江苏苏州市某校2025-2026学年高二上学期期末检测数学卷1

**基本信息** 高中数学期末检测卷涵盖解析几何、数列、概率统计等模块，通过满意度调查方差计算（第7题）、频率分布直方图分析（第15题）等情境，考查运算能力、数据意识与逻辑推理，体现数学应用与创新。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直线垂直、等比数列性质、椭圆双曲线综合|注重基础概念辨析，如第3题充要条件判断| |多选题|3/18|直线截距、事件概率关系、抛物线性质|考查多维度思维，如第11题抛物线几何性质综合| |填空题|3/15|数列周期、概率计算、独立事件判定|结合图形情境，如第14题面积表示独立事件| |解答题|7/84|频率分布直方图、等比数列证明、椭圆切线与定点|强调综合应用，如第17题椭圆切线垂直求参数及定点证明，培养创新意识|

期末检测卷1 一、单选题 本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平面直角坐标系中，若直线与直线互相垂直，则实数的值是（    ） A．-1 B． C． D．3 2．一组数据的上四分位数是（     ） A． B． C． D． 3．设等比数列的首项为，公比为q，则“，且”是“对于任意都有”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分又不必要条件 4．在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知数列满足，则的值是（    ） A．25 B．50 C．75 D．100 6．从数字4，5，6，7，8中随机抽取两个数，则这两个数都是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 7．某动漫社团为了调查本校学生对新上映电影的喜好程度， 对该校学生进行了满意度调查， 其中男生共调查了600人，女生共调查了400 人，男生平均给分 4 分，方差为 1 ，女生平均给分3分，方差也为1 . 则调研对象总体方差为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，，分别是椭圆和双曲线的离心率，则的最小值是（    ） A． B．6 C．8 D． 二、多选题 本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 10．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件“得到的点数为”，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（ ） A．以线段为直径的圆与轴相切 B． C． D．当时，的面积为 三、填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．数列满足，则 . 13．袋中有写有数字1，2，3的卡片各2张，从中不放回地取出2张卡片，则取出的卡片上的数字之和为3的倍数的概率为 . 14. 为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中为事件对应区域的面积，表示样本空间.下图中，事件A与事件B相互独立的是 .（填写正确序号） 四、解答题 本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．本小题13分文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：，，⋯，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的众数和平均数； (3)若要从成绩在，，的三组数据中，用分层抽样的方法抽取份成绩，则成绩在分的应抽取多少份？ 16．本小题15分在等比数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）设，且为递增数列，若，求证：． 17．本小题15分已知椭圆，过点作椭圆的两条切线，且两切线垂直. (1)求； (2)已知点，若直线与椭圆交于，且以为直径的圆过点（不与重合），求证直线过定点，并求出定点. 18．本小题17分数列的前项和为，，对任意的有，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列，，，求数列的通项公式. 19．本小题17分已知、分别是椭圆的左、右顶点，的离心率为，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知是线段上一点（异于、），过点的直线与椭圆交于、两点（异于、），直线、分别交直线于、两点．是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A A B B D C ACD BCD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】根据两直线垂直的条件列方程求解． 【详解】直线与直线互相垂直， 则，解得. 故选：C 2．C 【分析】首先将数据按从小到大排列，然后根据百分位数相关知识求解出答案. 【详解】将数据按从小到大排列得10，12，14，15，17，19，23，27，31，35，共10个数据； ，根据百分位数定义，所以上四分位数是第8个数字，即27. 故选：C. 3．A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质分析判断即可 【详解】若，且，则， 所以， 反之，若，则， 所以，且或，且， 所以“，且”是“对于任意，都有”的充分不必要条件. 故选：A 4．A 【分析】由题知圆C与圆的公共弦是圆的直径，圆C与圆的公共弦是圆的直径，进而设圆C的圆心为，半径为得，再结合距离公式解方程即可得答案. 【详解】圆C平分圆C1等价于圆C与圆的公共弦是圆的直径． 同理圆C与圆的公共弦是圆的直径 设圆C的圆心为，半径为，则， 所以，即，解得 所以圆C的方程为． 故选：A 5．B 【分析】根据所给递推关系可得，即可得解. 【详解】由， 故， ， 则， 故， 故. 故选：B. 6．B 【分析】根据题中条件，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率. 【详解】从4，5，6，7，8这五个数中任取两个数， 包含的基本事件有：，，，，，，，，，共个； 则这两个数都是奇数包含的基本事件有：，共个； 所以这两个数都是奇数的概率是. 故选：B 7．D 【分析】根据分层平均数求出总体平均数，然后根据分层方差和总体方差的关系求解可得. 【详解】记男生平均给分为，方差为，女生平均给分为，方差为， 则， 所以总体平均数， 所以总体方差为. 故选：D 8．C 【解析】由在上的投影等于可知PF1⊥PF2， 利用椭圆与双曲线的 焦距相同找到和的关系，最后构建函数利用导数求出的最小值. 【详解】如图，设半焦距为．∵点是两曲线在第一象限的交点，且在上 的投影等于，∴PF1⊥PF2．设，，则， ．∴＝﹣．在中， 由勾股定理可得：. ∴．两边同除以c2，得2＝， 所以， 当即时取等号，因此9e12+e22的最小值是8． 故选：C. 【点睛】求最值题目一般分为三步： ①写表达式； ②消元； ③求值域. 9．ACD 【分析】利用截距式的求法，讨论截距的绝对值相等的情况，在进行截距式假设时，分截距为0，截距不为0进行假设. 【详解】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为， 由题可得 所以或 解得或 所以直线方程为或，故A，C正确； 当直线的截距为0时，设直线方程为， 由题可知，故直线方程为，D正确． 故选：ACD 10．BCD 【分析】列出事件所包含的样本点，再根据古典概型的概率公式计算依次判断选项即可； 【详解】由题意可知事件，事件，事件， 对于A，因为事件，所以，故A不正确； 对于B，因为事件，所以，故B正确； 对于C，因为事件，所以，故C正确； 对于D，， 因为，所以，故D正确； 故选：BCD 11．ABD 【分析】设，，根据抛物线的定义验证线段中点到轴的距离与线段的长度关系即可判断A；设直线的方程为，，由直线与抛物线联立可得交点坐标关系，根据坐标计算可得，从而可判断B；由坐标运算计算弦长，焦半径与，从而判断C；根据平面向量坐标关系由可得，结合韦达定理结果可得的值，根据面积公式计算的面积即可判断D. 【详解】设，，如图： 对于A：由抛物线定义知：，则线段中点的横坐标， 即线段的中点到轴的距离是，所以以线段为直径的圆与轴相切，故A正确； 对于B：由题意知，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，， 所以，， 由，得， 所以，， 因为，，所以，所以，故B正确； 对于C： 所以，故C错误； 对于D：当，可得即，又，所以， 则，所以，可得三点共线， 所以，故D正确. 故选：ABD. 12．/ 【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项. 【详解】由题设， 所以是周期为3的数列，则. 故答案为： 13. 14．②③ 【详解】①：由题图知：为的子集，所以，而为的真子集，则， 所以，故，不正确； ②：由图得，则， 则有，所以图中事件A，B相互独立，正确； ③：设图中的小的长方形的面积为， 由，， 所以，则题图中事件A，B相互独立，正确， 15．(1)； (2)众数、平均数分别为； (3). 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质直接求解即可； （2）利用频率分布直方图的性质，直接求解众数和平均数即可； （3）先求出三组数据的频数，然后利用分层抽样的性质直接求解. 【详解】（1）由频率分布直方图面积和为， 可得，解得. （2）由频率分布直方图可得众数等于最高小矩形中点横坐标； 样本平均数为. 即样本成绩的众数为，平均数为. （3）先计算三组数据的频数： 对于：，：， 又：， 三组频数比为，抽取个样本时， 则的抽取个数为：. 即成绩在分的应抽取份. 16．（1）或；（2）证明见解析. 【分析】（1）将化为，联立方程组，求出，可得或； （2）由于为递增数列，所以取，化简得，，其前项和为. 【详解】（1）假设等比数列{an}公比为q,， ，且， 解得或， 或； （2）由题意为递增数列，所以取，， ， ． 17．(1)； (2)证明过程见解析，定点坐标为. 【分析】（1）设切线方程，联立直线与椭圆，利用相切，得判别式为0，再利用切线垂直，即可得的值； （2）设直线的方程，由以为直径的圆过点，得，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】（1）由题可知，切线斜率存在，则设切线， 联立得，即， 相切得：，即，所以 由两切线垂直得： ； （2）由（1）得，椭圆方程为 由题可知，直线的斜率存在，设，联立得 设，由韦达定理得： 由题意为直径的圆过点，① 又 代入①式得： 或（舍去），所以过定点， 【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数的关系，结合圆的几何性质是解题的关键. 18．（1）；（2）. 【分析】（1）利用递推关系化简，消去Sn，得到an与an+1间的关系，满足等差数列定义，从而求得通项公式； （2）将（1）中通项代入递推关系中，化简得到等差数列乘等比数列的形式，利用错位相减法求和，即可得到数列通项. 【详解】解：（1）， -得到， 所以 因为所以 所以数列为等差数列，又因为所以 （2）因为 所以 所以 所以④. 所以④-得到 = 【点睛】方法点睛：化简转化递推关系，转化为满足等差数列的形式，利用错位相减法求解等比数列与等差数列乘积形式的前n项和. 19．(1) (2)存在，或 【分析】（1）根据条件先求解出的值，再根据求解出的值，则椭圆方程可求； （2）设出的方程，联立椭圆方程与直线的方程可得纵坐标的韦达定理形式，再表示出的坐标，根据向量数量积运算以及韦达定理进行化简，从而可确定出符合条件的点坐标. 【详解】（1）由题意可知，，所以，所以， 所以椭圆的方程为. （2）设，由题意可知直线的斜率不为，设， 联立，可得， 所以， 且，即， 直线的方程为，代入，则，所以， 同理可得， 所以， 所以 ， 当时，即，此时， 当时，即(舍去)，此时， 综上所述，存在或使得为定值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $