精品解析：2026年山东泰安市泰山区东岳中学等校中考考前自测数学试题

九年级数学试题 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 通过《实数》一章的学习，我们知道，是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，聪明的小玉认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用来表示的小数部分，点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m，小数部分为n，则下列关于m，n的说法正确的是（ ） A. m，n均为有理数 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数在数轴上的表示、无理数的整数部分与小数部分的确定以及数的大小比较．熟练掌握实数在数轴上的表示、无理数的整数部分与小数部分的确定以及数的大小比较是解题的关键． 首先根据点在数轴上的位置确定其整数部分和小数部分，然后再分别对各个选项进行分析判断． 【详解】解：由数轴可知，点在4和5之间。因为其整数部分为，小数部分为，所以， 又因为一个数等于它的整数部分加上小数部分，那么，即是点所表示的数减去4，所以是一个大于0小于1的无理数． A：由前面可知是有理数，是无理数，所以m，n不都是有理数，故该选项错误； B：已知，那么，所以是错误的，故该选项错误； C：因为，，那么，所以，故该选项错误； D：因为，，那么，故该选项正确； 故选：D． 2. 七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解∶由图可知∶该几何体的俯视图是． 3. 假设安徽省年夏粮早稻总产量亿斤，亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示，科学记数法要求形式为，满足，为整数，解题需先换算单位，再确定和的值. 【详解】解：亿 ， 亿 ， 调整使满足， 可得：， 故选：C. 4. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项等计算法则求解即可.． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 5. 将两个三角形纸片按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， ， ． 6. 已知四根电线中三根电线通电，小明做实验需要两根电线，他从四根电线中，随意选择两根电线，接上小灯泡的正负极，能发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：设能通电的三根电线为、、，不能通电的电线为， 列表得： 共有12种等可能出现的结果，其中选择两根电线，接上小灯泡的正负极，能发光的情况有种， ∴他从四根电线中，随意选择两根电线，接上小灯泡的正负极，能发光的概率是， 故选：C． 7. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：今有清酒一斗直粟九斗，醑酒一斗直粟四斗．今持粟五斛，得酒七斗，问清、醑酒各几何？意思是：现有一斗清酒价值9斗谷子，一斗醑酒价值4斗谷子，现在拿50斗谷子，共换了7斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“现在拿50斗谷子，共换了7斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设清酒x斗，醑酒y斗， 依题意，得：． 故选：A． 8. 如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，求圆锥的底面半径，先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴，， ∴，， ∴， 过点作于点，则：， 设圆锥的底面圆的半径为，则：， ∴； 故选B． 9. 某水果超市准备用300元购进一批橙子进行销售，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得，变形得． 10. 如图，在中,，点D为中点，连接，点E、点F分别为、上两动点，过点F作于点H，当取最小值时，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质（三线合一）、轴对称的性质、等边三角形的判定（有一个角为的等腰三角形是等边三角形）、全等三角形的判定与性质、垂线段最短定理及三角形面积公式，解题的关键是通过轴对称转化折线为垂线段，利用全等和等边三角形性质求出等腰三角形的边长与高，进而计算面积． 由、为中点，得垂直平分，故；作关于的对称点，得、，且由、得，将转化为；根据垂线段最短，当、、、共线且垂直时和最小，由得；因、，故为等边三角形，得，即；由对称得且，最后用面积公式计算． 【详解】解：连接，过点C作的对称点O，连接，过点F作 ⊥ 于点N，作 于点P， ∴， ∵，点D为中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点，P共线时，取得最小值，如图： 记交于点Q， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴此时， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵关于对称， ∴， 故选：C． 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11. 若分式的值为0，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】分式值为0的条件是分子为0，且分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得． 12. 如图，将一张长方形纸片按如下步骤折叠：（1）如图1，将纸片对折，点B落在点C处，得到折痕后展开纸片；（2）如图2，将对折，点B落在折痕上的点处，得到折痕；（3）如图3，将对折，点C落在折痕上的点处，得到折痕，则的度数为_________ 度． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠得出，，，然后求出结果即可． 【详解】解：根据折叠可得：，，， ∴， ∴． 13. 小明在一台计算器上看到有一个符号“”，他进行了输入运算实验，发现，，，随着的增大，的值增大，若、是两个相邻的整数，，则______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了数字规律探索，有理数乘方的逆运算，解决本题的关键是根据已知等式总结规律，再结合规律对所求式子进行化简．根据，，，可得，再根据、是两个相邻的整数，求出a，b的值即可解答． 【详解】解：，，， ， ， ， 、是两个相邻的整数，即， ， 故答案为：15． 14. 为了让大家都能用上实惠药，医保局与药商多次谈判，将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，先设每次降价的百分率是，根据将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，列式，再解出的值， 即可作答． 【详解】解：依题意，设每次降价的百分率是， ∵将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）； 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点、、A、、B、、C、…，都是平行四边形的顶点，点A、B、C、…在x轴正半轴上，，，，，，，，平行四边形按照此规律依次排列，则第7个平行四边形的对称中心的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中平行四边形的规律探究与对称中心的计算，解题的关键是根据已知条件推导各平行四边形顶点的坐标规律，进而求出对称中心坐标． 先根据和确定第一个平行四边形的顶点坐标；再依次推导后续平行四边形的顶点坐标，结合对称中心为对角线中点的性质，计算各平行四边形的对称中心坐标，最后总结出第个平行四边形对称中心的坐标公式． 【详解】解：第1个平行四边形： 过作x轴的垂线，垂足为， ∵， ∴为等腰直角三角形．又， ∴由勾股定理得， 已知，因此与重合，且． ∴坐标为， ∵， ∴对称中心为的中点，即． 第2个平行四边形： 同理可推得，又， ∴顶点，， ∴对称中心为的中点，即． 第3个平行四边形： 同理可推得，又， ∴顶点，， ∴对称中心为的中点，即． 推导规律： 观察可得，第个平行四边形的对称中心横坐标为，纵坐标为． 将代入规律公式：横坐标，纵坐标． 故对称中心坐标为． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分90分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（）；（）． 【解析】 【分析】（）先进行负整数指数幂的运算，三角函数值的运算化简绝对值，再进行实数的运用即可； （）先将括号里的异分母分式相减化为同分母分式相减，再算分式的除法运算得以化简; 本题考查了负整数指数幂的运算，三角函数值的运算化简绝对值及分式的化简，熟练掌握运用法则及分式的通分和约分是解题的关键． 【详解】解：（）原式， ， ； （）原式， ， ， ， ， ． 17. 下面是小乐设计的利用已知矩形作一个内角为角的菱形的尺规作图过程． 已知：矩形． 求作：菱形，使． 作法：①作的角平分线； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交射线于点； ③分别以点，为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形即为所求作的菱形． （1）请你用直尺和圆规，完成②③步的尺规作图（保留作图痕迹）； （2）填空： ①四边形是菱形的依据 ； ②连结，，四边形的形状是 ，依据是 ． 【答案】（1） 四边形即为所求菱形： （2）①四条边相等的四边形是菱形； ②平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据题目给出的作图步骤，先用圆规以点为圆心、长为半径画弧，与角平分线交于点；再分别以点、为圆心、长为半径画弧，两弧交点为，最后连接、，保留所有作图痕迹即可． （2）①先根据作图过程得到四边形的四条边相等，再依据菱形的判定定理作答；②先根据矩形和菱形的性质，推导出四边形的一组对边平行且相等，再依据平行四边形的判定定理作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵由作图可知：，，， ∴， ∴四边形是菱形（依据：四条边相等的四边形是菱形）； ②∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形（依据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 18. 元宵节是中国的传统节日之一，元宵节主要有赏花灯、吃汤圆、猜灯谜等习俗，某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的汤圆．已知购进甲种汤圆的金额是1200元，购进乙种汤圆的金额是800元，购进的甲种汤圆比乙种汤圆多20袋．甲种汤圆的单价是乙种汤圆单价的倍． （1）求甲、乙两种汤圆的单价分别是多少元； （2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种汤圆共120袋，若总金额不超过1300元，最多购进______袋甲种汤圆． 【答案】（1）甲种汤圆的单价是12元，乙种汤圆的单价为10元； （2）50． 【解析】 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，读懂题意，找出等量关系和不等关系，正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种汤圆的单价是x元，甲种汤圆的单价为元，根据“购进的甲种汤圆比乙种汤圆多20袋”列分式方程，解方程并检验即可得到答案； （2）设购进m袋甲种汤圆，则购进袋乙种袋汤圆，根据“总金额不超过1300元”列出一元一次不等式，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设乙种汤圆的单价是x元，甲种汤圆的单价为元，根据题意得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解，并符合题意， ， 所以，甲种汤圆的单价为12元，乙种汤圆的单价是10元． 【小问2详解】 设购进m袋甲种汤圆，则购进袋乙种袋汤圆，根据题意得： ， 解得，， 当时购进数量最多， 所以最多购进袋甲种50袋汤圆． 19. 月日，某校开展以“珍爱地球人与自然和谐共生”为主题的竞赛活动，竞赛成绩分为，，，四个等级，依次记为分，分，分，分，学校随机抽取了名学生的成绩进行整理，绘制如下统计图： （1）补全统计图； （2）此次测试中被抽查学生成绩的中位数为 分； （3）求被抽查学生的平均成绩； （4）学校决定，给成绩在分及以上的同学授予“生态保护先锋”称号．根据上面的统计结果，估计该校名学生中将获得“生态保护先锋”称号的人数． 【答案】（1）图见解析 （2） （3）分 （4）名 【解析】 【分析】（1）用抽取的总人数减去已知等级人数求出等级的人数，即可补全条形统计图； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据平均数的定义求解即可； （4）用总人数乘以样本中成绩在分及以上的人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：等级的人数为：（名），补全统计图如下： 【小问2详解】 解：由统计图可知：第、名学生成绩均在等级， 此次测试中被抽查学生成绩的中位数为（分）． 故答案为：； 【小问3详解】 解：被抽查学生的平均成绩为（分）； 【小问4详解】 解：（名）， 故估计该校名学生中将获得“生态保护先锋”称号的人数为名． 【点睛】本题主要考查了条形统计图、数据的中位数、平均数、利用样本估计总体，从统计图中获取相关信息是解决本题的关键． 20. 已知平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）用含a的代数式表示b； （2）当时，二次函数的最小值为，求a的值； （3）将函数的图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新函数图象顶点记为点P，点Q在该新函数图象上．当最小时，的面积为4，直接写出点P和点Q的坐标． 【答案】（1）； （2）a的值为或2； （3），点或． 【解析】 【分析】（1）把点代入二次函数即可求解； （2）先求出对称轴为直线，然后分当时和当时两种情况求解即可； （3）求出平移后的顶点，由求出当时，取得最小值，设，过点Q作x轴的垂线，交于点H，则，然后利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入二次函数得， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴对称轴为直线， 当时，抛物线开口向下，当时，y取得最小值， ∴， ∴， 当时，抛物线开口向上，当时，y取得最小值，， ∴， ∴， 综上a的值为或2； 【小问3详解】 解：由得，顶点为， ∵图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度后， ∴顶点P为， ∵， ∴当时，取得最小值，即取得最小值， ∴点P为时，最小， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴直线为， 当时，平移后的新函数为， 设，过点Q作x轴的垂线，交于点H，则， ∵的面积为4， ∴， ∴， 解得或， ∴点或． 21. 如图1是一辆曲臂云梯消防车的实物图，图2和图3是其工作示意图．曲臂云梯消防车伸缩臂和曲臂可分别绕点A，点B在一定范围内转动，它们的张角分别为和，且当张角满足，时，才能保证消防车在伸展和旋转过程中的稳定性．已知，且，当伸缩臂和曲臂完全伸出时，长为，长为． （1）如图2，若，，求的长； （2）如图3，当达到最大角度时，云梯的顶端C升到最高处，求此时的长． （参考数据： ，结果保留整数．） 【答案】（1）的长为 （2）此时的长约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用三角函数表示边与边的关系是解题的关键． （1）分别过点作于点，作于点，可得，则可求得，再加上，即可解答； （2）分别过点作于点于点于点，解直角三角形求得和，再加上，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，分别过点作于点，作于点， ． ， ． ， ， ． 四边形为矩形． ． ， ． ， 在中，． ． ． 答：的长为． 【小问2详解】 解：如图，分别过点作于点于点于点， ． 由（1）得，四边形为矩形． ． ， ，在中，， ． 同理：． ． 答：此时的长约为． 22. 如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，N是抛物线上一个动点且在第三象限，设点N的横坐标为m，过点N作x轴的垂线，交x轴于点M，交于点P． （1）用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； （2）若，求点P的坐标． 【答案】（1），最大值为 （2）点P的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的结合，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据二次函数的解析式求出抛物线与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式，表示出点的坐标，然后表示出线段的长度，最后根据二次函数的性质求出最值即可； （2）根据线段的数量关系列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ． 当时，有， 解得：，． ，． 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为． 点N的横坐标为m， ，． ， ， ， 当时，取最大值； 【小问2详解】 解：轴，， ． ， 或（舍去）． 此时点P的坐标为． 23. 如图，等边三角形，点D为边上一动点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接交直线于点F． （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，当三点共线时，连接，点G为中点，连接，过点G作于点H，请猜想的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，连接，点D在边上运动时，点P为线段上一点，点Q为线段上一点，连接，且，当以及均最小时，连接，若，直接写出当以及均最小时对应的面积． 【答案】（1）； （2） ； 证明：连接，延长至点Q使得，连接，如图2， 点G为中点， ， 在和中， ， ， 将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ， 三点共线， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）． 【解析】 【分析】（1）过点F作于点H，根据旋转的性质及等边三角形的性质在和中，解直角三角形，再利用线段的和差关系进行求解即可； （2）连接，延长至点Q使得，连接，证明，旋转，结合等边对等角，求出 ，三线合一得到垂直平分，进而得到，证明，得到，为含角的直角三角形，进而求出，线段的和差关系求出； （3）延长至点F，使，证明，从而推出，得到点E在直线上运动，垂线段最短，得到时最短，得到此时三点共线，结合（2）中结论得到，将绕点A旋转，得到，连接，证明，得到，进而得到当三点共线时，有最小值，求出的长，进而确定的位置，利用面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： 过点F作于点H， 将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 在中， ， 在中，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：延长至点F，使，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点E在直线上运动， 当时，最小， 此时， ， 当最小时，点三点共线， 由（2）可知，此时D为中点， ， ， 如图4，将绕点A旋转，得到，连接， 则， 为等腰直角三角形， ， 又， ， ， ， 当三点共线时，有最小值， 过点P作， ， ， ， ， ， ． 如图5，当以及均最小时，位置如图， 则 ， 过点C作，则，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 通过《实数》一章的学习，我们知道，是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，聪明的小玉认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用来表示的小数部分，点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m，小数部分为n，则下列关于m，n的说法正确的是（ ） A. m，n均为有理数 B. C. D. 2. 七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 假设安徽省年夏粮早稻总产量亿斤，亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将两个三角形纸片按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知四根电线中三根电线通电，小明做实验需要两根电线，他从四根电线中，随意选择两根电线，接上小灯泡的正负极，能发光的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：今有清酒一斗直粟九斗，醑酒一斗直粟四斗．今持粟五斛，得酒七斗，问清、醑酒各几何？意思是：现有一斗清酒价值9斗谷子，一斗醑酒价值4斗谷子，现在拿50斗谷子，共换了7斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 9. 某水果超市准备用300元购进一批橙子进行销售，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中,，点D为中点，连接，点E、点F分别为、上两动点，过点F作于点H，当取最小值时，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11. 若分式的值为0，则___________． 12. 如图，将一张长方形纸片按如下步骤折叠：（1）如图1，将纸片对折，点B落在点C处，得到折痕后展开纸片；（2）如图2，将对折，点B落在折痕上的点处，得到折痕；（3）如图3，将对折，点C落在折痕上的点处，得到折痕，则的度数为_________ 度． 13. 小明在一台计算器上看到有一个符号“”，他进行了输入运算实验，发现，，，随着的增大，的值增大，若、是两个相邻的整数，，则______． 14. 为了让大家都能用上实惠药，医保局与药商多次谈判，将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点、、A、、B、、C、…，都是平行四边形的顶点，点A、B、C、…在x轴正半轴上，，，，，，，，平行四边形按照此规律依次排列，则第7个平行四边形的对称中心的坐标是______． 三．解答题（共8小题，满分90分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 下面是小乐设计的利用已知矩形作一个内角为角的菱形的尺规作图过程． 已知：矩形． 求作：菱形，使． 作法：①作的角平分线； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交射线于点； ③分别以点，为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形即为所求作的菱形． （1）请你用直尺和圆规，完成②③步的尺规作图（保留作图痕迹）； （2）填空： ①四边形是菱形的依据 ； ②连结，，四边形的形状是 ，依据是 ． 18. 元宵节是中国的传统节日之一，元宵节主要有赏花灯、吃汤圆、猜灯谜等习俗，某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的汤圆．已知购进甲种汤圆的金额是1200元，购进乙种汤圆的金额是800元，购进的甲种汤圆比乙种汤圆多20袋．甲种汤圆的单价是乙种汤圆单价的倍． （1）求甲、乙两种汤圆的单价分别是多少元； （2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种汤圆共120袋，若总金额不超过1300元，最多购进______袋甲种汤圆． 19. 月日，某校开展以“珍爱地球人与自然和谐共生”为主题的竞赛活动，竞赛成绩分为，，，四个等级，依次记为分，分，分，分，学校随机抽取了名学生的成绩进行整理，绘制如下统计图： （1）补全统计图； （2）此次测试中被抽查学生成绩的中位数为 分； （3）求被抽查学生的平均成绩； （4）学校决定，给成绩在分及以上的同学授予“生态保护先锋”称号．根据上面的统计结果，估计该校名学生中将获得“生态保护先锋”称号的人数． 20. 已知平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）用含a的代数式表示b； （2）当时，二次函数的最小值为，求a的值； （3）将函数的图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新函数图象顶点记为点P，点Q在该新函数图象上．当最小时，的面积为4，直接写出点P和点Q的坐标． 21. 如图1是一辆曲臂云梯消防车的实物图，图2和图3是其工作示意图．曲臂云梯消防车伸缩臂和曲臂可分别绕点A，点B在一定范围内转动，它们的张角分别为和，且当张角满足，时，才能保证消防车在伸展和旋转过程中的稳定性．已知，且，当伸缩臂和曲臂完全伸出时，长为，长为． （1）如图2，若，，求的长； （2）如图3，当达到最大角度时，云梯的顶端C升到最高处，求此时的长． （参考数据： ，结果保留整数．） 22. 如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，N是抛物线上一个动点且在第三象限，设点N的横坐标为m，过点N作x轴的垂线，交x轴于点M，交于点P． （1）用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； （2）若，求点P的坐标． 23. 如图，等边三角形，点D为边上一动点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接交直线于点F． （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，当三点共线时，连接，点G为中点，连接，过点G作于点H，请猜想的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，连接，点D在边上运动时，点P为线段上一点，点Q为线段上一点，连接，且，当以及均最小时，连接，若，直接写出当以及均最小时对应的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $