第3章《图形的平移与旋转》暑假复习巩固 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 北师大版八年级下册第3章图形的平移与旋转暑假单元卷，含单选、填空、解答题，以文化情境（如二十四节气）和生活实例（七巧板）为载体，覆盖平移、旋转核心知识，梯度设计兼顾基础巩固与动态探究，适配暑假综合练习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|轴对称与中心对称判断、平移距离计算|结合文化遗产（二十四节气）考查图形性质，体现数学眼光| |填空题|5/20|中心对称坐标、平移面积计算|基础与能力结合，如原点对称点坐标（抽象能力）| |解答题|10/90|旋转证明、动态几何探究|多题融合平移旋转（如25题旋转过程中面积最值），培养推理意识与空间观念|

北师大版八年级下册暑假综合练习 第3章 图形的平移与旋转 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【解答】 解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2.如图是小慧同学用一副七巧板拼成的小房子，其中①②两个最大的三角形板块是全等的等腰直角三角形．要通过一次变换使这两个大三角形完全重合，下列说法正确的是（     ） A.通过一次平移变换即可实现 B.通过一次旋转变换即可实现 C.通过一次轴对称变换即可实现 D.上述单一变换都无法实现 【答案】 A 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：通过一次平移变换即可实现这两个大三角形完全重合. 3.如图，把沿所在的直线向右平移一段距离，且点与点对应，则平移的距离为（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据平移的性质解答即可. 【解答】 解：由图中数据可知， ， 把 沿AB所在的直线向右平移一段距离， 平移距离为 4.如图，点P为等边内一点，连接，且，若等边绕点P旋转一定角度后，能与自身重合，则旋转的角度不可能是（        ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 根据等边三角形的性质及 判断点P为三角形中心，利用旋转对称性确定旋转角度需为 的整数倍即可. 【解答】 解： 是等边三角形，且 点P是 的中心 等边 绕点P旋转能与自身重合的角度必须是 的整数倍 、、 均为 的整数倍 而 不是 的整数倍 旋转的角度不可能是 . 5.如图所示， 为直角三角形，为斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合．如果，那么的长等于（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 利用旋转性质求解。 【解答】 根据旋转的性质,易得，，， ， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得 故选 6.如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到．若四边形的面积为6，则点的坐标为（        ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 根据平移的性质得出四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的面积公式求出AD的长，再根据点A的坐标即可求出点D的坐标. 【解答】 解：∵ 把沿x轴向右平移到， 点A的对应点是点D，点B的对应点是点C， 且， 四边形ABCD是平行四边形， 点A的坐标为(1,3), 平行四边形ABCD的高为3， 四边形ABCD的面积为6， ， ， 点D的横坐标为，纵坐标为3， 点D的坐标为(3,3). 7.如图，已知点、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形，解题的关键是掌握以上知识点. 如图所示，过点 作 轴于点C，根据题意证明出 ，得到OB=AC=1， ，进而求解即可. 【解答】 如图所示，过点 作 轴于点C B(0,1) OB=1 将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段 AB=AB' 又 （AAS） 故选：A. 8.如图，两个全等的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到的位置．若，，，则阴影部分的面积为（     ） A.16 B.18 C.20 D.22 【答案】 B 【解析】 本题考查了平移的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握平移的性质是解题关键，过点G作GH EF于点H，BC与 DE交于点M，由平移的性质可知， ，DF=EF=9， ，BC//EF，进而推出DG=MG=3，根据30度角所对的直角边等于斜边一半得出 GH ，再结合阴影部分的面积 S梯形EFGM求解即可. 【解答】 解：如图，过点G作 于点H，BC与DE交于点M， 由平移的性质可知， ， ， ， BC//EF， 在Rt 中， ， 阴影部分的面积 故选：B. 9.如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，且点C的对应点D恰好落在上，连接 ，则的面积为（        ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 过点B作 于点F，于点H，先根据图形旋转的性质及三角形内角和的性质，证明 ，再分别求出 AD，AE即可. 【解答】 解：过点B作 于点F，于点H， 绕点B顺时针旋转得到 ， , , , , , , , , 四边形AFBH是矩形， , , , , , , , , , , , , 的面积为 10.如图，在中,，将绕点B顺时针旋转得到，延长分别交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 C 【解析】 本题考查了图形旋转的性质、等边三角形的判定与性质、宝等三角形（SAS）的判定与性质及三角形内角和定理，解题的关键是利用旋转的性质得出对应边相等、对应角相等，结合相关定理逐步推导各结论的正确性. 根据旋转性质得 、 ，用三角形内角和求 ，判断②AG BD正确，再由 求 ，得 ，判断①正确；连接AD，由AB=BD、 证 为等边三角形，得 ，用SAS证 ，判断③DG=BG正确；连接CE，由BC=BE、 证 为等边三角形，得CE=BE，结合AG=DE+CG及三角形三边关系（CE 【解答】 解： 绕点B顺时针旋转 得到 ， 正确； 正确； ，如图，连接AD， 是等边三角形， 在 和 中， (SAS), 正确； 连接CE，如图， 将 绕点B顺时针旋转 得到 ， 是等边三角形， 错误； 综上所述，正确的为 ①②③，共3个； 故选：C. 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.已知点与点关于原点对称，则________． 【答案】 【解析】 关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此求出m、n的值即可得到答案。 【解答】 解： 点A(m，-1)与点B(2026，n)关于原点对称， ∴ m=-2026,n=-(-1)=1， ∴ mn=-2026× 1=-2026. 12.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．将线段沿某一方向平移后得到，若点的对应点的坐标为．则点的对应点的坐标为________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了平移的性质，由 平移到 可确定平移方式，进而根据平移方式即可确定点 的坐标. 【解答】 解：由 平移到 可知： 点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位， ， 则点 的对应点 的坐标为 故答案为： 13.如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，平移距离为，阴影部分的面积为_______26_____________． 【答案】 【解析】 先判断出阴影部分面积等于梯形的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，根据平移的距离求出，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】 解：两个三角形大小一样， 阴影部分面积等于梯形的面积， 由平移的性质得，，， ，， ， 阴影部分的面积＝＝ 故答案为：26. 14.如图，设是等边内的一点，，，，则的度数是   ． 【答案】 【解析】 将绕点逆时针旋转得，连，，根据旋转的性质及勾股定理即可求解. 【解答】 为等边三角形，， 可将绕点逆时针旋转得， 连，如图， ，，， 为等边三角形， ，， 在中，，，， ， 为直角三角形，且， ． 故答案为．   15.如图，中，，以为腰在直线的另一侧作等腰， 且，连接．若则   ：线段长的最大值是 。    【答案】 , 【解析】 由题意可得和为等腰直角三角形，可求得长，然后在中，由勾股定理即可求得的长；将绕点逆时针旋转，得到，连接、，可得是等腰直角三角形，又是等腰直角三角形，易证，继而可得， 然后在中，根据三角形的三边关系即可求得的最大值，即可得线段长的最大值． 【解答】 解：若，则为等腰直角三角形， 又是等腰直角三角形， ，，， 在中，由勾股定理得：； 如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接、， ，， ， ， 即， 在和中 ，，, ， ， 在中，， 当时，有最大值为：， 又， 线段长的最大值是：． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.(6分) 已知点，解答下列问题： （1）若点与关于原点对称，求点的值； （2）若点，且直线平行于轴，求点的坐标． 【答案】 【解析】 （1）根据原点对称的两点横纵坐标都互为相反数求解即可； （2）根据直线平行于轴可得、两点纵坐标相等列方程计算即可． 【解答】 （1）点与关于原点对称， ， 解得； （2）点，且直线平行于轴， 点纵坐标为， ，解得， ． 17.(6分) 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）与关于某点成中心对称，则对称中心的坐标是       ． （2）将平移，使点的对应点的坐标为，请画出平移后的． （3）连接，，则为   等腰    三角形，面积为  3     ． 【答案】 (0,0) 如图， 即为所求； 等腰；3 【解析】 （1）连接 交于点（0，0），即可； （2）根据平移的性质解答即可； （3）根据勾股定理求出 即可求解. 【解答】 （1）解：如图，连接 交于点（0，0）， 对称中心的坐标是（0，0）； （2）略 （3）解：如图， 根据题意得： 为等腰三角形， 的面积为   18.(6分) 如图，为平面直角坐标系的原点，点在轴上，是边长为的等边三角形，以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到 （1）可以由经过一次平移得到，则平移的距离是        ； （2）连接， 求证：． 【答案】 2 见解析 【解析】 （1）由旋转的性质可知 ，根据等边三角形的性质可知 ，所以可知乎移的距离为2； （2）根据等边三角形的性质可以求出 ，根据等腰三角形的性质可知 ，根据角之间的关系可知 ，从而可证结论成立. 【解答】 （1）解：是边长为2的等边三角形， ， 由旋转可知 ， ， 平移的距离为2； （2）证明：由旋转可知， 和 为等边三角形， ， , , , , , . 19.（8分）如图，在中，，，是边上一点点与，不重合，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接交于点，连接． 求证：； 当时，求的度数． 【答案】 证明见解析；． 【解析】 由题意可知：，，由于，从而可得，根据即可证明； 由可知：，，从而可求出的度数． 【解答】 由题意可知：，， ， ， ， ， 在与中， ， ； ，， ， 由（1）可知：， ， ， ． 20.(10分)如图，在四边形中，，，，将，分别平移到和的位置． （1）求证：为直角三角形． （2）若，，，求的长． 【答案】 见解析； 5. 【解析】 （1）由平移的性质，得 ，则 ，得出 ，从而求证； （2）由平移的性质，得 ，由（1）得 是直角三角形，然后通过勾股定理和线段的和与差即可求解. 【解答】 （1）证明：由平移的性质，得 ， 是直角三角形； （2）解：由平移的性质，得 ，由（1）得 是直角三角形， ， 21.(10分) 如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． （1）求的度数； （2）若，求的长度； （3）求证：是等边三角形． 【答案】 60° 2 证明: 在 和 中, (SSS), 由 (1) 得 , 即 是等边三角形. 【解析】 (1) 由等边三角形的性质得 , 由三线合一得到 , 由 得 , 则 . (2) 先求得 , 由平移得 , 则 , 即可等量代换 , 则 . (3) 由 , 求得 , 可根据 “SSS” 证明 , 得 , 而 , 所以 , 即可根据 “有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形” 证明 是等边三角形. 【解答】 (1) 解: 是等边三角形, , 是 的中点, , 垂足为 的度数是 . (2) 解: , 是由 沿 方向平移得到的, 的长是 2. (3) 证明: 在 和 中, (SSS), 由 (1) 得 , 即 是等边三角形.   22.(10分) 如图，四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，，．求的长． 【答案】 见解答； ． 【解析】 （1）根据、、证即可； （2）连接，可得是等边三角形，即、，继而在中，由勾股定理可得的长，即可求得． 【解答】 （1）是等边三角形，，， 由旋转的性质可得： ，， ， 即． 在和中， ， ， ； （2）连接． ，， 是等边三角形． ，． ， ． ，， ． 在中，由勾股定理， 可得． ．  23.(11分) 在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图的位置时，试问、、的等量关系?并说明理由． 【答案】 证明：∵ ，， ， ， 即， 又， ∴ ， 在和中， ∴ . 解：结论：， 理由：如图，，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又， ∴ ， 在和中， ∴ ， ∴ ，， ∴ . 【解析】 （1）由已知推出，因为，推出，根据即可得到答案 （2）与证法类似可证出，能推出，得到，即可得到答案． 【解答】 （1）证明：∵ ，， ， ， 即， 又， ∴ ， 在和中， ∴ . （2）解：结论：， 理由：如图，，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又， ∴ ， 在和中， ∴ ， ∴ ，， ∴ .  24.(11分) 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标，点的坐标是，将线段向右平移得到线段，点的坐标为，过点作轴，垂足为，动点以每秒个单位长度的速度匀速从点出发，沿着的方向向终点运动，设运动时间为秒. （1）点的坐标是______，当点出发秒时，则点的坐标是______； （2）当点运动时，用含的式子表示出点的坐标； （3）当点在线段上运动时，是否存在点使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点的坐标；若不存在，试说明理由. 【答案】 ；,； 点在上运动时，，点在上运动时， 存在，或 【解析】 （1）根据题意，，进而求出点的坐标；由题意得，，，点在上，且，进而表示出点的坐标； （2）当点在上运动时，当点在上运动时，分别表示出点的坐标即可作答； （3）先求出四边形的面积,点在上运动时列方程求解即可． 【解答】 （1）解：点的坐标是，点的坐标为， 由平移的性质得， 点的坐标， ； 由题意得，，， 点的运动速度为每秒个单位长度， 出发秒时，运动的距离为个单位长度， 此时点在上，且， 点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：当点在上运动时， ， 点的坐标为； 当点在上运动时， ， 点的坐标为， 点的坐标为； （3）解：四边形的面积为， ， 当点在上运动时，边上的高为， 即， 解得， 点的坐标为或， 25.(12分) 已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． （1）如图1，当点M落在边上时，求线段的长； （2）如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为___7_____． 【答案】 7 ，理由见解析； 【解析】 （1）先利用勾股定理求出AC的长，过点C作CD AB于点D，根据 ，可得CD=12，可得AD=9，由旋转的性质得：AC=CM=15，从而得到AM=2AD=18，即可求解； （2）①由旋转的性质得：AC=MC，BC=NC， ，从而得到 ，进而得到 ，再由 ，可得 ，即可解答； ②根据勾股定理可得 ，再由旋转的性质得：AB=MN=25，即可求解； ③延长AC至点T，使CT=CM，过点N作NK AC交AC延长线于点K，连接NT，结合旋转的性质可得， 【解答】 解：（1）如图，过点C作CD AB于点D， 解得：CD=12， 由旋转的性质得：AC=CM=15， (2) 解： ，理由如下： 由旋转的性质得： 即 即 即 由旋转的性质得：AB=MN=25， ③如图，延长 至点 ，使 ，过点N作 交AC延长线于点K，连接NT，如图， 由旋转的性质得： 由旋转的性质得： 在 和 中， 当NK最大时， 最大， 而NK的最大值为NC=20， 的最大值为 故答案为：300. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版八年级下册暑假综合练习 第3章 图形的平移与旋转 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（        ） A. B. C. D. 2.如图是小慧同学用一副七巧板拼成的小房子，其中①②两个最大的三角形板块是全等的等腰直角三角形．要通过一次变换使这两个大三角形完全重合，下列说法正确的是（     ） A.通过一次平移变换即可实现 B.通过一次旋转变换即可实现 C.通过一次轴对称变换即可实现 D.上述单一变换都无法实现 3.如图，把沿所在的直线向右平移一段距离，且点与点对应，则平移的距离为（        ） A. B. C. D. 4.如图，点P为等边内一点，连接，且，若等边绕点P旋转一定角度后，能与自身重合，则旋转的角度不可能是（        ） A. B. C. D. 5.如图所示， 为直角三角形，为斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合．如果，那么的长等于（       ） A. B. C. D. 6.如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到．若四边形的面积为6，则点的坐标为（        ） A. B. C. D. 7.如图，已知点、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8.如图，两个全等的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到的位置．若，，，则阴影部分的面积为（     ） A.16 B.18 C.20 D.22 9.如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，且点C的对应点D恰好落在上，连接 ，则的面积为（        ） A. B. C. D. 10.如图，在中,，将绕点B顺时针旋转得到，延长分别交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.已知点与点关于原点对称，则________． 12.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．将线段沿某一方向平移后得到，若点的对应点的坐标为．则点的对应点的坐标为________． 13.如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，平移距离为，阴影部分的面积为___________________． 14.如图，设是等边内的一点，，，，则的度数是   ． 15.如图，中，，以为腰在直线的另一侧作等腰， 且，连接．若则   ：线段长的最大值是 。    三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.(6分) 已知点，解答下列问题： （1）若点与关于原点对称，求点的值； （2）若点，且直线平行于轴，求点的坐标． 17.(6分) 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）与关于某点成中心对称，则对称中心的坐标是       ． （2）将平移，使点的对应点的坐标为，请画出平移后的． （3）连接，，则为       三角形，面积为       ． 18.(6分) 如图，为平面直角坐标系的原点，点在轴上，是边长为的等边三角形，以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到 （1）可以由经过一次平移得到，则平移的距离是        ； （2）连接， 求证：． 19.（8分）如图，在中，，，是边上一点点与，不重合，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接交于点，连接． 求证：； 当时，求的度数． 20.(10分)如图，在四边形中，，，，将，分别平移到和的位置． （1）求证：为直角三角形． （2）若，，，求的长． 21.(10分) 如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． （1）求的度数； （2）若，求的长度； （3）求证：是等边三角形． 22.(10分) 如图，四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，，．求的长． 23.(11分) 在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图的位置时，试问、、的等量关系?并说明理由． 24.(11分) 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标，点的坐标是，将线段向右平移得到线段，点的坐标为，过点作轴，垂足为，动点以每秒个单位长度的速度匀速从点出发，沿着的方向向终点运动，设运动时间为秒. （1）点的坐标是______，当点出发秒时，则点的坐标是______； （2）当点运动时，用含的式子表示出点的坐标； （3）当点在线段上运动时，是否存在点使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点的坐标；若不存在，试说明理由. 25.(12分) 已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． （1）如图1，当点M落在边上时，求线段的长； （2）如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $