1.2.2 空间中的平面与空间向量（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量与立体几何核心内容，系统梳理平面法向量的定义及性质，构建直线与平面、平面与平面平行垂直的向量判定方法，结合三垂线定理深化空间垂直关系理解，形成从概念到应用的完整知识支架。 资料通过随学随练即时巩固法向量性质，题型分类（如法向量求法、位置关系证明）培养逻辑推理能力，分层练习（基础到创新）兼顾不同水平，助力学生用数学语言表达空间关系，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，提升空间观念与创新意识。

第一章 空间向量与立体几何 1.2.2　空间中的平面与空间向量 课标要点 1.能用向量语言描述平面，理解平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与平面的垂直与平行关系． 学习重难点 重点： 1.平面法向量的概念.2.用向量方法解决直线与平面平行、垂直的证明问题． 难点： 用向量方法解决直线与平面平行、垂直的问题． 知识点 平面的法向量 (1)定义 如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量．此时，也称n与平面α垂直，记作n⊥α． (2)性质 ①如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量； ②如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行； ③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定． 随学随练特别提醒 若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行吗？ 提示：不一定，这两条直线有可能重合． 1．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】通过分析不同位置情况下的向量的乘积，即可得出结论. 【详解】由题意， 选项A，若，共线，，A错误； 选项B，若，垂直，则，B正确； 选项C，若，共线，，C错误； 选项D，若，共线，，D错误. 2．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则__________． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系，列方程求解． 【详解】由题得，，解得． 知识点直线与平面平行、垂直的判定 已知v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则 n∥v⇔l⊥α； n⊥v⇔l∥α，或l⊂α． 随学随练 1．（25-26高二下·甘肃平凉·期中）（多选）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 【答案】ACD 【分析】根据空间向量减法的坐标运算及空间向量垂直的坐标表示、法向量的概念即可求解. 【详解】由题意，因为，，， 所以，故选项A错误； 因为，所以AP⊥AD，故选项B正确； 因为，所以AP与AB不垂直，故选项C错误； 若是平面ABCD的一个法向量，则平面ABCD，因为AB平面ABCD，所以 ,矛盾，所以不是平面ABCD的一个法向量，故选项D错误. 2．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．在面内或平行 【答案】D 【详解】设直线所在方向向量，平面的一个法向量为， ，所以 ，由此可得直线在平面内或与平面平行. 知识点 平面与平面平行、垂直的判定 已知n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量， 则n1⊥n2⇔α1⊥α2； n1∥n2⇔α1∥α2，或α1与α2重合． 随学随练 1．（25-26高二下·江苏徐州·期中）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平面的一个法向量为，平面平面， 设平面的法向量为， 平面的法向量， 选项A，，与不平行，故选项A错误； 选项B，，与不平行，故选项B错误； 选项C，，与平行，故选项C正确； 选项D，，与不平行，故选项D错误. 2．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）若平面的一个法向量为，平面内的一个向量为，且，则的值是（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【详解】由，为平面的法向量，为平面内的一个向量，得， 则，所以. 知识点 三垂线定理及其逆定理 (1)射影 ①已知空间中的平面α以及点A，过A作α的垂线l，设l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的射影(也称为投影)． ②空间中，图形F上所有点在平面α内的射影所组成的集合F′，称为图形F在平面α内的射影． (2)三垂线定理及其逆定理 ①三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直． ②三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 随学随练特别提醒 (1)从条件上看，三垂线定理的条件是平面内的直线和斜线的射影垂直，其逆定理的条件是平面内的直线和斜线垂直． (2)从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面垂直，证明异面垂直的问题，而逆定理正好相反． (3)不论定理还是逆定理，已知直线必须是平面内的一条直线． 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点．求证：EO⊥平面A1DB. [证明]　证法一：如图，取F，G分别为DD1，AD的中点，连接EF，FG，GO. 由正方体的性质知FG为EO在平面ADD1A1内的射影，CO为EO在平面ABCD上的射影． 又A1D⊥FG，∴A1D⊥EO(三垂线定理)． 又AC⊥BD，∴EO⊥BD(三垂线定理)． 又A1D∩BD＝D，A1D，BD⊂平面A1DB， ∴EO⊥平面A1DB. 证法二：如图，连接A1O，A1E，A1C1，设正方体的棱长为2，由证法一知BD⊥EO， 又EO2＝()2＋12＝3，A1O2＝22＋()2＝6，A1E2＝(2)2＋12＝9. ∴A1E2＝EO2＋A1O2. ∴A1O⊥EO，又A1O⊂平面A1DB，BD⊂平面A1DB，且A1O∩BD＝O，∴EO⊥平面A1DB. 题型  平面法向量的概念及辨析 ▌例1 （24-25高二上·天津·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是 【答案】C 【分析】A选项，求出，设，无解，A错误；B选项，利用进行求解；C选项，计算出，得到垂直关系，进而得到C正确；D选项，求出，利用夹角余弦公式得到D错误. 【详解】A选项，，设， 则，无解，故与不是共线向量，A错误； B选项，的单位向量为，B错误； C选项，由于， ， 与均垂直，又由A知，与不共线， 故平面ABC的一个法向量是，C正确； D选项，， 设与夹角为，则，D错误. 故选：C ▌对点练1-1．（（24-25高二下·上海宝山·期中）设直线的方向向量为，平面的法向量为，则是的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】B 【分析】根据线面平行时直线的方向向量和法向量的位置关系判断. 【详解】当时，直线或直线在平面上，故充分性不成立， 当时，则必有，必要性成立， 故是的必要不充分条件. 故选：B. 题型求平面的法向量 ▌例1（25-26高二上·山东临沂·期中）已知，则平面的一个法向量的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设平面的法向量，利用，求得向量的坐标，进而判断选项所给向量是否与共线，即可得答案. 【详解】设平面的法向量，则， 因为，所以， 令，则，所以平面的一个法向量为． 所以平面的一个法向量的坐标为， 又，故坐标为的向量不与共线，故A错误； 又，故坐标为的向量与共线，故B正确； 又，故坐标为的向量不与共线，故C错误； 又，故坐标为的向量不与共线，故D错误. 故选：B． ▌对点练1-1（在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出和，然后求出平面的法向量，再逐个分析各个向量是否与法向量共线即可. 【详解】因为， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 对于A，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以A错误， 对于B，因为，所以此向量与共线，所以此向量是平面的法向量，所以B正确， 对于C，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以C错误， 对于D，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以D错误. 故选：B 题型 空间位置关系的向量证明 ▌例1（25-26高二下·四川成都·期中）已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则实数的值为（   ） A． B．2 C．2或 D．或1 【答案】C 【分析】通过向量垂直的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】因为直线平面， 则， 即， 解得或. ▌对点练1-1（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 【答案】C 【详解】因为，所以， 则，解得. 基础通关 1．（25-26高二下·江苏淮安·期中）异面直线，所成的角为，，，，，垂直于，垂直于，且，，．则可能为（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用空间向量，再利用向量数量积求解长度. 【详解】因为 又垂直于，垂直于，，，，，异面直线，所成的角为 所以，或 ， 所以， 当时，； 当时，； 综上，或4，由于选项中只有，只能选择选项C. 2．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，结合空间向量垂直的坐标关系求解即可. 【详解】因为，直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以，所以，即，解得 3．（25-26高二下·甘肃武威·阶段检测）直线a，b的方向向量为，平面，的法向量分别为，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】选项A，若，则共线，所以，A错误； 选项B，若，则垂直，则，B正确； 选项C，若，则共线，，C错误； 选项D，若，则共线，，D错误． 4．（25-26高二下·湖南·期中）设是直线的方向向量，是平面的法向量，则“与相交”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】 若与相交，说明既不平行于，也不在内，因此不垂直于，可得，充分性成立. 若，说明不垂直于，因此既不平行于，也不在内，故一定与相交，必要性成立. 因此“与相交”是“”的充要条件. 5．（25-26高二上·湖南永州·期末）在直三棱柱中，，，，是侧棱的中点，则下列直线中与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为0的性质逐项求解即可. 【详解】根据题意，，由平面，得，， 以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 则, . 对于A，由 ,得，故不垂直； 对于B，由，得，故垂直； 对于C，由，得,故不垂直； 对于D，由，得，故不垂直， 故选：B. 6．（25-26高二上·上海·期中）已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】由线面、面面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A：且相交，可得，故A错； 对于B：若，则或相交或在内，故B错； 对于C：设的方向向量为，的法向量分别为， 由可得：， 即， 所以， 所以，故C正确， 对于D，若，则，或在内，故D错； 故选：C 7．（25-26高二上·上海·期中）已知正方体的棱长为1，点满足，其中，，，则下列说法错误的个数是（   ） ①当，，时，平面； ②当，时，异面直线与所成的角为； ③当，时，； ④当时，线段的长度最小值为； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，根据条件确定点的位置，利用空间向量判断空间线面的位置关系，求异面直线所成的角，和点到平面的距离，判断各命题的准确性. 【详解】由题意，可以为原点，建立如图空间直角坐标系. 对①：当，，时，点在平面上，所以平面就是平面， 因为，平面，平面，所以平面. 即平面，故①正确； 对②：当，时，点在线段上. 因为，， 所以，所以， 即异面直线与所成的角不是，故②错误； 对③：当，时，点位于线段上. 此时，，其中， 此时，所以，故③正确； 对④：当时，点位于平面上，则线段的长度最小值为点到平面的距离，设为. 由.即线段的长度最小值为.故④正确. 故选：D 8．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据面面平行则法向量共线计算可判断A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量共线计算可判断B；根据直线的方向向量与平面法向量垂直则直线与平面平行或直线在平面内可判断C；根据法向量垂直则面面垂直可判断D. 【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误； 对于B，由，得，则，解得，故B错误； 对于C，由，得，则或，故C错误； 对于D，由，得，则，故D正确. 故选：D. 9．（2024·上海·高考真题）空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】根据题意，由空间中线面关系逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，若，，则或， 当时，，则或者与斜交或者， 当时，，则或者与斜交或者，故A错误； 对于B，若，，，可在取作为的法向量， 由于，故，即，则，故B正确； 对于C，若，，，则可能平行可能相交，也可能异面，故C错误； 对于D，若，，，则或，故D错误； 故选：B 10．（25-26高二下·江苏盐城·期中）在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若平面，则的最小值是_______. 【答案】 【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设点，其中，由平面，利用空间向量法可得出，利用空间向量的模长公式结合二次函数的性质可求得线段的最小值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设点，其中， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ， 因为平面，则，即， 所以， 因为，则当时，取最小值， 即的最小值为. 11．（25-26高二下·福建厦门·期中）直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则t=________. 【答案】1 【详解】依题意，向量与向量垂直， 因此，所以. 12．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的取值范围为__________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，根据已知条件求出的坐标，根据平面得出，根据空间向量求模公式代入求最值. 【详解】以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， ，，，， 设，， 由，，得， 由，，， ， ，，， 所以平面， 平面，所以， ，， ，即， ， ， ，， . 13．（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)求证： (2)当的值为多少时，平面？请给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律证明即可； （2）首先利用线面垂直的性质定理证明，若 平面 ，只需满足 ，然后利用空间向量数量积的运算律即可证明. 【详解】（1）设，，， 因为底面 是菱形， 所以，且， . 由题知 ，且 ，因此 ， 即，故. （2）当时， 平面 ，证明如下： 设 ，，则 ，， ， ， 因为底面是菱形，所以， 又因为，平面，，所以平面， 因为平面，所以 . 若 平面 ，需满足 ， ，，令 ，即 ， 展开整理： ，代入 ，得 ： ， 由于 ，，因此 ，即 . 此时 且 ，，平面 ， 故 平面 . 14．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图所示，在正方体中，分别是棱的中点. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：根据线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质求解即可. 方法二：建立空间直角坐标系，根据向量法求解即可. （2）方法一：根据异面直线所成角的概念以及余弦定理求解即可. 方法二：根据向量法，计算异面直线所成角的余弦值. 【详解】（1）方法一：在正方体中，因为平面， 又平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，且平面， 所以平面，又因为平面， 所以. 方法二：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 设正方体棱长为2，则， ，所以 ， 所以，即. （2）方法一：取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 而，所以， 所以直线与直线的夹角就是直线与所成的角， 设正方体棱长为，设异面直线与所成的角为， 计算得， 所以由余弦定理得 所以异面直线与所成角的余弦值为. 方法二： 因为分别是棱的中点，所以，所以， 设异面直线与所成的角为， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 素养提升 15．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线，则实数t的值为______． 【答案】1 【分析】借助空间向量性质计算即可得. 【详解】由题意可得直线l的方向向量与平面的法向量平行，即有，解得. 16．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则________． 【答案】 【分析】根据线面平行的性质，结合直线方向向量和平面法向量的性质、空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 17．（24-25高二上·湖南长沙·期末）在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为_____. 【答案】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解. 【详解】 根据已知条件，建立如图所示： 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， ，， ， ， 设平面的一个法向量， ，，则， 令，有，，所以， 平面，则，即， 解得. 故答案为： 18．（25-26高二下·江苏南京·期中）在正方体中，点，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，已知此截面是一个多边形，则（    ） A．为梯形 B．为五边形 C．平面 D．平面 【答案】BD 【分析】以为原点建立边长为的空间直角坐标系确定各已知点坐标，确定截面形状后判断AB，通过空间向量的垂直关系判断C，通过 可判断D. 【详解】 如上图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为，则各点坐标为: 选项A：延长交于点，交于， 连接交于，连接交于， 则共面， 由上图可知，截面是一个五边形，而非梯形，选项A错误，B正确； 选项C：若平面，则与平面中的每一条直线都是垂直的， ，， 此时，则与平面并不垂直，选项C错误； 选项D：由三角形中位线定理可知，平行于，且， 又因为平面，而平面，所以平面，选项D正确. 迁移创新 19．（25-26高二下·福建漳州·期中）给出下列命题，其中正确的有（ ） A．两个不同的平面的法向量分别是，则 B．若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线 C．若空间向量，，则与的夹角为钝角 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则或 【答案】ABD 【详解】对于A，，，得，故A正确； 对于B，由基底的性质知，空间基底是由非零且不共面的三个向量构成，且任意两个向量不共线，故B正确； 对于C，由，，得， ，即与的夹角为锐角，故C错误； 对于D：，，即或，故D正确. 20．（25-26高二上·浙江杭州·期中）如图所示，在长方体中，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】建系，确定各个向量坐标，结合向量模长公式，相等向量和相反向量、向量坐标运算逐个判断即可. 【详解】 以为原点，分别以为轴建系，如图： 则， 对于A： ，模长，A正确. 对于B： ，是相等向量，B正确. 对于C： ， 而 ，C错误. 对于D： ，，因此， D正确. 21．（25-26高二上·浙江杭州·期中）给出下列命题，其中是真命题的是（   ） A．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底． B．若3个空间向量满足且，则 C．若空间向量满足，则是钝角． D．若空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面． 【答案】AD 【分析】根据空间中基底的性质，分析可判断A的正误；根据空间中向量的位置关系，分析可判断B的正误；根据数量积公式，分析可判断C的正误；根据四点共面的性质，分析可判断D的正误. 【详解】选项A：假设共面，则存在实数，使得， 整理得， 因为是空间的一个基底，所以不共面， 则，不成立，故假设错误，即不共面， 所以也是空间的一个基底，故A正确； 选项B：因为为空间向量，且满足，， 所以与可能平行，也可能相交，无法确定，故B错误； 选项C：若夹角为，，满足，但不是钝角，故C错误； 选项D：因为，且， 所以P，A，B，C四点共面，故D正确. 22．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）空间向量法求解，求出，得到，从而得到结论； （2）方法一：求出平面DEB的一个法向量，求出，从而得到证明；方法二：求出，利用向量垂直的公式及线面垂直的判定定理得解. 【详解】（1）如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以. （2）方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得：， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何 1.2.2　空间中的平面与空间向量 课标要点 1.能用向量语言描述平面，理解平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与平面的垂直与平行关系． 学习重难点 重点： 1.平面法向量的概念.2.用向量方法解决直线与平面平行、垂直的证明问题． 难点： 用向量方法解决直线与平面平行、垂直的问题． 知识点 平面的法向量 (1)定义 如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量．此时，也称n与平面α垂直，记作n⊥α． (2)性质 ①如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量； ②如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行； ③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定． 随学随练特别提醒 若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行吗？ 提示：不一定，这两条直线有可能重合． 1．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则__________． 知识点直线与平面平行、垂直的判定 已知v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则 n∥v⇔l⊥α； n⊥v⇔l∥α，或l⊂α． 随学随练 1．（25-26高二下·甘肃平凉·期中）（多选）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 2．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．在面内或平行 知识点 平面与平面平行、垂直的判定 已知n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量， 则n1⊥n2⇔α1⊥α2； n1∥n2⇔α1∥α2，或α1与α2重合． 随学随练 1．（25-26高二下·江苏徐州·期中）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）若平面的一个法向量为，平面内的一个向量为，且，则的值是（    ） A． B． C．3 D．9 知识点 三垂线定理及其逆定理 (1)射影 ①已知空间中的平面α以及点A，过A作α的垂线l，设l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的射影(也称为投影)． ②空间中，图形F上所有点在平面α内的射影所组成的集合F′，称为图形F在平面α内的射影． (2)三垂线定理及其逆定理 ①三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直． ②三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 随学随练特别提醒 (1)从条件上看，三垂线定理的条件是平面内的直线和斜线的射影垂直，其逆定理的条件是平面内的直线和斜线垂直． (2)从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面垂直，证明异面垂直的问题，而逆定理正好相反． (3)不论定理还是逆定理，已知直线必须是平面内的一条直线． 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点．求证：EO⊥平面A1DB. 题型  平面法向量的概念及辨析 ▌例1 （24-25高二上·天津·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是 ▌对点练1-1．（（24-25高二下·上海宝山·期中）设直线的方向向量为，平面的法向量为，则是的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 题型求平面的法向量 ▌例1（25-26高二上·山东临沂·期中）已知，则平面的一个法向量的坐标为（　　） A． B． C． D． ▌对点练1-1（在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 题型 空间位置关系的向量证明 ▌例1（25-26高二下·四川成都·期中）已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则实数的值为（   ） A． B．2 C．2或 D．或1 ▌对点练1-1（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 基础通关 1．（25-26高二下·江苏淮安·期中）异面直线，所成的角为，，，，，垂直于，垂直于，且，，．则可能为（     ） A．1 B． C． D．2 2．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·甘肃武威·阶段检测）直线a，b的方向向量为，平面，的法向量分别为，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（25-26高二下·湖南·期中）设是直线的方向向量，是平面的法向量，则“与相交”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高二上·湖南永州·期末）在直三棱柱中，，，，是侧棱的中点，则下列直线中与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·上海·期中）已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（25-26高二上·上海·期中）已知正方体的棱长为1，点满足，其中，，，则下列说法错误的个数是（   ） ①当，，时，平面； ②当，时，异面直线与所成的角为； ③当，时，； ④当时，线段的长度最小值为； A．0 B．1 C．2 D．3 8．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（2024·上海·高考真题）空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 10．（25-26高二下·江苏盐城·期中）在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若平面，则的最小值是_______. 11．（25-26高二下·福建厦门·期中）直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则t=________. 12．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的取值范围为__________. 13．（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)求证： (2)当的值为多少时，平面？请给出证明. 14．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图所示，在正方体中，分别是棱的中点. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 素养提升 15．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线，则实数t的值为______． 16．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则________． 17．（24-25高二上·湖南长沙·期末）在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为_____. 18．（25-26高二下·江苏南京·期中）在正方体中，点，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，已知此截面是一个多边形，则（    ） A．为梯形 B．为五边形 C．平面 D．平面 迁移创新 19．（25-26高二下·福建漳州·期中）给出下列命题，其中正确的有（ ） A．两个不同的平面的法向量分别是，则 B．若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线 C．若空间向量，，则与的夹角为钝角 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则或 20．（25-26高二上·浙江杭州·期中）如图所示，在长方体中，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 21．（25-26高二上·浙江杭州·期中）给出下列命题，其中是真命题的是（   ） A．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底． B．若3个空间向量满足且，则 C．若空间向量满足，则是钝角． D．若空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面． 22．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 试卷第1页，共3页 试卷第2页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $