1.2.2 空间中的平面与空间向量 课时同步练习卷-2026年暑假预习高二数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习聚焦空间平面与空间向量，通过基础计算、情境应用到综合探究的三层梯度设计，构建从概念理解到逻辑推理的知识巩固路径，适配高二暑假同步复习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|法向量基本计算、坐标表示|单选1-2题直接考查法向量求解，填空题12题强化线面垂直性质，落实空间观念| |中档|几何体中向量应用、类比推理|单选3-8题结合正方体等情境，多选9-11题综合位置关系判断，体现推理能力| |综合|空间几何证明与探究|解答题17-19题涉及面面垂直证明、动点轨迹探究，通过模型构建发展创新意识|

1.2.2 空间中的平面与空间向量课时同步练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东广州·期末）已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程：，化简得．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·云南昆明·期末）在平行六面体中，所有棱长都为2，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·广东广州·期中）直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 7．（25-26高二下·重庆·期中）四棱锥的底面为正方形，且平面，若，为的中点，，平面，且，则（     ） A． B． C． D． 8．（2026·山东枣庄·三模）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是正方形内的动点（包含边界），且平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·江西九江·一模）如图，正方体中，点分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 10．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知，，，下列说法正确的是（   ） A． B．与平行的一个单位向量是 C． D．平面的一个法向量是 11．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方体的棱长为2，为中点，与交于，与交于，则下面结论正确的是（   ） A．平面 B． C．平面 D．三棱锥外接球表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 13．（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在正三棱柱中，D为棱上的点，E，F分别为，的中点，.若平面BCD，则AD的长为___________. 14．（25-26高二上·北京·期中）如图，直三棱柱中，为棱的中点，Q为线段上的动点，给出下列四个结论： ①对任意点，都有 ②存在点，使 ③不存在点，使 ④存在点，使平面 其中所有错误结论的序号是__________. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 16．（25-26高二下·江苏常州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面，其中，，点在棱上，，点为中点． (1)求的模长； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求平面的法向量． 17．（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 18．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 19．（2026·陕西·模拟预测）如图，四棱锥中，，底面是边长为6的正方形. (1)证明：平面； (2)若是的中点，是的中点，点满足，平面与棱交于点，求的长度. 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.2 空间中的平面与空间向量课时同步练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出点和向量的坐标，然后建立方程组求解法向量的坐标. 【详解】由题意，,. 设平面的法向量为. 则，令，则. 平面的一个法向量 2．（25-26高二上·广东广州·期末）已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出点坐标，然后方程组求出平面的一个法向量. 【详解】建立坐标系并确定点坐标，如图 以为原点，为单位正交基底，正方体棱长为1，则各点坐标为：，，， ， 设平面的法向量为，则 且， 即 化简得，， 令，则，，即法向量为. 故选：A. 3．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程：，化简得．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意可得出所求平面的点法式方程，化简即可. 【详解】由题意可知经过点的平面的一个法向量为， 该平面的方程为，即. 4．（25-26高二上·云南昆明·期末）在平行六面体中，所有棱长都为2，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用题设条件和法向量定义计算求出即可得解. 【详解】由题可得， ， 且 设平面的一个法向量，则， 所以， 所以， 所以，取，则. 故选：A 5．（25-26高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，应用空间向量的数量积计算判断各个选项． 【详解】在堑堵中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，因，， 则得. 对于A，因，由可得不成立，故A错误； 对于B, 因，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C正确； 对于D，因，由，可得不成立，故D错误. 6．（25-26高二下·广东广州·期中）直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】 因为三棱柱为直三棱柱，所以可以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 为中点，故， 在上，且，向量， ， 因此的坐标为：， 在上，设，则：. 接着求平面的法向量，设法向量为， ，，， 令，则，. 因为平面，所以， 化简得：， 所以. 7．（25-26高二下·重庆·期中）四棱锥的底面为正方形，且平面，若，为的中点，，平面，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接建立空间直角坐标系，再由共面，进而可得共面，由平面向量基本定理可得. 【详解】因为底面，底面为正方形，设，以为原点，分别为轴， 得各点坐标： ，是中点，得. 由，所以，，. 设，由，所以，， 所以. 因为平面，所以共面，因此共面，且不共线， 由平面向量基本定理，设，则， 所以，解得. 8．（2026·山东枣庄·三模）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是正方形内的动点（包含边界），且平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面平行，可知直线的方向向量与平面的法向量垂直，确定动点坐标之间的联系，从而找到过点且与平面平行的平面，与平面的交线即为动点的轨迹，最后计算轨迹线段长度即可. 【详解】解：由正方体，可建立以为原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系， 则，，，，所以，， 设平面的法向量，则，所以， 则，取，则，，所以. 由是正方形内的动点（包含边界），可设，其中，，则， 因为平面，所以，则，即，整理得， 当时，，此时，为中点； 当时，，此时，为中点， 连接，不难发现，，且，， 易证，平面平面，所以点的轨迹为线段， 因此，轨迹长. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·江西九江·一模）如图，正方体中，点分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 对于A，，显然与没有倍数关系， 故不平行，即与不平行，故A错误； 对于B，平面的一个法向量为， ，故，又平面，故平面，故B正确； 对于C，因，， 则，所以，故C正确； 对于D，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 因，则与平行，故平面，故D正确. 故选：BCD 10．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知，，，下列说法正确的是（   ） A． B．与平行的一个单位向量是 C． D．平面的一个法向量是 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的线性运算、模、数量积的坐标表示求解判断ABC；根据法向量的求法求解判断D. 【详解】对于A，，，则， 所以，故A正确； 对于B，由于， 则与平行的单位向量是，故B正确； 对于C，因为， 所以， 则与不垂直，故C错误； 对于D，设平面的一个法向量是， 则，得， 令，得平面的一个法向量是，故D正确. 故选：ABD 11．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方体的棱长为2，为中点，与交于，与交于，则下面结论正确的是（   ） A．平面 B． C．平面 D．三棱锥外接球表面积为 【答案】BCD 【详解】如图1，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、 、、、. 设，则，，，， 因为、、三点共线，则存在实数使得，， 即，，解得，即. 因为、、三点共线，则存在实数使得，， 则，即. 故有，解得，即得. 同理可得，. 选项A：，平面的一个法向量为. 得，所以，直线与平面不平行.故A错误. 选项B：因为，， 则，得，即.故B正确. 选项C：因为，， 设平面的一个法向量为. 则，故可取. ，所以，与共线， 则直线与平面垂直，故C正确. 选项D：如图2，对于三棱锥， 、、、. 底面在平面上， 是直角三角形且，其外接圆的圆心为斜边的中点， 设三棱锥的外接球的半径为，球心为， 则，即，解得， 半径,所以，外接球的表面积为.故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 【答案】1 【分析】由直线平面得到，则存在实数使得，计算得解. 【详解】因为直线平面，所以，又， 所以存在实数使得， 即，所以， 解得，所以． 故答案为：. 13．（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在正三棱柱中，D为棱上的点，E，F分别为，的中点，.若平面BCD，则AD的长为___________. 【答案】2 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量位置关系的向量关系列方程求解. 【详解】在正三棱柱中，在平面内过点作，由平面， 得直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ，设平面BCD的法向量， 则，令，得， 由平面BCD，得，则，解得， 所以AD的长为2. 故答案为： 14．（25-26高二上·北京·期中）如图，直三棱柱中，为棱的中点，Q为线段上的动点，给出下列四个结论： ①对任意点，都有 ②存在点，使 ③不存在点，使 ④存在点，使平面 其中所有错误结论的序号是__________. 【答案】②③④ 【分析】设，，建系标点，设，可得.利用空间向量判断线、面关系，结合空间向量的坐标运算逐项分析判断. 【详解】由题意可知：平面，， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，， 则， 可得， 设，则， 对于①：因为， 则，可得， 所以对任意点，都有，故①正确； 对于②：因为， 令，则，方程组无解， 即不共线，所以不存在点，使，故②错误； 对于③：因为， 令，解得， 当且仅当点与点重合时，， 所以存在点，使，故③错误； 对于④：因为， 设平面的法向量为，则， 设，则，可得， 令，解得（舍去）， 所以不存在点，使平面，故④错误； 故答案为：②③④. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 16．（25-26高二下·江苏常州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面，其中，，点在棱上，，点为中点． (1)求的模长； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求平面的法向量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量模的坐标表示求解. （2）利用线线角的向量求法求解. （3）利用平面法向量的意义，结合向量垂直的坐标表示列式求解. 【详解】（1）在四棱锥中，平面，，则直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设点坐标，则， 由，得，解得，即， 所以. （2）由（1）知，则， 设直线与直线所成角为，则， 所以直线与所成角的余弦值为. （3）由（1）可知，由（2）可知 设平面的法向量，则，取，则有， 所以平面的法向量． 17．（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在. 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行； （2），当垂直与平面的法向量时平面，求的值即可. 【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为，所以平面平面. （2）设线段上存在点使得平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得， 即为线段中点时，平面. 18．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）空间向量法求解，求出，得到，从而得到结论； （2）方法一：求出平面DEB的一个法向量，求出，从而得到证明；方法二：求出，利用向量垂直的公式及线面垂直的判定定理得解. 【详解】（1）如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以. （2）方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得：， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 19．（2026·陕西·模拟预测）如图，四棱锥中，，底面是边长为6的正方形. (1)证明：平面； (2)若是的中点，是的中点，点满足，平面与棱交于点，求的长度. 【答案】(1)证明：因为底面为边长为的正方形，可得， 又因为，则满足，所以， 设与交于点，则点为的中点，因为，所以， 因为底面为正方形，可得， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面. (2) 【分析】（1）由，得到，设与交于点，证得和，进而证得平面，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，求得平面的法向量为，根据点在平面内，得到，列出方程，求得的值，进而得到的值. 【详解】（1）略 （2）由（1）知：平面，且， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 因为分别为的中点，可得， 又因为，即，且， 所以，可得， 设，可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为点在平面内，则，可得， 解得，所以. 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $