第41讲 等差数列及其前n项和·讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦等差数列及其前n项和核心考点，按考情分析、知识清单、典题精练（十大考点）、高考真题的逻辑架构系统梳理定义、公式、性质及应用，通过考点分层突破、方法总结提炼、真题实战演练，帮助学生攻克构造证明、性质应用等难点，体现复习的系统性与高考针对性。 讲义突出核心素养导向，如考点一通过递推关系构造等差数列培养逻辑推理能力，考点十结合设备折旧问题构建模型发展模型意识。设置基础到综合的分层考法与即时方法总结，确保高效突破重点，助力学生提升解题技巧与应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

第41讲 等差数列及其前n项和 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 1 三、典题精练 4 考点一：等差数列的判定与证明 4 考点二：等差数列的基本量运算 4 考点三：等差数列的性质 5 考点四：等差数列前n项和的性质 6 考点五：等差数列前n项和的最值 6 考点六：对于含绝对值的等差数列求和问题 7 考点七：关于等差数列奇偶项问题的讨论 7 考点八：利用等差数列的单调性求解 8 考点九：等差数列中的范围与恒成立问题 8 考点十：等差数列的实际应用 8 四、高考真题 9 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 第19题 解答题 17分 直接 等差数列的定义与性质、新定义数列的综合探究 2025 第16题 解答题 15分 直接 利用递推关系构造等差数列并证明，等差数列通项公式的求解 2026 第7题 单选题 5分 直接 等差数列的实际应用、等差数列求和及新数列的构造 近三年全国一卷对等差数列及其前项和的考查保持了较高的频次，每年均有直接考查的题目.题型涵盖单选题与解答题. 2. 命题角度与特色 （1） 考查形式灵活多变，既有结合实际情境（如塔群数量）的单选题，也有在解答题中通过递推关系构造等差数列的证明题. （2） 综合性与创新性强，常与新定义数列（如“可分数列”）、导数等知识交汇，对学生的逻辑推理能力、代数变形能力以及对数列本质的理解要求极高. 3. 备考策略 （1） 扎实掌握等差数列的通项公式、前项和公式及其基本性质，做到面对基础题型能快速、准确求解. （2） 加强对数列递推关系的变形训练，熟练掌握通过代数变形构造等差数列的常见技巧. （3） 提升阅读理解与数学建模能力，面对新定义或实际情境问题时，能迅速剥离出等差数列的数学模型并加以解决. 二、知识清单 1. 等差数列的有关概念 （1） 等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为(常数). （2） 等差中项：若三个数成等差数列，则叫做与的等差中项，且有. 2. 等差数列的有关公式 （1） 等差数列的通项公式：如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是. （2） 等差数列的前项和公式：设等差数列的公差为，其前项和. 3. 等差数列的判定方法 （1） 定义法：(常数) (). （2） 等差中项法： (). （3） 通项公式法： (为常数). （4） 前项和法： (为常数). 【易错提醒】判断数列是否为等差数列时，若使用定义法，必须证明对任意，为同一个常数，严禁仅凭前几项的差相等就下结论. 4. 等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和. （1） 通项公式的推广： (). （2） 下标和性质：在等差数列中，当时， ().特别地，若，则 (). （3） 子数列性质：仍是等差数列，公差为 (). （4） 片段和性质：也成等差数列，公差为. （5） 线性运算性质：若是等差数列，则也是等差数列. （6） 均值性质：若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的. （7） 奇偶项性质： ① 若项数为偶数，则；；. ② 若项数为奇数，则；；. ③ 若项数为奇数，则；； 5. 等差数列与函数的关系 （1） 通项公式与一次函数的关系：.当时，点是分布在直线上的一群孤立的点. （2） 前项和公式与二次函数的关系：.当时，点是分布在抛物线上的一群孤立的点，且该抛物线过坐标原点. 【防坑警示】在利用判断等差数列时，注意常数项必须为.若，则该数列从第2项起才是等差数列，第一项不符合通项规律. 6. 等差数列的前项和的最值 （1） 公差为递增等差数列，有最小值. （2） 公差为递减等差数列，有最大值. （3） 公差为常数列. （4） 求最值的两种常用方法： ① 邻项变号法：若，则满足的项数使得取得最大值（所有正项或非负项之和）；若，则满足的项数使得取得最小值（所有负项或非正项之和）. ② 二次函数法：利用，结合二次函数的对称轴求最值，注意自变量必须为正整数. 7. 其他衍生等差数列 已知等差数列，公差为，前项和为，则： （1） 等间距抽取为等差数列，公差为. （2） 等长度截取为等差数列，公差为. （3） 算术平均值为等差数列，公差为. 8. 含绝对值的等差数列求和 求时，关键在于寻找数列的变号项（即正负分界点）.先令求出临界值，判断数列各项的符号，再将绝对值和拆分为正数项之和与负数项之和，最后利用前项和公式进行分段计算. 三、典题精练 考点一：等差数列的判定与证明 考法1：利用定义或递推关系证明等差数列 例1.已知数列满足，. （1） 证明：是等差数列，并求出的通项； （2） 证明：. 考法2：利用Sn与an的关系构造证明等差数列 例2.已知数列的前项和为，数列的前项积为，且满足. （1）求证：为等差数列； （2）记，求数列的前2024项的和. 【考点一 方法总结】 1. 判断数列是否为等差数列的常用方法： （1） 定义法：证明对任意，为同一个常数. （2） 等差中项法：证明对任意，. （3） 通项公式法：证明（为常数）. （4） 前项和公式法：证明（为常数）. 2. 数列递推关系的化简与等差数列的证明中，常利用代数变形（如取倒数、同除以某项等）构造出符合等差数列定义的新数列. 3. 在处理数列不等式证明时，利用累乘法与放缩技巧（如放缩为可裂项相消的结构）是常用的方法. 考点二：等差数列的基本量运算 考法3：利用通项与前n项和公式求解基本量 例3.（2026·广东佛山·检测）设等差数列的前项和为.若，则 A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 考法4：利用等差中项及性质求解基本量与特定项 例4.（2026·山东青岛·一模）设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则 A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 考法5：等差数列基本量运算与其他知识综合 例5.（2026·河南豫东名校·二模）（多选）已知为等差数列的前项和，，，，则 A. B. C. D. 【考点二 方法总结】 1. 等差数列基本运算的常见类型及解题策略： （1） 求公差或项数：在求解时，一般要运用方程思想，将已知条件转化为关于基本量和的方程组. （2） 求通项：和是等差数列的两个基本元素，求出即可写出通项. （3） 求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质（如等差中项）求解. （4） 求前项和：利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解. 2. 在求解数列基本量问题中，遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷. 考点三：等差数列的性质 考法6：利用等差数列性质求解特定项或前n项和 例6.（2026·山东菏泽·二模）已知等差数列的前项和为，，则 A. B. 45 C. 50 D. 90 考法7：等差数列性质与函数、方程等知识的综合应用 例7.（2025·广东深圳高中园·一模）在等差数列中，，.记，则数列 A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 【考点三 方法总结】 1. 如果等差数列中，当时，.因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与有关的条件. 2. 若求项，可由转化求解. 3. 在处理等差数列的累乘积单调性时，核心是分析通项的正负分界点以及绝对值与1的大小关系. 考点四：等差数列前n项和的性质 考法8：利用前n项和公式及二次函数特性求解 例8.（2026·江苏南京·一模）若等差数列的前项和为，且，则 A. B. C. D. 2 考法9：利用两个等差数列前n项和之比求解特定项之比 例9.两个等差数列，的前项和分别为和，已知，则＿＿＿＿＿＿ 考法10：利用前n项和的片段和及奇偶项和性质求解 例10.设等差数列的前项和为，若，，则＿＿＿＿＿＿ 考法11：前n项和性质的综合判断与应用 例11.（2025·江西萍乡实验学校·一模）（多选）记为等差数列的前项和，已知，的公差为，且，则 A. B. C. D. 满足的的最大值为15 【考点四 方法总结】 1. 在等差数列中，仍成等差数列；也成等差数列. 2. 设是处理等差数列前项和比例问题的有效简化方法. 3. 求解两个等差数列前项和之比与特定项之比的转换时，牢记公式：. 考点五：等差数列前n项和的最值 考法12：利用通项变号判断前n项和的最值 例12.（2026·安徽皖南八校·检测）已知公差为的等差数列的前项和为，，是中的唯一最大项，则的取值范围为 A. B. C. D. 考法13：利用二次函数对称性求解前n项和的最值 例13.（2026·河南郑州·检测）已知为等差数列，记公差为，前项和为，，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿ 考法14：等差数列前n项和最值的综合探究 例14.已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是＿＿＿＿＿＿ 【考点五 方法总结】 1. 求等差数列前项和最值的两种常用方法： （1） 函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解. （2） 邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值；②若，则满足的项数使得取得最小值. 2. 结合整数性质时，常利用整除特性来确定公差或项数的极值. 考点六：对于含绝对值的等差数列求和问题 考法15：寻找变号项进行分段绝对值求和 例15.记为等差数列的前项和，，. （1）求数列的通项公式； （2）求的值. 【考点六 方法总结】 1. 由正项开始的递减（或负项开始的递增）等差数列的绝对值求和的计算解题步骤如下： （1） 首先找出零值或者符号由正变负（或由负变正）的分界项. （2） 在对进行讨论，当时，；当时，利用分段求和，将绝对值之和转化为两段前项和的加减运算，如（正转负）或（负转正）. 考点七：关于等差数列奇偶项问题的讨论 考法16：等差数列奇偶项分段求和与综合讨论 例16.已知等差数列满足，. （1） 求； （2） 数列满足，为数列的前项和，求. 【考点七 方法总结】 1. 对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题，要注意分类讨论.主要是将数列分为奇数项和偶数项进行分组求和. 2. 求前项和时，奇数项和偶数项各有项，分别套用对应的求和公式再相加即可. 考点八：利用等差数列的单调性求解 考法17：利用等差数列的单调性判断参数或项的范围 例17.（2026·山东烟台·检测）已知是等差数列，其公差为，前项和为，则“”是“数列是递增数列”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【考点八 方法总结】 1. 在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列是递增数列 任意，恒成立”. 2. 数列的单调性与连续函数 () 的单调性不完全一致.一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理.但若数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题.即“离散函数有单调性 连续函数有单调性；连续函数有单调性 离散函数有单调性”. 考点九：等差数列中的范围与恒成立问题 考法18：等差数列中的不等式恒成立与参数范围求解 例18.已知数列的前项和为，，且，.若恒成立，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿ 【考点九 方法总结】 1. 解决等差数列中不等式恒成立问题的核心是将问题转化为求数列的最值. 2. 求新数列的最值时，通常采用作差法（研究的符号）或作商法（研究与1的大小关系）来判断数列的单调性，进而锁定最大项或最小项. 考点十：等差数列的实际应用 考法19：构建等差数列模型解决实际情境问题 例19.（2025·河南H20联盟·联考）某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少为正常数万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将开始低于购进价值的，设备将报废.则的取值范围为 A. B. C. D. 【考点十 方法总结】 1. 解决实际情境问题时，关键在于将生活语言转化为数学语言.如“逐年增加（或减少）固定常数”即提示构建等差数列模型. 2. 建立模型后，要准确识别题目中的临界条件，将其转化为关于数列项的不等式或方程，从而求出所需参数. 四、高考真题 1.（2026·全国一卷·第7题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩.该塔群共有 108 座塔，依山势自上而下排成 12 行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为 7，公差为 2 的等差数列.将，，…，分为 6 组，每组 2 个数，使得每组的 2 个数之和可构成一个项数为 6 且公差为的等差数列，则 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2.（2025·全国一卷·第16题）设数列满足，. （1）证明：为等差数列； （2）设，求. 3.（2024·全国一卷·第19题）设为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是-可分数列. （1）写出所有的，，使数列是-可分数列； （2）当时，证明：数列是-可分数列； （3）从中一次任取两个数和，记数列是-可分数列的概率为，证明：. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第41讲 等差数列及其前n项和 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 1 三、典题精讲 4 考点一：等差数列的判定与证明 4 考点二：等差数列的基本量运算 5 考点三：等差数列的性质 7 考点四：等差数列前n项和的性质 8 考点五：等差数列前n项和的最值 9 考点六：对于含绝对值的等差数列求和问题 11 考点七：关于等差数列奇偶项问题的讨论 11 考点八：利用等差数列的单调性求解 12 考点九：等差数列中的范围与恒成立问题 13 考点十：等差数列的实际应用 14 四、高考真题 14 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 第19题 解答题 17分 直接 等差数列的定义与性质、新定义数列的综合探究 2025 第16题 解答题 15分 直接 利用递推关系构造等差数列并证明，等差数列通项公式的求解 2026 第7题 单选题 5分 直接 等差数列的实际应用、等差数列求和及新数列的构造 近三年全国一卷对等差数列及其前项和的考查保持了较高的频次，每年均有直接考查的题目.题型涵盖单选题与解答题. 2. 命题角度与特色 （1） 考查形式灵活多变，既有结合实际情境（如塔群数量）的单选题，也有在解答题中通过递推关系构造等差数列的证明题. （2） 综合性与创新性强，常与新定义数列（如“可分数列”）、导数等知识交汇，对学生的逻辑推理能力、代数变形能力以及对数列本质的理解要求极高. 3. 备考策略 （1） 扎实掌握等差数列的通项公式、前项和公式及其基本性质，做到面对基础题型能快速、准确求解. （2） 加强对数列递推关系的变形训练，熟练掌握通过代数变形构造等差数列的常见技巧. （3） 提升阅读理解与数学建模能力，面对新定义或实际情境问题时，能迅速剥离出等差数列的数学模型并加以解决. 二、知识清单 1. 等差数列的有关概念 （1） 等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为(常数). （2） 等差中项：若三个数成等差数列，则叫做与的等差中项，且有. 2. 等差数列的有关公式 （1） 等差数列的通项公式：如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是. （2） 等差数列的前项和公式：设等差数列的公差为，其前项和. 3. 等差数列的判定方法 （1） 定义法：(常数) (). （2） 等差中项法： (). （3） 通项公式法： (为常数). （4） 前项和法： (为常数). 【易错提醒】判断数列是否为等差数列时，若使用定义法，必须证明对任意，为同一个常数，严禁仅凭前几项的差相等就下结论. 4. 等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和. （1） 通项公式的推广： (). （2） 下标和性质：在等差数列中，当时， ().特别地，若，则 (). （3） 子数列性质：仍是等差数列，公差为 (). （4） 片段和性质：也成等差数列，公差为. （5） 线性运算性质：若是等差数列，则也是等差数列. （6） 均值性质：若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的. （7） 奇偶项性质： ① 若项数为偶数，则；；. ② 若项数为奇数，则；；. ③ 若项数为奇数，则；； 5. 等差数列与函数的关系 （1） 通项公式与一次函数的关系：.当时，点是分布在直线上的一群孤立的点. （2） 前项和公式与二次函数的关系：.当时，点是分布在抛物线上的一群孤立的点，且该抛物线过坐标原点. 【防坑警示】在利用判断等差数列时，注意常数项必须为.若，则该数列从第2项起才是等差数列，第一项不符合通项规律. 6. 等差数列的前项和的最值 （1） 公差为递增等差数列，有最小值. （2） 公差为递减等差数列，有最大值. （3） 公差为常数列. （4） 求最值的两种常用方法： ① 邻项变号法：若，则满足的项数使得取得最大值（所有正项或非负项之和）；若，则满足的项数使得取得最小值（所有负项或非正项之和）. ② 二次函数法：利用，结合二次函数的对称轴求最值，注意自变量必须为正整数. 7. 其他衍生等差数列 已知等差数列，公差为，前项和为，则： （1） 等间距抽取为等差数列，公差为. （2） 等长度截取为等差数列，公差为. （3） 算术平均值为等差数列，公差为. 8. 含绝对值的等差数列求和 求时，关键在于寻找数列的变号项（即正负分界点）.先令求出临界值，判断数列各项的符号，再将绝对值和拆分为正数项之和与负数项之和，最后利用前项和公式进行分段计算. 三、典题精讲 考点一：等差数列的判定与证明 考法1：利用定义或递推关系证明等差数列 例1.已知数列满足，. （1） 证明：是等差数列，并求出的通项； （2） 证明：. 【答案】（1） 证明见解析， （2） 证明见解析 【思路】第一问根据递推公式，通过代数变形构造出目标数列的递推关系，从而证明等差数列.第二问利用第一问求出的通项公式，观察各项的结构特征，采用放缩法将乘积转化为可裂项或可消去的结构. 【解析】（1） 由，可得，∴，即，∵，即，∴是以为首项，为公差的等差数列，∴，即. （2） 令①，∵，∴②，①②得，∴，即. 【规律】通过构造法证明等差数列以及利用放缩法证明数列不等式，利用累乘法与放缩技巧处理不等式是常用的方法. 考法2：利用Sn与an的关系构造证明等差数列 例2.已知数列的前项和为，数列的前项积为，且满足. （1）求证：为等差数列； （2）记，求数列的前2024项的和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【思路】第一问已知条件中同时含有与，考虑利用与的商等于这一关系进行消元，将递推式转化为只含的关系式，再取倒数构造等差数列.第二问利用第一问求出，代入的表达式，观察其特征，采用裂项相消法求和. 【解析】（1） ∵，当 时，，解得 或 ，又 ，∴，故 ，由 ，可得 ，∴，当 时，.∴，即 ，∴，∴.∴ 是以 为首项，1 为公差的等差数列. （2） ∴，则 ，∵，故 . 【规律】数列递推关系的化简与等差数列的证明，以及裂项相消法求和，利用与的关系转化为的递推式是解题关键. 【考点一 方法总结】 1. 判断数列是否为等差数列的常用方法： （1） 定义法：证明对任意，为同一个常数. （2） 等差中项法：证明对任意，. （3） 通项公式法：证明（为常数）. （4） 前项和公式法：证明（为常数）. 2. 数列递推关系的化简与等差数列的证明中，常利用代数变形（如取倒数、同除以某项等）构造出符合等差数列定义的新数列. 3. 在处理数列不等式证明时，利用累乘法与放缩技巧（如放缩为可裂项相消的结构）是常用的方法. 考点二：等差数列的基本量运算 考法3：利用通项与前n项和公式求解基本量 例3.（2026·广东佛山·检测）设等差数列的前项和为.若，则 A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】B 【思路】已知等差数列的两个前项和的值，直接设出首项和公差，列出关于这两个基本量的二元一次方程组，解出基本量后再求目标项. 【解析】设等差数列的公差为，首项为，∵，∴，即，解得，∴. 【规律】等差数列的基本量运算，利用前项和公式列方程组求出首项和公差是解题关键. 考法4：利用等差中项及性质求解基本量与特定项 例4.（2026·山东青岛·一模）设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则 A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】A 【思路】题目给出了等差数列的前项和以及三项成等比数列的条件，将这些条件全部转化为首项和公差的方程，利用等比中项的性质列出等式，联立求解. 【解析】设等差数列的公差为，则有，即，由，，成等比数列，则，即，化简得，由，则，即有，解得，故. 【规律】等差数列的基本量运算，利用前项和公式与等比中项的性质列方程组求解即可. 考法5：等差数列基本量运算与其他知识综合 例5.（2026·河南豫东名校·二模）（多选）已知为等差数列的前项和，，，，则 A. B. C. D. 【答案】ACD 【思路】根据等差数列的已知两项求出基本量，进而写出通项公式和前项和公式，判断前两个选项.对于新数列，利用指数幂的运算法则判断其是否为等比数列，并计算相关项的乘积与前项和. 【解析】A选项，∵是等差数列，且，，∴，，∴，∴A选项正确. B选项，由A选项解析得：，，则，∴B选项错误. C选项，，∴，，则，∴C选项正确. D选项，∵，∴是以首项为，公比为4的等比数列，∴，∴D选项正确. 故选ACD. 【规律】等差数列与等比数列的综合应用，先求出等差数列的通项公式与前项和，再判断各选项即可. 【考点二 方法总结】 1. 等差数列基本运算的常见类型及解题策略： （1） 求公差或项数：在求解时，一般要运用方程思想，将已知条件转化为关于基本量和的方程组. （2） 求通项：和是等差数列的两个基本元素，求出即可写出通项. （3） 求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质（如等差中项）求解. （4） 求前项和：利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解. 2. 在求解数列基本量问题中，遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷. 考点三：等差数列的性质 考法6：利用等差数列性质求解特定项或前n项和 例6.（2026·山东菏泽·二模）已知等差数列的前项和为，，则 A. B. 45 C. 50 D. 90 【答案】B 【思路】观察已知项的下标和为10，目标是求前9项和，联想等差数列的下标和性质及前项和公式中的首尾项之和，直接进行整体代换. 【解析】由等差数列的性质可得，∴. 【规律】等差数列的性质及前项和公式，灵活运用下标和性质可简化计算. 考法7：等差数列性质与函数、方程等知识的综合应用 例7.（2025·广东深圳高中园·一模）在等差数列中，，.记，则数列 A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 【答案】B 【思路】先求出等差数列的通项公式，分析各项的正负情况.由于是累乘积，其单调性取决于乘入项的符号和绝对值大小.通过考察的正负分界点和绝对值与1的大小关系，判断的增减趋势. 【解析】由题意可知，等差数列的公差，则其通项公式为：，注意到，且由可知，由，得，∴数列在上为递减数列，∴数列不存在最小项，由于，故数列中的正项只有，故数列中存在最大项，且最大项为. 【规律】等差数列性质与累乘积的单调性分析，通过分析通项的正负和绝对值大小来判断累乘积的增减性. 【考点三 方法总结】 1. 如果等差数列中，当时，.因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与有关的条件. 2. 若求项，可由转化求解. 3. 在处理等差数列的累乘积单调性时，核心是分析通项的正负分界点以及绝对值与1的大小关系. 考点四：等差数列前n项和的性质 考法8：利用前n项和公式及二次函数特性求解 例8.（2026·江苏南京·一模）若等差数列的前项和为，且，则 A. B. C. D. 2 【答案】C 【思路】题目给出的关系式全是关于前项和的，如果用首项和公差表示会比较繁琐.考虑利用等差数列前项和的二次函数特征式代入，可以有效减少未知数的个数并简化代数变形. 【解析】利用等差数列前项和公式，代入得：，代入已知条件：，化简得：，展开并整理：，解得，即：，因此：，故. 【规律】等差数列前项和的性质，设是简化运算的有效方法. 考法9：利用两个等差数列前n项和之比求解特定项之比 例9.两个等差数列，的前项和分别为和，已知，则＿＿＿＿＿＿ 【答案】 【思路】已知两个等差数列的前项和之比，求特定项之比，直接利用等差数列的性质，将第项之比转化为前项和之比进行求解. 【解析】由题意可知，，∴. 【规律】等差数列前项和性质，利用是解决此类问题的常用技巧. 考法10：利用前n项和的片段和及奇偶项和性质求解 例10.设等差数列的前项和为，若，，则＿＿＿＿＿＿ 【答案】27 【思路】要求的是第4项到第6项的和，观察下标特征，这恰好是前6项和减去前3项和的剩余部分. 【解析】. 【规律】等差数列前项和的片段和性质，利用表示中间片段和是常用技巧. 考法11：前n项和性质的综合判断与应用 例11.（2025·江西萍乡实验学校·一模）（多选）记为等差数列的前项和，已知，的公差为，且，则 A. B. C. D. 满足的的最大值为15 【答案】AC 【思路】将已知的不等式条件转化为通项的关系，即为，可化为，由此判断出各项的符号，进而推断出公差的符号和前项和的单调性及最值情况. 【解析】由，得，即，则，又，∴，又，若，则，，不合题意，∴，则，，A正确.结合①知，，∴，则，又，∴，B错误.由，得，∴，由，∴，由，∴，∴，C正确.由，得，∴，由C知，，∴的最大值为13，D错误. 【规律】等差数列的符号特征及前项和的最值问题，利用等差中项和前项和公式将条件转化为项的符号关系是解题核心. 【考点四 方法总结】 1. 在等差数列中，仍成等差数列；也成等差数列. 2. 设是处理等差数列前项和比例问题的有效简化方法. 3. 求解两个等差数列前项和之比与特定项之比的转换时，牢记公式：. 考点五：等差数列前n项和的最值 考法12：利用通项变号判断前n项和的最值 例12.（2026·安徽皖南八校·检测）已知公差为的等差数列的前项和为，，是中的唯一最大项，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】前项和存在唯一最大项，说明数列是递减的，且正负分界点非常明确.根据最大，可以断定第6项为正，第7项为负，由此列出关于公差的不等式组. 【解析】∵是中的唯一最大项，∴且，即且，又，解得，即的取值范围为. 【规律】等差数列前项和的最值问题，利用等差数列的项的符号变化规律列不等式组即可求得公差的取值范围. 考法13：利用二次函数对称性求解前n项和的最值 例13.（2026·河南郑州·检测）已知为等差数列，记公差为，前项和为，，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿ 【答案】 【思路】与判断最值项类似，已知最值取得的位置，逆推数列项的符号特征.当且仅当时取得最大值，意味着前7项均为正数，从第8项开始为负数，由此建立不等式组求解. 【解析】因，且存在最大值，则，又仅在时取最大值，则前7项为正数，从第8项开始为负数，从而. 【规律】等差数列前项和的最值，根据最值取得的条件转化为通项的正负性不等式组是解题关键. 考法14：等差数列前n项和最值的综合探究 例14.已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是＿＿＿＿＿＿ 【答案】4 【思路】各项均为正整数，说明公差也必须是整数.要求首项的最小值，即要求公差的最大值.利用通项公式将首项表示为公差的函数，结合正整数条件进行估算. 【解析】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，则公差，故为正整数，关于单减，，则当时，故取得最小值为4. 【规律】等差数列基本量与整数性质的综合，利用整除性质确定公差的最大可能值是解题关键. 【考点五 方法总结】 1. 求等差数列前项和最值的两种常用方法： （1） 函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解. （2） 邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值；②若，则满足的项数使得取得最小值. 2. 结合整数性质时，常利用整除特性来确定公差或项数的极值. 考点六：对于含绝对值的等差数列求和问题 考法15：寻找变号项进行分段绝对值求和 例15.记为等差数列的前项和，，. （1）求数列的通项公式； （2）求的值. 【答案】（1） （2）8960 【思路】第一问常规利用基本量法列方程组求解首项和公差.第二问求绝对值之和，需要先判断通项的正负分界点，将绝对值和拆分为正数项之和与负数项之和，再利用前项和公式进行计算. 【解析】（1） 设等差数列 的首项和公差分别为 、，由题意可知 ，化简得 ，解得 ，∴ . （2） 由 （1） 知：当 时，；当 时，，∴ . 【考点六 方法总结】 1. 由正项开始的递减（或负项开始的递增）等差数列的绝对值求和的计算解题步骤如下： （1） 首先找出零值或者符号由正变负（或由负变正）的分界项. （2） 在对进行讨论，当时，；当时，利用分段求和，将绝对值之和转化为两段前项和的加减运算，如（正转负）或（负转正）. 考点七：关于等差数列奇偶项问题的讨论 考法16：等差数列奇偶项分段求和与综合讨论 例16.已知等差数列满足，. （1） 求； （2） 数列满足，为数列的前项和，求. 【答案】（1） （2） 【思路】第一问通过基本量法求出等差数列的通项.第二问的新数列是按奇偶项分段定义的，求前项和时，应将其拆分为奇数项之和与偶数项之和，分别利用等比数列和等差数列的求和公式进行计算. 【解析】（1） 设等差数列的公差为，∵，.则，解得，∴. （2） 由（1）可得，则，∴. 【规律】等差数列通项求解及奇偶项分段求和，将数列分为奇数项和偶数项分别求和再相加是解题关键. 【考点七 方法总结】 1. 对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题，要注意分类讨论.主要是将数列分为奇数项和偶数项进行分组求和. 2. 求前项和时，奇数项和偶数项各有项，分别套用对应的求和公式再相加即可. 考点八：利用等差数列的单调性求解 考法17：利用等差数列的单调性判断参数或项的范围 例17.（2026·山东烟台·检测）已知是等差数列，其公差为，前项和为，则“”是“数列是递增数列”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【思路】判断充分必要条件，需分别从正反两个方向推导.正向推导时，通过举反例（如公差大于0但前几项为较小的负数）判断充分性；反向推导时，利用递增数列的定义将条件转化为通项 () 恒成立，再通过举常数列的反例来判断必要性. 【解析】若，取等差数列，此时.但，，有，此时数列不是递增数列，故充分性不成立.若数列为递增数列，则对任意恒成立，即对任意，都有.对于等差数列，若，则当足够大时必有，与条件矛盾，故必有.当且时（例如常数列），其前项和，此时是严格递增数列，但并不满足，故必要性不成立.综上所述，“”是“数列是递增数列”的既不充分也不必要条件. 【规律】判断数列前项和的单调性，本质上是判断数列通项的符号（）.在判断等差数列公差符号的必要性时，千万不要遗漏（常数列）这一特殊情况，这是命题人常设的陷阱. 【考点八 方法总结】 1. 在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列是递增数列 任意，恒成立”. 2. 数列的单调性与连续函数 () 的单调性不完全一致.一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理.但若数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题.即“离散函数有单调性 连续函数有单调性；连续函数有单调性 离散函数有单调性”. 考点九：等差数列中的范围与恒成立问题 考法18：等差数列中的不等式恒成立与参数范围求解 例18.已知数列的前项和为，，且，.若恒成立，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿ 【答案】 【思路】首先通过递推式的变形，利用作差法证明数列是等差数列并求出通项和前项和；然后将不等式恒成立问题转化为求新数列的最大项问题，通过作差法判断新数列的单调性，从而找到最大项. 【解析】由，可得.两式相减，可得，∴数列为等差数列.∵，，∴，∴，，则.令，则.当时，，数列单调递减，而，，，∴数列中的最大项为1，故，即实数的取值范围为. 【规律】等差数列的判定及数列不等式恒成立问题，利用作差法研究新数列的单调性求出最大项是解题关键. 【考点九 方法总结】 1. 解决等差数列中不等式恒成立问题的核心是将问题转化为求数列的最值. 2. 求新数列的最值时，通常采用作差法（研究的符号）或作商法（研究与1的大小关系）来判断数列的单调性，进而锁定最大项或最小项. 考点十：等差数列的实际应用 考法19：构建等差数列模型解决实际情境问题 例19.（2025·河南H20联盟·联考）某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少为正常数万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将开始低于购进价值的，设备将报废.则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】阅读实际问题，识别出“逐年减少固定常数”即为等差数列模型.设出数列后，根据“使用年限为10年”和“超过10年报废”的条件，将其转化为第10项和第11项满足的不等式组，解不等式组即可求出参数范围. 【解析】设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列.由已知条件，得.由于是与无关的常数，∴数列是一个公差为的等差数列.∵购进设备的价值为220万元，∴，于是.根据题意，得，即，解这个不等式组，得.∴的取值范围为. 【规律】等差数列在实际折旧问题中的应用，根据题意建立等差数列模型并列出不等式组是解题关键. 【考点十 方法总结】 1. 解决实际情境问题时，关键在于将生活语言转化为数学语言.如“逐年增加（或减少）固定常数”即提示构建等差数列模型. 2. 建立模型后，要准确识别题目中的临界条件，将其转化为关于数列项的不等式或方程，从而求出所需参数. 四、高考真题 1.（2026·全国一卷·第7题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩.该塔群共有 108 座塔，依山势自上而下排成 12 行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为 7，公差为 2 的等差数列.将，，…，分为 6 组，每组 2 个数，使得每组的 2 个数之和可构成一个项数为 6 且公差为的等差数列，则 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】由已知，，，，，所以数列的前12项的和为.设新数列为，，由已知数列为等差数列，设其公差为，，又的前12项都为奇数，所有项都为偶数，由已知为正偶数，为正偶数，则，故.若，则，矛盾.若，则，矛盾.若，则，矛盾.若，则，此时可取，，，，，，满足要求. 2.（2025·全国一卷·第16题）设数列满足，. （1）证明：为等差数列； （2）设，求. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）由题意证明如下，，在数列中，，，所以，即，所以是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，，在数列中，首项为3，公差为1，所以，即.在中，，.所以，当且时，所以，所以.所以. 3.（2024·全国一卷·第19题）设为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是-可分数列. （1）写出所有的，，使数列是-可分数列； （2）当时，证明：数列是-可分数列； （3）从中一次任取两个数和，记数列是-可分数列的概率为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】（1）首先，我们设数列的公差为，则.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形，得到新数列，然后对进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的就是. （2）由于从数列中取出2和13后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列：①，共3组；②，共组.（如果，则忽略②）故数列是-可分数列. （3）定义集合，.下面证明，对，如果下面两个命题同时成立，则数列一定是-可分数列：命题1：或；命题2：.我们分两种情况证明这个结论. 第一种情况：如果，且.此时设，，.则由可知，即，故.此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列：①，共组；②，共组；③，共组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列是-可分数列. 第二种情况：如果，且.此时设，，.则由可知，即，故.由于，故，从而，这就意味着.此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列：①，共组；②，，共2组；③全体，其中，共组；④，共组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：，，，.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是-可分数列. 至此，我们证明了：对，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是-可分数列.然后我们来考虑这样的的个数.首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的总共有个；而如果，假设，则可设，，代入得.但这导致，矛盾，所以.设，，，则，即.所以可能的恰好就是，对应的分别是，总共个.所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有个.这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为.当我们从中一次任取两个数和时，总的选取方式的个数等于.而根据之前的结论，使得数列是-可分数列的至少有个.所以数列是-可分数列的概率一定满足.这就证明了结论. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $