精品解析：江苏南京市某校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

高二年级期末考试试卷 数学 2026.01 本试卷满分150分，考试用时150分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合抛物线的准线方程求解即可. 【详解】由题知抛物线,所以，故抛物线的准线方程为. 故选：A. 2. 等比数列的前项和为，且，，则（ ） A. 63 B. 48 C. 31 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列基本量的计算可得公比和首项，即可由求和公式求解. 【详解】令等比数列的公比为，则，， 解得，，所以. 故选:C 3. 某书架的第一层放有8本不同的数学书，第二层放有5本不同的物理书．从这些书中任取1本数学书和1本物理书，不同的取法有（ ） A. 13种 B. 40种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【详解】第一步：从本不同的数学书中选本，有种不同的取法， 第二步：从本不同的物理书中选本，有种不同的取法。 根据分步乘法计数原理，从这些书中任取本数学书和本物理书的不同取法为． 4. 已知双曲线的左、右焦点为，，若双曲线上存在点满足，则双曲线的一条渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线定义得a值，进而求得渐近线方程 【详解】由题意，则，故渐近线方程为 故选：D 5. 点关于直线对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设对称点的坐标为，根据点关于直线对称列式求解即可. 【详解】设对称点的坐标为， 由题意可得，得， 所以对称点的坐标为. 故选：C. 6. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（        ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，恒成立，分离参数结合二次函数的性质求得答案. 【详解】因为函数在上单调递增，所以对恒成立， 即恒成立，设，， 当时，，所以，则， 所以实数a的最小值为. 故选：B. 7. 若圆与圆的公共弦长为，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】圆：，圆：. 两式相减得公共弦所在直线方程：，即 圆圆心，半径，圆心到公共弦的距离 由公共弦长，得弦长一半为，由，即 解得，又，故. 代入圆：.得圆心，半径 圆心距，因为所以 所以两圆相交，存在公共弦，符合条件. 8. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对不等式进行变形为，进而把问题转化为函数在区间上单调增，再转化为在上成立的问题， 再通过分离参数，最后构造函数求解问题. 【详解】当时，不等式恒成立 可变形为, 设, 那么当时,有,即在区间上单调增， 在上成立，即, 设,那么, 令,得 , 令,得 , 令,得 , 所以，函数在处取得极小值，也就是最小值， ,,实数a的取值范围为. 【点睛】本题主要考查导数的应用，关键点在于：对不等式进行变形为,进而把问题转化为函数在区间上单调增是;最后，构造函数,通过导数来求极值与最值,属于较难题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知两直线与，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线在轴上的截距为1 C. 当时， D. 当时，与之间的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，运用消去参数，对于B，运用截距概念；对于C，运用两直线垂直时，斜率之积为；对于D，两直线平行时，斜率相等，结合平行线距离公式计算.我们将根据这些性质来逐一分析每个选项. 【详解】对于选项A，对于直线，当时，，解得. 所以直线过定点，选项A正确. 对于选项B，对于直线，令，则，解得. 所以直线在轴上的截距为，选项B错误. 对于选项C，直线，其斜率；直线，其斜率.当时，，即， ，解得，选项C正确. 对于选项D，当时，，解得. 此时，即. 两平行直线与之间的距离公式为. 对于与，距离，选项D错误. 故选；AC. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】AC 【解析】 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 11. 已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. C. 若，则 D. 若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 【答案】ABD 【解析】 【分析】对选项A，根据题意得到，即可判断A正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，即可判断B正确，对选项C，根据焦点弦的公式即可判断C错误，对选项D，首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的概念即可判断D正确. 【详解】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4， 所以，，故A正确. 对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以， 当直线的斜率存在时，设， 得：，所以. 故B正确. 对选项C，，故C错误. 对选项D，如图所示： 过分别向准线作垂线，垂足为， 因为， 所以， 即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出的值，利用点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】因为，则，所以，， 所以，曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 某校名男大学生和名女大学生被安排到个不同的单位实习，每个实习单位至少安排名实习学生且性别相同，则不同的安排方法有___________种． 【答案】 【解析】 【分析】按照名女生在同一个单位和在不同单位两种情况进行分类，然后将每类的方法数相加，即可得到总的方法数. 【详解】情况：当名女生在同一个单位，则名男生被分到另外个单位，方法数为种； 情况：当名女生在两个不同的单位，则名男生在剩下的个单位，方法数为种， 因此，总的方法数为种. 14. 若A，B是平面内不同的两定点，动点P满足且，则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知点，圆若圆C上存在点M，使，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得M的轨迹方程，进而得两圆相交，应用相交条件即可得解. 【详解】解：设，因为， 即，平方整理得， 即点M的轨迹是以为圆心，半径的阿氏圆D， 又因为M在圆C上，所以M是圆D、圆C交点，即圆D、圆C相交， 圆C：，圆心，半径， 所以，即， 解得，即 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. （1）求边所在的直线方程； （2）求的面积. 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）由B，C两点的坐标，得直线的两点式方程，化简得一般式方程； （2）用两点间距离公式求B，C两点间的距离，计算点A到直线BC的距离可得三角形的高，得三角形的面积. 【小问1详解】 因为，，所以BC所在的直线方程为， 即. 【小问2详解】 B，C两点间的距离为， 点A到直线BC的距离， 所以的面积为. 16. 设等差数列的前n项和为，已知，，求： （1）数列的通项公式； （2）数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 由，得， 由，得， 联立， 解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 所以． 17. 已知圆C的圆心为，且圆C经过点． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长； （3）求过点且与圆C相切的直线方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求得圆的方程； （2）利用圆中的弦长公式求解即可； （3）分过点的直线斜率是否存在两种情况讨论，存在时，设过与圆相切的直线方程为，利用点到直线的距离公式求解即可. 【小问1详解】 因为圆C的圆心为，所以设圆的标准方程为：， 又圆C经过点，所以，解得， 所以圆C的标准方程为； 【小问2详解】 圆心到直线的距离， 弦长； 【小问3详解】 因为，所以在圆外； 当过点的直线斜率存在时，设过与圆相切的直线方程为， 即， 因为直线与圆相切，所以，整理得， 两边平方得，解得， 所以切线方程为或； 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，过圆心显然与圆不相切； 综上所述：过点且与圆C相切的直线方程为或． 18. 已知函数，． （1）当时，求的极值； （2）若函数在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； （3）若，且有两个极值点，其中，求的取值范围． 【答案】（1）极大值为，极小值为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数判断单调性，进而求极值； （2）转化为导数恒非负问题，用分离参数基本不等式求解； （3）韦达定理消元换元构造函数，求值域即可. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为， ， 所以， 令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因此，函数的极大值为，极小值为． 【小问2详解】 的定义域为， 则题意等价于在上恒成立， 即在上恒成立， 由基本不等式知，时，， 当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为； 【小问3详解】 由已知， 因为有两个极值点， 所以为方程的两个不相等的实数根， 则，， 因为，所以， 又，解得， 所以 ， 设， 则， 所以在上单调递减， 又，， 所以， 即的取值范围为. 19. 已知椭圆的离心率是，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与交于两点． （i）若，且直线的倾斜角为，求线段的长； （ii）若直线的斜率不为，，是否存在点，使得为定值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存在，最小值为，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由得，又得，由在椭圆上，利用待定系数法即可求解； （2）（i）由题意可得直线的方程为，与椭圆方程联立，由韦达定理得，利用弦长公式即可求解； （ii）可设，与椭圆方程联立，由韦达定理得，由为定值得，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，得，得， 又，所以， 又，两式联立，解得， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设； （i）由题意可得直线的方程为， 联立，得， 所以， 所以； （ii）存在点，使得为定值，的最小值为； 由题意，可设，联立， 得， 则， 且， 因为， 所以 ， 因为为定值， 所以，得， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级期末考试试卷 数学 2026.01 本试卷满分150分，考试用时150分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 等比数列的前项和为，且，，则（ ） A. 63 B. 48 C. 31 D. 15 3. 某书架的第一层放有8本不同的数学书，第二层放有5本不同的物理书．从这些书中任取1本数学书和1本物理书，不同的取法有（ ） A. 13种 B. 40种 C. 种 D. 种 4. 已知双曲线的左、右焦点为，，若双曲线上存在点满足，则双曲线的一条渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 点关于直线对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（        ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 若圆与圆的公共弦长为，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知两直线与，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线在轴上的截距为1 C. 当时， D. 当时，与之间的距离为 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 11. 已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. C. 若，则 D. 若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为__________. 13. 某校名男大学生和名女大学生被安排到个不同的单位实习，每个实习单位至少安排名实习学生且性别相同，则不同的安排方法有___________种． 14. 若A，B是平面内不同的两定点，动点P满足且，则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知点，圆若圆C上存在点M，使，则实数a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. （1）求边所在的直线方程； （2）求的面积. 16. 设等差数列的前n项和为，已知，，求： （1）数列的通项公式； （2）数列的前n项和． 17. 已知圆C的圆心为，且圆C经过点． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长； （3）求过点且与圆C相切的直线方程． 18. 已知函数，． （1）当时，求的极值； （2）若函数在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； （3）若，且有两个极值点，其中，求的取值范围． 19. 已知椭圆的离心率是，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与交于两点． （i）若，且直线的倾斜角为，求线段的长； （ii）若直线的斜率不为，，是否存在点，使得为定值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $