湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高二上学期期末复习数学专项练习（数列通项公式的求法）

2025年长郡中学高二期末复习（数列通项公式的求法） 题型一：与/n关系法求数列通项 （已知与的关系或与的关系式求时，可利用 代换、变形求出,注意验证是否满足 .） 1，已知是等差数列的前n项和，且.求数列的通项公式； 2， 若数列的前n项和Sn＝an＋，则的通项公式是an＝________. 3，已知数列的前项和为，，．求的通项； 题型二：构造法求数列通项 类型一：且型.设,展开移项整理得 ，与题设 比较系数 1，已知数列的前n项和为，且，，求数列的通项公式； 类型二：型. 为一次函数类型（即等差数列）时，设,通过待定系数法确定， 的值。 （2当 为指数函数类型（即等比数列）时,设,通过待定系数法确定 的值, 2，已知在数列中，，，则通项 ． 3，已知数列满足，且．求数列的通项公式； 类型三：型. 4,已知数列满足，且，.求数列的通项公式； 题型三： 累加法 形如型的递推数列（其中是关于 的函数）可构造 将上述个式子两边分别相加,得 . 1．已知首项为1的正项数列满足．求的通项公式； 题型四：累乘法 形如型的递推数列其中是关于的函数 可构造 将上述 个式子两边分别相乘,可得 . 1．在数列中，若，求 应用 1， 已知数列满足．求数列的通项公式； 2，已知数列{an}满足a1＝1，对任意的nN*都有an＋1＝a1＋an＋n，则an＝ ． 3，已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，则an＝ ． 4，在数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝2an＋n，则a9等于(　　) 5，已知数列{an}满足a1＝，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，求数列{an}的通项公式。 6，已知数列{an}的前n项和Sn满足条件Sn＝3an＋2.求数列{an}的通项公式。 7，已知数列的前n项和为，且满足，.求的通项公式； 8，已知数列的前n项和为，且，则的通项公式为 9，已知数列满足，则____. 答案 1，已知是等差数列的前n项和，且.求数列的通项公式； 由题意可知：， 当时，， 当时，， 当时，，符合， ∴数列的通项公式； 2，若数列的前n项和Sn＝an＋，则的通项公式是an＝________. 解析　当n＝1时，＝1； 当n≥2时，＝Sn－Sn－1＝－－1，故＝－2，故＝ 综上，＝ 3，已知数列的前项和为，，．求的通项； 【详解】因为，所以，故， 又，所以是以3为首项，3为公差的等差数列． ， 当时，， 而时，不满足上式， 所以. 题型二：构造法求数列通项 类型一：且型.设,展开移项整理得 ，与题设 比较系数 1，已知数列的前n项和为，且，，求数列的通项公式； 因为①，所以，解得， 对任意的，②， ②-①得，即， 所以，即， 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即． 类型二：型. 为一次函数类型（即等差数列）时，设,通过待定系数法确定， 的值。 （2当 为指数函数类型（即等比数列）时,设,通过待定系数法确定 的值, 2，已知在数列中，，，则通项 ． 【详解】利用待定系数法构造新数列， ， 又，则， 所以． 令，是以为首项，公比的等比数列． ．即，． 当时成立，所以． 故答案为： 3，已知数列满足，且．求数列的通项公式； 【答案】；. 【详解】（1）由已知，所以，又， 所以数列是首项为，公比的等比数列， 所以，即 . 类型三：型. 4,已知数列满足，且，.求数列的通项公式； 【答案】 【详解】解：因为，所以， 又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，，① 又因为，所以，数列为常数列， 故，② ②①可得，所以，， 所以，对任意的，. 题型三： 累加法 形如型的递推数列（其中是关于 的函数）可构造 将上述个式子两边分别相加,得 . 1．已知首项为1的正项数列满足．求的通项公式； 【答案】 【详解】令，，又由有， 则有 ， 所以． 又因为数列的各项均为正数，所以． 题型四：累乘法 形如型的递推数列其中是关于的函数 可构造 将上述 个式子两边分别相乘,可得 . 1．在数列中，若，求 【答案】 【分析】由题意先求出，再将已知式化简后运用累乘迭代法求得，即可求得. 【详解】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 应用 1，已知数列满足．求数列的通项公式； 【答案】； 【解析】当时，，则，即， ，n＝1也满足上式，故； 2，已知数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，则an＝ ． 解析　(1)an＋1＝an＋n＋1，所以an＋1－an＝n＋1，所以a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2).等式两边同时相加，得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(n≥2)，即an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝(n≥2).又a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*). 3，已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，则an＝ ． (2)由题意，得＝，分别令n＝1，2，3，…，n－1，代入上式，得(n－1)个等式，累乘，即···…·＝×××…×(n≥2).所以＝.又因为a1＝，所以an＝(n≥2).又a1＝也适合上式，所以an＝(nN*) 4，在数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝2an＋n，则a9等于(　　) 解析　因为a1＝2，2an＋1＝2an＋n，所以an＋1－an＝.所以a9＝(a9－a8)＋(a8－a7)＋…＋(a2－a1)＋a1.所以a9＝＋＋…＋＋2＝＋2＝×＋2＝20.故选A., 5，已知数列{an}满足a1＝，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，求数列{an}的通项公式。解析　因为数列{an}满足a1＝，an＝·an－1(n≥2，n∈N*)，整理，得＝，＝，…，＝.将所有的项相乘，得＝.整理，得an＝ 6，已知数列{an}的前n项和Sn满足条件Sn＝3an＋2.求数列{an}的通项公式。 解　(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝3a1＋2，解得a1＝－1， 当n≥2时，由Sn＝3an＋2，得Sn－1＝3an－1＋2， 将上述两式作差，得an＝3an－3an－1，整理得an＝an－1. 因为a1＝－1≠0，则对任意的nN*，an≠0，所以＝， 所以数列{an}是以－1为首项，为公比的等比数列． 7，已知数列的前n项和为，且满足，.求的通项公式； 【答案】， 【解析】时，，解得. 当时，，故，所以， 故. 符合上式故的通项公式为，. 8，已知数列的前n项和为，且，则的通项公式为______． 【答案】【解析】当时，，得， 当时，由，得，所以，所以，所以， 数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以，故答案为： 9，已知数列满足，则____. 【答案】 【解析】因为，所以当时，有， ，得，当时，也适合，故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $