力需求时，最优方案需费用为万， 故选：B． 二、多选题 3．（2026·湖北黄冈·二模）在数列中，若，，则（    ） A．数列为等比数列 B．数列是递减数列 C．若数列的前n项和为，则 D．若数列的前n项和为，则 【答案】ABD 【详解】数列中，若，，则， 所以，即， 即，且. 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以A正确. 所以，，， 因为，所以，所以数列是递减数列，所以B正确. 若数列的前n项和为， 则 ，所以C错误. 因为，所以. 若数列的前n项和为， 则， 其中.所以D正确. 三、填空题 4．（2026·江西宜春·模拟预测）已知数列中，为正整数，且，，，则当的值最大时，满足的的值为________． 【答案】66 【分析】根据题意列举求得最大为11，进而得，，再结合分组求和的方法，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】由题意得，，，，的可能取值如图所示， 由图可知最大为11， 由，则或16，因为，所以， 所以， 当时，，解得， 当时，，满足条件的不存在， 所以． 四、解答题 5．（2026·福建泉州·模拟预测）已知数列满足：，，记的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用递推公式分奇数偶数计算求解通项公式； （2）分奇偶结合裂项相消法及分组求和计算求解. 【详解】（1）当为奇数，且，为偶数时，依题意得：，     因为也满足，     所以为奇数时，；     当为偶数时，为奇数时，；     所以 （2）为偶数时，      ，         为奇数时， ；     1 学科网（北京）股份有限公司 $