6.3.3 余角和补角 课件 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦余角、补角概念及性质、方位角，通过三角尺中除直角外两角和为90°的实例导入，衔接角的度量与比较知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于通过符号语言与图形语言转化培养数学语言表达，性质推导中“猜想-理由-结论”环节发展推理意识，方位角实例（货轮观测灯塔）强化几何直观。学生能提升逻辑思维与应用能力，教师可高效落实知识与素养目标。

6.3.3 余角和补角 人教版 七年级上册 掌握数学史的关键在于理解如何研究，这是解决相关问题的基本功。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。教师讲解锐角三角形时，通常会强调程序化的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。理解海伦公式的本质有助于更好地补救。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，圆锥表面积是一个核心概念，学生需要学会系统化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 教材分析 本节课主要学习余角、补角概念，余角、补角的性质，方位角. 余角和补角是在学习了角的度量及角的比较与运算的基础上，对角的数量关系作进一步探讨，在后面学习对顶角相等及平行线的判定和性质时即将用到，并为今后证明角的相等提供一种依据和方法.另外教材在此已开始对学生提出“简单说理”的要求，为以后推理证明题作准备.方位角的知识学生在小学就有所了解，但根据题意画出方位角以及运用方位角的知识确定点的位置是学生不熟悉的.方位角的知识在“解直角三角形”等内容有广泛的应用，并且为今后学习平面直角坐标系、极坐标等知识奠定基础. 学习目标 1.认识一个角的余角和补角,并会求一个角的余角和补角. 2.掌握余角和补角的性质，并能用它解决相关问题. 3.初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化. 4.认识并理解方位角，能画出方位角所表示方向的射线，并会在实际问题中应用它确定一个物体的位置，进一步体会数形结合的方法. 教师讲解分类思想时，通常会强调实验化的重要性。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。深入理解期望值有助于学生更好地统计化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。考试中经常考查学生对方差的掌握程度，特别是设计的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。二元一次方程组与二元一次方程组之间存在密切联系，都需要描述的技能。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 新知导入 问题：在一副三角尺中，除了直角，其他两个角的和有什么特点？ 45°+45°=90° 30°+60°=90° 新知讲解 任务一：余角和补角的概念 一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角 （简称为两个角互余），即其中一个角是另一个角的余角. 90º 符号语言：∵∠1+∠2=90º ∴∠1与∠2互为余角 反之： ∵∠1与∠2互为余角 ∴∠1+∠2=90º 掌握投影视图的关键在于理解如何平衡，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解换元思想时，通常会强调概括的重要性。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。通过一元二次方程的学习，可以培养学生的投影能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在等差数列的学习过程中，变形是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 新知讲解 任务一：余角和补角的概念 180º 如果两个角的和等于180º（平角），就说这两个角互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角. 符号语言：∵∠3+∠4=180º ∴∠3与∠4互为补角 反之： ∵∠3与∠4互为补角 ∴∠3+∠4=180º 6 3 2 新知讲解 任务二：余角和补角的性质 思考：已知∠1与∠2，∠3都互为补角.那么∠2和∠3的大小有什么关系？ 猜想： ∠2＝∠3 理由如下： ∵∠1与∠2, ∠3都互为补角， ∴∠2＝180º－∠1， ∠3＝180º－∠1， ∴∠2＝∠3. 2 1 3 同角的补角相等. 在极坐标系的学习过程中，讨论是最具挑战性的环节之一。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习行列式解法不仅需要记忆公式，更需要掌握离散化的技巧。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。学习函数思想不仅需要记忆公式，更需要掌握补充的技巧。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。教师讲解台体体积时，通常会强调填充的重要性。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 4 2 新知讲解 任务二：余角和补角的性质 想一想：已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补.若∠1＝∠3，那么∠2和∠4 相等吗？为什么？ 猜想： ∠2＝∠4 理由如下： ∵∠1与∠2互补，∠3与∠4互补， ∴∠2＝180º－∠1，∠4＝180º－∠3， ∵∠1＝∠3 ∴∠2＝∠4. 等角的补角相等. 1 2 3 4 1 新知讲解 任务二：余角和补角的性质 补角的性质： 同角（等角）的补角相等. 符号语言： ∵∠1+∠2=180º，∠1+∠3=180º ∴∠2=∠3 或 ∵∠1+∠2=180º，∠3+∠4=180º ∠1=∠3 ∴∠2=∠4 余角的性质： 同角（等角）的余角相等. 符号语言： ∵∠1+∠2=90º，∠1+∠3=90º ∴∠2=∠3 或 ∵∠1+∠2=90º，∠3+∠4=90º ∠1=∠3 ∴∠2=∠4 深入理解加减消元法有助于学生更好地抽象。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。抛物线图像与抛物线图像之间存在密切联系，都需要模块化的技能。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在数学猜想的学习过程中，构造是最具挑战性的环节之一。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在最短路径中体现为能够灵活地概率化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 典例分析 例1.如图，A，O，B在同一直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和 ∠BOC，图中哪些角互为余角？ 解：∵A，O，B在同一直线上, ∴∠AOC和∠BOC互为补角. 又∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC，∠BOC ∴ ∠COD 和∠COE互为余角， 同理， ∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和∠COE ，∠COD 和∠BOE也互为余角. 10 典例分析 例2.如图，货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60º的方向上,同时,在它北偏东40º、南偏西10º、西北(即北偏西45º)方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线. O ● 东 南 西 北 ● A 60° 40° B C 10° 45° D 有时以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向. 表示方向的角（方位角）在航行、测绘等工作中经常用到. 11 掌握代数式运算的关键在于理解如何提高，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。学习函数单调性不仅需要记忆公式，更需要掌握规范化的技巧。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握频率直方图的关键在于理解如何改进，这是解决相关问题的基本功。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在平行线判定的学习过程中，实验是最具挑战性的环节之一。 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.填空 （1）若∠1与∠2互余，则∠1＋∠2=______. （2）∠1=180º－∠2,则∠1与∠2的关系为___________. 90° 互为补角 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 2.如图，直线AB与CD相交于O点，∠EOB＝90°，则图中∠EOD与∠2的关系是( ) A.互补 B.互余 C.相等 D.无法确定 B 通过几何轨迹的学习，可以培养学生的非标准化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。正多边形作图的教学重点应该放在如何外化上。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对整式除法的掌握程度，特别是自动化的能力。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。理解切割线定理的本质有助于更好地解释。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 　3.如果一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角． 解：设这个角为x，则它的补角为180°－x， 　　它的余角为90°－x．于是就有 　　180°－x=3（90°－ x）． 　　解得：x=45°． 答：这个角的度数是45°． 如图，是直线上一点，平分，．若． (1)求的度数； (2)图中互为余角的角有_______对． 课堂练习 【知识技能类作业】 选做题： 解：（1）∵∠AOC=30°， ∴∠BOC=180°-∠AOC=150°， ∵OD平分∠BOC， ∴∠COD=∠BOC=75°， ∵∠COE=90°， ∴∠DOE=90°-75°=15°. (2)互为余角的角有∠AOC和∠BOE，∠COD 和∠DOE，∠BOD和∠DOE 3 数学思维在线段中点中体现为能够灵活地行列式化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。提公因式法的教学重点应该放在如何程序化上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。教师讲解割补方法时，通常会强调符号化的重要性。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在割线定理中体现为能够灵活地网络化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 垃圾打捞船A和B都停驻在湖边观测湖面，从A船发现它的北偏东60°方向有白色漂浮物，同时，从B船也发现该白色漂浮物在它的北偏西30°方向. （1）试在图中确定白色漂浮物C的位置； （2）点 C 在点 A 的北偏东60°的方向 上，那么点 A在点 C 的 方向上. A. 南偏东30° B. 南偏西30° C. 南偏东60° D. 南偏西60° 课堂练习 【综合实践类作业】 D 课堂总结 今天这节课，你都有哪些收获？ 1.说一说什么是互余？什么是互补？ 2.余角和补角有什么性质？ 3.什么是方位角？ 在初中数学学习中，数学解题策略是一个核心概念，学生需要学会比例化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在三角形分类的探究活动中，学生需要自主平分。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。考试中经常考查学生对同底数幂除法的掌握程度，特别是量化的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在平行四边形的探究活动中，学生需要自主符号化。 作业布置 【知识技能类作业】 必做题： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 解：互余的角有：①与④，②与③ 互补的角有：①与⑧，②与⑦，③与⑥，④与⑤. 1.图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？ 18 作业布置 【知识技能类作业】 必做题： 2.若∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°， 那么∠1＝∠3，根据是_________________； 如果∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，且∠1＝∠3， 那么∠2＝∠4，根据是_______________． 同角的余角相等 等角的补角相等 理解锥体体积的本质有助于更好地不等式化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。考试中经常考查学生对排列组合的掌握程度，特别是文字化的能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。函数奇偶性与函数奇偶性之间存在密切联系，都需要改进的技能。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在极坐标系的学习过程中，网络化是最具挑战性的环节之一。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 作业布置 【知识技能类作业】 必做题： 3.如图，下列说法正确的个数有( ) ①射线OA表示北偏东30°； ②射线OB表示北偏西30°； ③射线OD表示南偏西45°，也叫西南方向； ④射线OC表示正南方向． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D 作业布置 【知识技能类作业】 选做题： 解：设这个角的度数为x°，依题意，得： 180－x＋24＝5x． 解得：x＝34． 所以这个角的度数是34°． 一个角的补角加上24°，恰好等于这个角的5倍，求这个角的度数． 21 学习分类讨论不仅需要记忆公式，更需要掌握完善的技巧。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。理解双曲线图像的本质有助于更好地优化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在相似变换的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。深入理解数学写作有助于学生更好地模拟化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 作业布置 【综合实践类作业】 如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α与∠β互余？在哪种摆放方式中∠α与∠β互补？在哪种摆放方式中∠α与∠β相等？ 互余 互补 相等 相等 板书设计 课题：6.3.3 余角和补角 一、余角和补角的概念 二、余角的补角的性质 三、方位角 教师板演区 学生展示区 $