精品解析：湖北省仙桃中学2026届高三年级5月半月考数学试卷

仙桃中学第二次半月考数学试卷 满分：150分时间：120分钟 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线的焦点为，准线为为上一点，为上一点.若是正三角形，则的边长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 3. 已知向量，，，，均为实数，且，，则（ ） A. 25 B. 16 C. 5 D. 4 4. 已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立 6. 艺术家埃舍尔的作品展示了数学之美，如图①是其作品《星空》中的一部分，由正方体和正八面体相互交叉形成的组合体，可抽象为图②所示的图形．若正八面体的棱长均为2，且相交处均为棱中点，则两个几何体相交后公共部分形成的几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知函数的部分图象与圆的两个公共点，当时，的图象无限逼近轴，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 如图，正方体中，点分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 10. 已知，则下列正确的是（ ） A. 直线为的切线 B. 若，则 C. 若在上单调递增，则 D. 设为曲线在处的两条切线，若，则 11. 已知的面积为，若，，则（ ） A. B. C. 的外接圆半径为1 D. 三、填空题 12. 已知，为虚数单位，复数为纯虚数，则__________. 13. 已知是椭圆的内接三角形，其中原点是的重心，若点A的横坐标为，直线的倾斜角为，则椭圆的离心率为_____． 14. 某文件被切分成n个独立分片上传云端，每个分片上传成功的概率为，且相互独立.当成功上传了m个分片时，文件可被成功恢复的概率为．为使文件最终成功恢复的概率不小于，正整数n的最小值为________.（参考数据：，） 四、解答题 15. 已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）等比数列的前项和为，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中任选择两个作为已知条件，求满足的的最大值.条件①：；条件②：；条件③：. 16. 脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换.近日埃隆.马斯克宣布，脑机接口公司Neuralink正在接收第二位植入者申请，该试验可以实现意念控制手机和电脑.未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据.现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图. 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中. 7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88 （1）根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由） （2）根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1） 附：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 17. 如图，四边形是边长为1的正方形，四边形是梯形，是上的点，且，平面平面. （1）证明：四点共面； （2）设，且点均在球的球面上. （i）求点到平面的距离； （ii）记为球面上到点距离最小的点，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知双曲线，是其右顶点，定点，动点，直线交于点，连接并延长交于点. （1）若，证明：为的左顶点； （2）设直线，的斜率分别为，，求证：是定值； （3）若的面积为5，求点坐标. 19. 已知函数 （1）当时，求的最小值； （2）当时，，求的取值范围： （3）已知点，按照如下方式依次构造点：过点作曲线的切线与轴交于点，令为过点且斜率为0的直线与曲线的交点，记的面积为，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仙桃中学第二次半月考数学试卷 满分：150分时间：120分钟 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将集合用列举法写出具体元素，由集合的表达式可知集合的元素，即可得到的结果. 【详解】将集合用列举法写出得：， 对于集合，由可知：，所以. 故选：C. 2. 已知抛物线的焦点为，准线为为上一点，为上一点.若是正三角形，则的边长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先由题目条件得到，根据抛物线定义知，结合对称性得到的坐标，再利用抛物线定义即可得到的长，进而得三角形的边长. 【详解】抛物线的焦点为，准线为的方程， 如图： ∵ 是正三角形，∴ ，由抛物线定义知 ， 则B点横坐标， 又 ∵ ，则点在的垂直平分线上， 由对称性可知： ， 则的边长为4. 故选：D 3. 已知向量，，，，均为实数，且，，则（ ） A. 25 B. 16 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直和平行列方程，求得，，根据向量坐标运算求得正确答案. 【详解】因为，，所以，，得，， 所以， 故. 4. 已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以当时，单调递增，则.又函数的值域为， 所以当，函数的值要取到内的所有实数，所以. 当，即时，函数在上单调递增，时，， 当趋近于1时，，即，所以，即实数a的取值范围是. 5. 某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，，， 对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误； 对于B，的情况只有面4，故， 又，满足，故B正确； 对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误； 对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面， 故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4， 故，所以， 不满足独立事件定义，故D错误． 6. 艺术家埃舍尔的作品展示了数学之美，如图①是其作品《星空》中的一部分，由正方体和正八面体相互交叉形成的组合体，可抽象为图②所示的图形．若正八面体的棱长均为2，且相交处均为棱中点，则两个几何体相交后公共部分形成的几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，观察得到公共部分形成的几何体是由正方体截去以其八个顶点为三棱锥的顶点构成的八个相同的三棱锥得到，计算得解． 【详解】如图，因为正八面体的棱长均为2，且相交处均为棱中点，所以， 所以，则该正方体的棱长为． 易知三棱锥为正三棱锥，则． 易知两个几何体相交后公共部分形成的几何体体积为． 故选：B. 7. 已知函数的定义域为，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令判断A；令，判断B；利用得，令判断，令判断，然后可判断C；利用，结合判断D. 【详解】对A，令，则，又，所以，错误； 对B，令，则，即，，错误； 对C，令，得，所以， 令，则，即，所以 令，则，所以，即， 所以，错误； 对D，因为，所以， 又，所以，正确. 8. 如图，已知函数的部分图象与圆的两个公共点，当时，的图象无限逼近轴，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象与圆的公共信息，分别求出圆的半径、函数中的参数的值，再逐一判断选项. 【详解】由点在圆上， 所以，解得. 因为当时， ， 即，因为，取，则， 所以. 将代入圆的方程，得，解得或， 结合图象知，即，将代入，得， 所以，即，因为，由图象可知，即，所以取，得. 所以，将代入，得， 所以. 因此，A，B，C选项错误，D选项正确. 故选：D 二、多选题 9. 如图，正方体中，点分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 对于A，，显然与没有倍数关系， 故不平行，即与不平行，故A错误； 对于B，平面的一个法向量为， ，故，又平面，故平面，故B正确； 对于C，因，， 则，所以，故C正确； 对于D，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 因，则与平行，故平面，故D正确. 故选：BCD 10. 已知，则下列正确的是（ ） A. 直线为的切线 B. 若，则 C. 若在上单调递增，则 D. 设为曲线在处的两条切线，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可求得  处切线为得到A正确；通过举反例证明B错误；根据导数的代数意义结合分离参数求范围即可求出C正确；根据导数的几何意义求出切线方程，结合两切线平行，找到相应等式即可求得D正确. 【详解】已知，求导得 选项A：当 时，，且，因此处切线斜率为0，切线方程为， 故直线一定是的切线，故A正确； 选项B：当时，，故 B错误； 选项C：若在单调递增，则在恒成立，当时，， 因此需要对所有恒成立，即，解得，即，故C正确； 选项D：求导得：，切线等价于 ， 整理得：， 因为，两边除以得， 即，故D正确. 11. 已知的面积为，若，，则（ ） A. B. C. 的外接圆半径为1 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两角和差公式与诱导公式对题干等式化简得结合得到，再利用诱导公式算出的每个角度，由此可以判断A，B选项；通过正弦定理结合三角形面积公式算出C选项；通过前三个选项结合正弦定理即可求出三角形的三条边，进而求出D选项. 【详解】在中，，故， 代入原式得：  ， 又，，将其代入 式得 ， 因为三角形中，又由， 而在三角形中，故， 即为钝角，故，因此只能，即，得，， 所以 ，， 将上述等式代入得， 解得，得，，，因此，故选项A正确，B错误； 设外接圆半径为，由正弦定理得，，， 面积，得，选项C正确； ，选项D正确. 三、填空题 12. 已知，为虚数单位，复数为纯虚数，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因是纯虚数， 可得，解得. 13. 已知是椭圆的内接三角形，其中原点是的重心，若点A的横坐标为，直线的倾斜角为，则椭圆的离心率为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由题可得，，然后由点差法结合是的重心可得答案. 【详解】点A的横坐标为，点A在椭圆上，∴可知， 由对称性可取，. 直线的倾斜角为，. 设，，BC中点为N， 作差得， 可得， 即，因是的重心，则N，O，A三点共线， 则，，解得． 椭圆的离心率为． 故答案为： 14. 某文件被切分成n个独立分片上传云端，每个分片上传成功的概率为，且相互独立.当成功上传了m个分片时，文件可被成功恢复的概率为．为使文件最终成功恢复的概率不小于，正整数n的最小值为________.（参考数据：，） 【答案】13 【解析】 【分析】根据全概率公式结合题意计算即可. 【详解】记文件最终成功恢复为事件，则由全概率公式， . 根据二项式定理，因此有： ，， 所以. 令，得， 所以. 所以的最小值为13. 故答案为：13. 四、解答题 15. 已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）等比数列的前项和为，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中任选择两个作为已知条件，求满足的的最大值.条件①：；条件②：；条件③：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列下标和性质和通项公式直接推导求解即可； （2）若选①②，根据等比数列通项公式和可求得公比；若选①③，根据等比数列通项公式和单调性可求得公比；若选②③，根据和等比数列单调性可求得公比；根据和可得，结合单调性可求得结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， ，，， . 【小问2详解】 由（1）知：，设等比数列的公比为 若选①②：，，， ，， 为递增数列，，， 满足的的最大值为； 若选①③：，， 又，，， 为递增数列，，， 满足的的最大值为； 若选②③：，或， 又，，， 为递增数列，，， 满足的的最大值为. 16. 脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换.近日埃隆.马斯克宣布，脑机接口公司Neuralink正在接收第二位植入者申请，该试验可以实现意念控制手机和电脑.未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据.现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图. 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中. 7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88 （1）根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由） （2）根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1） 附：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 【答案】（1）选择模型② （2），10人 【解析】 【分析】（1）根据残差图分析判断； （2）令与可用线性回归来拟合，有，然后根据公式结合已知的数据求出，从而可求出关于的经验回归方程，进而可求出关于的经验回归方程，再由可求出研发人员增量. 【小问1详解】 选择模型②，理由如下： 由于模型②残差点比较均匀在落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型①带状宽度窄， 所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以模型②比较合适. 【小问2详解】 根据模型②，令与可用线性回归来拟合，有. 则，所以 则关于的经验回归方程为，所以关于的经验回归方程为. 由题意，，解得，又为整数，所以. 所以，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少为10人. 17. 如图，四边形是边长为1的正方形，四边形是梯形，是上的点，且，平面平面. （1）证明：四点共面； （2）设，且点均在球的球面上. （i）求点到平面的距离； （ii）记为球面上到点距离最小的点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）结合已知条件证明即可； （2）（i）求证和都是直角三角形，即可找到球心，再以为原点建系，利用向量计算点到平面的距离； （ii）先找出点的位置，再计算平面的法向量，利用向量计算线面角. 【小问1详解】 因为四边形是正方形，所以， 又因为，所以四边形是正方形， 所以，所以， 所以四点共面. 【小问2详解】 （i）因为，平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， 因为，所以平面，同理可得，平面， 因为平面，平面，所以，， 所以和都是直角三角形， 所以的中点就是球心， 如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，， 则， 设平面的一个法向量， 所以，令，所以， 所以， 所以点到平面的距离为. （ii）当三点共线时，球面上点到点的距离最小， 因为，所以球的半径，分别取中点， 则， 所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 由（i）知平面的一个法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为 . 18. 已知双曲线，是其右顶点，定点，动点，直线交于点，连接并延长交于点. （1）若，证明：为的左顶点； （2）设直线，的斜率分别为，，求证：是定值； （3）若的面积为5，求点坐标. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）或. 【解析】 【分析】（1）先求出的直线方程，再联立该方程和双曲线方程求出的坐标，求出直线的方程后可求，该点即为双曲线的左顶点； （2）设，结合齐次化方法可证； （3）联立的方程和双曲线方程后结合韦达定理可用表示的面积，从而可求，从而可求的坐标. 【小问1详解】 当时，，而，故， 故，由可得，故， 故，故，故， 故，该直线过，而为双曲线的左顶点， 故为双曲线的左顶点. 【小问2详解】 设，， 由可得，整理得， 由可得， 故的坐标为此方程的两组解， 由题设均不为1，故， 即，同理， 故为方程的两个解，故， 而过，故即，故. 【小问3详解】 由题设，而过第一象限和第三象限的渐近线的斜率为， 故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，故， 又，由可得， 故且，， 故，而直线与轴交点坐标为， 故的面积为， 整理得，故，故或， 而，故，结合可得或， 当时，故，此时，故，故； 当时，故，此时， 故， 故； 综上，或. 19. 已知函数 （1）当时，求的最小值； （2）当时，，求的取值范围： （3）已知点，按照如下方式依次构造点：过点作曲线的切线与轴交于点，令为过点且斜率为0的直线与曲线的交点，记的面积为，，证明：. 【答案】（1）0 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数后判断其符号，则可得函数的单调性； （2）求出函数的导数，令，求出后先判断时的符号可得原函数的单调性，再求出的二阶导数，就、分类讨论可确定参数的范围，当时可直接判断的单调性后得原函数的单调性，从而判断参数的范围；也可以利用放缩法证明当不等式恒成立，再结合导数证分类明不等式不恒成立即可；另外利用换元法可将原不等式转化为恒成立，同样可结合导数探求参数的范围； （3）先利用导数的几何意义求得，求出的通项公式后可求面积，从而得的通项，结合（2）的结果可得不等式，结合裂项相消法可证不等式，或者证明，同样可得，再结合裂项相消法可证不等式亦可. 【小问1详解】 时，，，. 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在单调递增，所以. 【小问2详解】 法一：，， 其中，记，， （i）当时，，所以在上单调递减， 又，所以时，，即， 所以在上单调递减，又，所以恒成立， 故合题意； （ii）当时，设，则， 故在上单调递减， 又，所以时，，同（i）可得恒成立， 故合题意； （iii）当时，因为，所以在上单调递减， 此时，， 所以当时，，所以在单调递增， 又，所以，，即， 所以在单调递增， 又，所以，，不合题意. （iv）当时，显然为上的增函数，又， 所以时，，即，所以在上单调递增， 又，所以恒成立，故不合题意； 综上所述，实数的取值范围为. 法二：（i）当时，，， 设，，， 所以在上单调递减， 又，所以，当时，，即， 所以恒成立，故合题意； （ii）当时，，（由第（1）问可知）， 故，不合题意； （iii）当时，， 记，， 为减函数，且，， 所以，当时，，所以在单调递增，又， 所以，，即， 所以在单调递增，又， 所以，，不合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 法三：恒成立等价于恒成立. 令，则不等式可化为：， 令，则，且需对恒成立. 求导得，， 令，， 求导得， 故， ①当时，，所以在上递减， 又，所以，即， 所以在上递减，又，从而，不满足条件. ②当且时，在时，， 同上分析可知，在时，，不满足条件. ③当时，，且对，， 由于，，，即恒成立， 故在上为增函数，故， 即，进一步知为增函数，故，合题意. 综上所述，即为所求. 【小问3详解】 法一：由题意，点在曲线上，设，， 已知，即，过的切线方程为：. 与轴交点的坐标为， 过且斜率为0的直线为， 与曲线的交点满足， 所以是以1为首项，为公比的等比数列， 因此，， 所以，的坐标为，的坐标为， 的底边的长度为，高为1，故面积，， 于是，则， 所以要证，即证， 而（2）中时，任意时，有恒成立， 故有时，恒成立， 令，则有， 所以，，…，， 求和得，所以原不等式成立. 法二：令， 求导得， 所以在单调递增，所以， 令可得恒成立，， 对求和得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $