数列的通项公式的求法题型训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

数列的通项公式的求法 题型一 观察法 1．（25-26高二下·北京·开学考试）数列的前四项依次是则数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州黔南·二模），数列1，，7，，31，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江西景德镇·期末）若数列的前4项依次为20，11，2，，则数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 题型二 累加法 4．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知数列的首项，且满足（），则的值为（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 5．（25-26高二上·天津和平·期末）已知数列的首项为2，且满足，则（   ） A． B． C． D． 6．（2018·湖南长沙·一模）在数列中，，，则等于（       ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·山东淄博·月考）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 题型三 累乘法 8．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025高三上·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·重庆·月考）在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·福建宁德·月考）已知数列满足，，则的前7项和为（    ）． A． B． C． D． 题型四 由an与Sn的关系求通项 12．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知等比数列的前项和为，且满足，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·陕西安康·期末）已知数列满足，设，则数列的前2026项和（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·浙江·期末）已知正项数列的前项和为，且，若，则数列的前120项和为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·内蒙古包头·月考）若数列的前项和，则（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 题型五 取倒数 18．（山东济宁市2026年高考第一次模拟考试数学试题）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 19．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·山西运城·期末）已知数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 21．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六 构造法 22．（25-26高二上·湖北十堰·期末）数列中，，，前项和为，则下面正确的是（    ） A． B．有最大值 C． D． 23．（23-24高二上·福建厦门·期中）若数列满足，，则（ ） A．1020 B．1024 C．2044 D．2048 24．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）在数列中，，则通项公式（   ） A． B． C． D． 25．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高二下·浙江·期中）设数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为__________． 28．（2023高三·全国·专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为_____________. 29．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列中，，则数列的通项公式______． 30．（24-25高二下·北京·期中）在数列中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 31．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，其中，，则（    ） A． B． C． D． 题型七 由等差数列的通项公式求数列通项 32．（25-26高二下·河南南阳·开学考试）已知数列是等差数列，其中，． (1)求数列的通项公式． 33．（2026高三·全国·专题练习）已知为公差不为零的等差数列，其中，，成等比数列，. (1)求数列通项公式； 34．（2026·江西·模拟预测）已知等差数列的公差，其前n项和为，且，，成等比数列，． (1)求数列的通项公式； 题型八 由等比数列的通项公式求数列通项 35．（25-26高三下·辽宁·开学考试）已知数列的前项和，在等比数列中，. (1)求数列的通项公式； 36．（河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高二下学期开学测评数学试卷）在等比数列中，，． (1)求的通项公式； 37．（25-26高一上·河北邯郸·期末）已知等差数列和等比数列满足：． (1)求数列和的通项公式； 题型九 利用数列前n项积求数列通项 38．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积， 若 ，则（    ） A． B． C． D． 39．（2025高三·全国·专题练习）设为数列的前n项积，且，，，则（    ） A． B． C． D． 40．（2020·浙江·模拟预测）已知各项均不为零的数列的前n项积满足，则________，数列的前n项和________． 题型十 奇偶讨论型求通项 41.（2025·重庆·三模）数列满足又则（   ） A． B． C． D． 42（2025·陕西汉中·模拟预测）设正项数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； 43（2024·河北沧州·三模）已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； 2 / 5 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列的通项公式的求法 题型一 观察法 1．（25-26高二下·北京·开学考试）数列的前四项依次是则数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，可知D错误， 当时，，可得A、C错误， 经检验B满足数列的通项公式. 2．（2024·贵州黔南·二模），数列1，，7，，31，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排除法，取特值检验即可. 【详解】对于选项A：因为，故A错误； 对于选项B：因为，故B错误； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：检验可知对均成立，故D正确； 故选：D. 3．（24-25高二下·江西景德镇·期末）若数列的前4项依次为20，11，2，，则数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察前4项规律，写出通项公式，可判断B，对A，C，D举反例说明. 【详解】对于B，从前四项看，这是一个以20为首项，以为公差的等差数列， 由等差数列的通项公式有，故B正确； 对于A，当时，，这与条件不符，故A错误； 对于C，当时，，这与条件不符，故C错误； 对于D，当时，，这与条件不符，故D错误. 故选：B. 题型二 累加法 4．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知数列的首项，且满足（），则的值为（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【分析】利用累加法可求得的值. 【详解】因为（），且， 所以 . 故选：B. 5．（25-26高二上·天津和平·期末）已知数列的首项为2，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件得到，通过累加法，结合等差数列，等比数列求和公式即可求解. 【详解】由，可得， 所以，，，，， 累加可得， 即， 又，所以， 当时，，满足上式， 所以 故选：A 6．（2018·湖南长沙·一模）在数列中，，，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将给定的递推公式变形，再借助累加法计算作答. 【详解】在数列中，由，得， 则当时， ， 因此，显然满足上式， 所以. 故选：C 7．（25-26高二上·山东淄博·月考）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推式，利用累加法表示出，结合等比数列前项和公式求得结果，进而求出，即可得到答案. 【详解】由题知，，且，， 所以， 累加可得， 所以， 所以，当时同样满足， 所以. 故选：C 题型三 累乘法 8．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知得到，利用累乘法求出即可得解. 【详解】，， . 故答案为：B. 9．（2025高三上·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由累积法可得，根据与的关系计算即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 当时，， 当时，满足， 所以数列的通项公式为. 故选：C 10．（25-26高二上·重庆·月考）在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用累乘法求数列通项，注意验证是否满足通项，即可得. 【详解】由题设，，则，，， 当时，，，，，，， 所以，且， 显然均满足上式，所以. 故选：C 11．（25-26高二上·福建宁德·月考）已知数列满足，，则的前7项和为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据累乘法，可求得数列的通项公式，根据裂项相消求和法，即可得答案. 【详解】因为，， 所以， 则，即， 所以， 又，满足上式，所以， 所以的前7项和为. 故选：C 题型四 由an与Sn的关系求通项 12．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知等比数列的前项和为，且满足，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求出首项和公比，利用等比数列求和公式可得答案. 【详解】因为，所以当时，有， 两式相减：，即； 当时，， 因为为等比数列，所以，代入可得， 数列是首项为 3、公比为 3 的等比数列， 所以前 10 项和为. 故选：D 13．（25-26高三上·陕西安康·期末）已知数列满足，设，则数列的前2026项和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用已知等式作差计算得出，再应用裂项相消法计算求解. 【详解】因为①， 当时， ②， 由①-②得到，得到， 又时，，满足， 所以，则， 所以 ， 则数列的前2026项和为. 故选：C. 14．（25-26高二上·浙江·期末）已知正项数列的前项和为，且，若，则数列的前120项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，当时，可得，两式相减，化简得到，求得，得到数列为等差数列，得到，求得，结合消项法求和，即可求解. 【详解】由，当时，可得， 两式相减，可得， 即，可得， 因为，所以，即， 当时，可得，即，解得或（舍去）， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以， 则， 所以数列的前120项和为： . 故选：A. 15．（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，求出，再根据得出数列的递推关系，进而判断数列类型，最后求出. 【详解】当时，，所以， 当时，， 所以，所以数列是首项为，公比的等比数列， 所以. 故选：D 16．（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过，求出数列的通项公式，然后求出即可. 【详解】因为，当时，， 当时，， 则， 当时，， 所以数列的通项公式为， 所以， 故选：B. 17．（25-26高二上·内蒙古包头·月考）若数列的前项和，则（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】D 【分析】由可得，代入项数后即可求解. 【详解】根据题意，， 故选：D. 题型五 取倒数 18．（山东济宁市2026年高考第一次模拟考试数学试题）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据递推关系得，结合等差数列定义写出的通项公式，即可得答案. 【详解】由题意可得：， 令，则可得：， 所以是等差数列，公差为2. 又因为，所以， 所以. 19．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题中所给的递推关系，可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，从而可求得其通项公式，代入，解方程即可. 【详解】由题意知，，所以，即， 又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 所以，解得. 故选：C 20．（25-26高二上·山西运城·期末）已知数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两边同时减去，再同时取倒数得到，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项公式，代入计算可得. 【详解】因为，，所以， 所以，即 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：B 21．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定等式，利用构造法求出通项公式，再由递增数列建立不等式求出范围. 【详解】由数列为递增数列，，得，由， 得，即，因此， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， 整理得，而， 则，整理得， 因此，解得，所以的取值范围是. 故选：C 题型六 构造法 22．（25-26高二上·湖北十堰·期末）数列中，，，前项和为，则下面正确的是（    ） A． B．有最大值 C． D． 【答案】C 【分析】利用递推公式求出的值，可判断A选项；分析可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，可判断C选项；利用数列的单调性可判断B选项；利用分组求和法可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可得，解得，A错； 对于C选项，由可得，， 所以数列为等比数列，其首项为，公比为， 所以，所以，C对； 对于B选项，对任意的，，所以数列单调递增，故无最大值，B错； 对于D选项， ，D错. 故选：C. 23．（23-24高二上·福建厦门·期中）若数列满足，，则（ ） A．1020 B．1024 C．2044 D．2048 【答案】C 【分析】整理可得，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解. 【详解】因为，则， 且，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列， 则，即， 所以. 故选：C. 24．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）在数列中，，则通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件先判断出是等比数列，然后可求的通项公式. 【详解】因为，所以，且， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，所以， 故选：D. 25．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件证明数列是等差数列并求出数列的通项公式，将代入即可得解. 【详解】已知，两边同时除以， 可得，即. 又当时，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：A 26．（24-25高二下·浙江·期中）设数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，可求出的值，当时，由可得，两式作差可判断出数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，即可得出的表达式，逐项判断即可. 【详解】因为数列的前项和为，， 当时，，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，整理可得， 等式两边同时除以可得， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 故，所以， 故，，故，A错B对； 由题意可得， 所以，CD都错. 故选：B. 27．（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【分析】由得，构造等比数列即可求解. 【详解】由，，，可得， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以， 则，； 故答案为：. 28．（2023高三·全国·专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为_____________. 【答案】 【分析】解法一：利用待定系数法可得，结合等比数列分析运算；解法二：整理得，结合等比数列分析运算；解法三：整理得，根据累加法结合等比数列求和分析运算. 【详解】解法一：设，整理得，可得， 即，且， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即； 解法二：(两边同除以) 两边同时除以得：， 整理得，且， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即； 解法三：(两边同除以)两边同时除以得：，即， 当时，则 ， 故， 显然当时，符合上式，故. 故答案为：. 29．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列中，，则数列的通项公式______． 【答案】 【分析】利用构造法判断为等比数列，然后利用等比数列通项公式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故. 故答案为： 30．（24-25高二下·北京·期中）在数列中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】推导出数列为常数列，即可得出的值. 【详解】在数列中，已知，，则， 故数列为常数列，则，因此，. 故选：D. 31．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意构造得，由等比数列定义和通项公式可得，从而得解. 【详解】因为， 所以，所以， 而，故， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即，所以． 故选：C 题型七 由等差数列的通项公式求数列通项 32．（25-26高二下·河南南阳·开学考试）已知数列是等差数列，其中，． (1)求数列的通项公式． 【答案】(1) 【分析】（1）由首项和公差可求出通项公式为； 【详解】（1）由题意数列的通项公式为 33．（2026高三·全国·专题练习）已知为公差不为零的等差数列，其中，，成等比数列，. (1)求数列通项公式； 【答案】(1) 【分析】（1）利用等比中项的定义列式求出和公差，再求出数列的通项公式. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由成等比数列，得， 即，整理得，又，则， 由，得，即，解得，. 所以数列通项公式为. 34．（2026·江西·模拟预测）已知等差数列的公差，其前n项和为，且，，成等比数列，． (1)求数列的通项公式； 【答案】(1)； 【分析】（1）根据给定条件，求出，再结合等比中项列出方程求出公差即可. 【详解】（1）在等差数列中，由，得，解得， 由，，成等比数列，得，即，又， 解得，所以数列的通项公式为. 题型八 由等比数列的通项公式求数列通项 35．（25-26高三下·辽宁·开学考试）已知数列的前项和，在等比数列中，. (1)求数列的通项公式； 【答案】(1)，或 【分析】（1）利用即可求解数列的通项公式，利用等比数列通项公式基本量的计算即可求出数列的通项公式； 【详解】（1）， ， 当时，，也满足上式，所以. ，设数列的公比为q，则， 故. 当时，， 当时，. 36．（河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高二下学期开学测评数学试卷）在等比数列中，，． (1)求的通项公式； 【答案】(1); 【分析】（1）由题设数列公比为，据此可得公比，即可得等比数列通项公式. 【详解】（1）设数列公比为，则. 两式相除可得，又， 则； 37．（25-26高一上·河北邯郸·期末）已知等差数列和等比数列满足：． (1)求数列和的通项公式； 【答案】(1) 【分析】（1）利用等差通项和等比通项公式求解即可； 【详解】（1）设的公差为d，的公比为q． 由题知，消元得：，解得或（舍）， 所以 即． 题型九 利用数列前n项积求数列通项 38．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积， 若 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将表达式化简可得，再利用前 项积的关系式可证明数列是等差数列，即可求得结果. 【详解】由已知得，且，，取，由得， 由于为数列的前项积，所以， 则，两式相除，可得， 由于，化简得，即，其中 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以. 故选：D 39．（2025高三·全国·专题练习）设为数列的前n项积，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合前n项积的意义求出通项公式. 【详解】数列中，，当时，， 两式相除得，由，得， 则当时，，即，因此， 满足上式，所以. 故选：B 40．（2020·浙江·模拟预测）已知各项均不为零的数列的前n项积满足，则________，数列的前n项和________． 【答案】 【解析】由，可得，由于数列各项均不为零，故，结合时，，化简整理可得，从而求出数列的通项公式，即可得，由此写出与，即可求解数列的前项和. 【详解】由，得． 因为，所以． 由题意知，当时，， 所以当时，，两边同时除以，得． 因为，所以，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，，从而，故， 所以数列的前项和为． 故答案为：；. 【点睛】本题考查了数列的递推关系、等差数列的通项公式和前项和公式，考查计算能力与逻辑推理能力，属于中档题． 题型十 奇偶讨论型求通项 41.（2025·重庆·三模）数列满足又则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求出前12项，观察奇偶项规律可得，奇数项构成首项为1公差为1的等差数列，偶数项构成首项为1公差为 的等差数列，再利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】因为数列满足，且，，， 所以； ； ； ； ； ； ； ； ； 观察奇偶项规律： 奇数项：，构成首项为1公差为1的等差数列， 令，则，通项公式为； 偶数项：，构成首项为1公差为 的等差数列， 令，则，通项公式为，通项公式为， ，选项AB错误； ，选项C正确，选项D错误. 故选：C. 42.（2025·陕西汉中·模拟预测）设正项数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【解析】（1）利用降标作差得，再分别求出奇偶项的通项公式即可； 【详解】（1）由得，， 两式作差得， 因数列为正项数列，则， 令，则，则， 则数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列， 故为奇数时，， 数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列， 故为偶数时，， 综上，数列的通项公式为； 43.（2024·河北沧州·三模）已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； 【答案】(1)； 【解析】（1）由数列的递推公式，利用累乘法即可求解； 【详解】（1），，， ，两式相除，得， 当，时，，，即； 当，时，，，即， 综上所述，数列的通项公式为； 2 / 19 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $