精品解析：2025年山东省泰安市泰山学院附属中学中考三模数学试题

泰山学院附属中学数学模拟试卷 本试卷共8页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必领用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项选出来，选错、不选或选的答案超过一个，均记零分． 1. 无理数的产生不仅是数学史上的一个重要里程碑，也对整个科学和哲学产生了深远的影响．下列四个数是无理数的是（ ） A. 0.1313 B. C. D. 2. 截至2025年1月31日（仅上线21天）， 日活跃用户数达到2215万，这一数字已超过豆包的日活跃用户数，稳居我国AI应用活跃度榜首．将2215万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 5. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某校为了促进学生对数学文化知识的了解，开展了讲数学家故事的活动，选手通过抽取卡片的形式选取故事的主人公．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、殴拉四位数学家的画像，依次制成编号为，， ，的四张卡片（除编号和内容外．其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，一人从中随机抽取一张，放回洗匀后，另一人再从中随机抽取一张，则甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 若与是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知在等腰直角三角形ABC中，，，点D是斜边上的一点，连接， 与关于对称，连接并延长交的延长线于点O，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件．已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，小聪最多可以购买钢笔多少支？设小聪最多能买x支钢笔．可列出不等式（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，， ，若 ，，则四边形的面积为（ ） A. 44 B. 48 C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 二元一次方程组的解是_____________． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 13. 如图，在中，按下列步骤作图： ①分别以点B，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点I，J，连接 分别交 于点E，D； ②以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交 于点G，F； ③分别以点G，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，连接并延长交于点K，连接，若，，则的值为________． 14. 喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义：对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：1，4，9这三个数，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是2，最大的算术平方根是6．已知2，a，8三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则a的值________． 15. 如图，在矩形 中， ，，点P为对角线上的一个动点（点P不与点A，点C重合），点P关于的对称点为点E，点P关于的对称点为点F，连接，且经过点B，则在点P的运动过程中，线段长度的最小值等于________． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤． 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中x满足 ． 17. 某校对七、八年级学生进行了“国家安全知识”测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）． 【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）． 【整理数据】将抽取的两个年级成绩进行整理，用x表示成绩，分成五组：A． ，B． ，C． ，D． ，E． ． ①七年级学生成绩在C组的具体数据是：85，85，86，87，87，88，89，89． ②八年级学生成绩在D组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94． ③将七、八年级的样本数据整理并绘制成不完整的统计图如图： 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 92 100 57.4 八年级 92.6 m 100 49.2 根据以上信息解答下列问题： （1）扇形统计图中的________，________；频数分布直方图中C组的频数是________； （2）本次抽取八年级学生成绩的中位数________；本次抽取七年级学生成绩的中位数落在________组（填“A”或“B”或“C”或“D”或“E”）； （3）分析两个年级样本数据的对比表，你认为________年级的学生测试成绩较为稳定（填“七”或“八”）； （4）若八年级有400名学生参加了此次测试，估计参加此次测试的学生中，求该年级成绩不低于95分的学生的人数． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线： 交反比例函数的图象于点P，交x轴于点Q，交y轴于点M，已知，点P到y轴的距离为2． （1）求直线和反比例函数的解析式； （2）如图1，点N在反比例函数第三象限的图象上，若，直接写出N的横坐标t的取值范围； （3）如图2，将直线： 沿y轴向下平移，平移后的直线与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，交y轴于点B，且，求直线到直线的平移距离． 19. 根据下列素材，完成探索任务． 核验山区5G信号塔高度项目 素材1 图①是某山区信号塔高度检测基地的横断面示意图，它是由一段斜坡与一段水平地面构成．斜坡用表示，水平地面用表示．有两个监测点分别在斜坡的端点A点处与水平地面上的C点处．根据选址时勘测日志中的记载，A点的地面海拔高度为592米，B点的地面海拔高度为542米，A、B两点垂直方向上的高度差即为海拔差，在整个检测过程中，检测员小李从A点到B点共走了130米，从B点到C点共走了60米． 素材2 图②为信号塔高度检测基地与修建在山上的5G信号塔与山的横断面示意图，垂直于水平面的5G信号塔就建在山上的Q点处．根据施工日志资料显示，信号塔底Q点的海拔高度为802米．检测员小李在检测基地的A点处利用测角仪测得塔顶P点的仰角为，在C点利用测角仪测得塔顶P点的仰角为，测角仪的高度忽略不计． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比． 任务二 如图②，根据小李记录下的测量数据，求这个5G信号塔的高度．（参考数据：，， ，，，） 20. 综合与实践： 准备 在复习探究《几何图形变化》的时候，老师让同学们准备了两张全等的直角三角形纸片，并且把它们的一条直角边重合在一起（如图），已知，，． 实践探究 平移 如图 ，小明同学把沿直线 平移，当点与点重合时，点与点重合，点的对应点为点． 结论：四边形 是矩形，判断该结论是否正确：________，填“正确”或“错误” 旋转 如图 ，小红同学把绕点顺时针旋转，当点的对应点恰好落在边上时，点B的对应点为点，与边交于点． 结论 ：可求出图中任意一条线段的长，如； 对折 如图 ，若点，分别是，的中点，小军同学将沿着直线 对折，点的对应点为． 结论 ：点，，在同一条直线上． 验证计算 根据以上同学对三种图形变化的探究，请你完成结论的判断，结论 的计算，结论 的证明． 21. 如图，在中，，平分，交于点，交于点，作 交于点，交于点，且 ． （1）求 的度数； （2）探究线段 的数量关系，并说明理由； （3）若 ，求的值．（直接写出计算的结果） 22. 如图，在中，，以为直径的分别交边，于点D，F，过点D作于点E． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，，求的长； （3）若 ， ，求图中阴影部分的面积．（直接写出计算的结果） 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数）． （1）将抛物线向上平移2个单位，若平移后的抛物线过点，求a的值； （2）若抛物线的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，求a的取值范围； （3）若， ①在抛物线上有两点，，若，则m的取值范围是________； ②当时，该二次函数的最大值与最小值的和为，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰山学院附属中学数学模拟试卷 本试卷共8页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必领用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项选出来，选错、不选或选的答案超过一个，均记零分． 1. 无理数的产生不仅是数学史上的一个重要里程碑，也对整个科学和哲学产生了深远的影响．下列四个数是无理数的是（ ） A. 0.1313 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数．无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，据此逐一判断即可得答案． 【详解】A． 0.1313是有理数，不符合题意； B．是有理数，不符合题意； C．是有理数，不符合题意； D．是无理数，符合题意； 故选：D． 2. 截至2025年1月31日（仅上线21天）， 日活跃用户数达到2215万，这一数字已超过豆包的日活跃用户数，稳居我国AI应用活跃度榜首．将2215万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：2215万用科学记数法表示为． 故选：C． 3. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故A不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意． 故选：C． 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是从左向右观察到的图形，掌握三视图的定义是解题关键，根据三视图的定义即可解题． 【详解】解：根据三视图可知，B选项中几何体符合题意， 故选：B． 5. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，用数轴表示不等式的解集，根据二次根式和分式有意义的条件，列出不等式组，求解后，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴； 在数轴上表示解集如图： 故选D． 6. 某校为了促进学生对数学文化知识的了解，开展了讲数学家故事的活动，选手通过抽取卡片的形式选取故事的主人公．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、殴拉四位数学家的画像，依次制成编号为，， ，的四张卡片（除编号和内容外．其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，一人从中随机抽取一张，放回洗匀后，另一人再从中随机抽取一张，则甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：画树状图如图， 共有种等可能的结果，恰好都抽到中国数学家的结果数为种， ∴甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的概率是， 故选：． 7. 若与是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，得出，的值是解题的关键根据根与系数的关系，可得出，，再根据得出一个关于的一元一次方程，解方程即可得出的值． 【详解】一元二次方程的两个实数根， ，， ∵，即， ∴， ， 故选． 8. 如图，已知在等腰直角三角形ABC中，，，点D是斜边上的一点，连接， 与关于对称，连接并延长交的延长线于点O，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，对称性得到，进而得到 ，设，求出的度数，再进行计算即可． 【详解】解：∵ 与关于对称， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， 设，则：， ∴， ∵； 故选C． 9. 小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件．已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，小聪最多可以购买钢笔多少支？设小聪最多能买x支钢笔．可列出不等式（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设小聪买了x支钢笔，则买了本笔记本，根据“总价=单价×购买数量”结合总价不超过100元，即可得出关于x的一元一次不等式． 【详解】解：设小聪买了x支钢笔，则买了本笔记本， 根据题意得：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，审清题意、明确各量间的关系是解题的关键． 10. 如图，在四边形中，， ，若 ，，则四边形的面积为（ ） A. 44 B. 48 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，推出点 四点共圆，连接，根据勾股定理求出，过点A作 于E，连接，利用等腰三角形性质（“三线合一”）及垂径定理的推论证得，且共线，过点O作 于F，则 ，通过勾股定理求得，根据中位线求得，最后根据 求得结果． 【详解】解：在四边形中，， 四点共圆，设圆心为O， 连接，则是直径， 在中， ，， ， 过点A作 于E， ， 连接，则， 共线， 在中，， ， ， 在中，， 过点O作 于F，则 ， ， ， 在中，， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质（两腰相等、三线合一、等边对等角等）、直角三角形的性质（勾股定理等）以及四点共圆的判定和性质，三角形的中位线定理，垂径定理的推论等知识，解题的关键在于证明 四点共圆的条件，通过共圆得到角之间的关系，再结合等腰三角形和直角三角形的特性进行推理计算．同时，构造辅助线将复杂的四边形问题转化为熟悉的三角形问题，运用三角形的性质和定理求解 ． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 二元一次方程组的解是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握该知识点是解题的关键．直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：，解得 ， 把 代入①得：，解得， ∴原方程组的解为， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点坐标为． 故答案为：． 13. 如图，在中，按下列步骤作图： ①分别以点B，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点I，J，连接 分别交 于点E，D； ②以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交 于点G，F； ③分别以点G，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，连接并延长交于点K，连接，若，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，判断出可得结论，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 【详解】解：由作图可知：， ， ， ， ∵垂直平分线段， ， ， ， 故答案为：． 14. 喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义：对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：1，4，9这三个数，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是2，最大的算术平方根是6．已知2，a，8三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则a的值________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的概念以及对新定义“和谐组合”的理解与运用，解题的关键是根据＂和谐组合＂的定义列出关于的等式，再结合最大算术平方根与最小算术平方根的关系求解． 先根据“和谐组合”的定义，再结合最大算术平方根是最小算术平方根的3倍分情况讨论求出的值． 【详解】由题意可分3种情况， （1）， 解得： ，不符合题意， （2）， 解得： ，符合题意， （3）， 解得：，不符合题意， 综上，的值为18， 故答案为：18． 15. 如图，在矩形中， ，，点P为对角线上的一个动点（点P不与点A，点C重合），点P关于的对称点为点E，点P关于的对称点为点F，连接，且经过点B，则在点P的运动过程中，线段长度的最小值等于________． 【答案】9.6 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，轴对称图形的性质，理解矩形的性质，垂线段最短，熟练掌握轴对称图形的性质，灵活运用三角形的面积公式和勾股定理进行计算是解决问题的关键． 连接 ，过点B作于点H，先由勾股定理求出 ，由三角形的面积公式求出，根据轴对称的性质得，再根据经过点B得，由此得当 为最小时，为最小，根据“垂线段最短”得点P与点H重合时， 为最小，最小值为线段的长，则 的最小值为4.8，进而即可得出的最小值． 【详解】解：连接 ，过点 作于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ，， ∴， ∵， ∴， 根据轴对称的性质得：是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵经过点B， .∴， ∴当 为最小时，为最小， 根据“垂线段最短”得点P与点H重合时， 为最小，最小值为线段的长， ∴ 的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤． 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中x满足 ． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】此题考查实数的混合运算，分式的化简求值，特殊三角函数值的计算， （1）先代入特殊角度的三角函数值，计算零次幂，负指数幂，绝对值，再计算加减法； （2）先计算小括号中的异分母分式减法，将除法化为乘法，再计算乘法化简，最后代入式子的值即可 【详解】解：（1） ； （2）原式 ， ∵ ， ∴， ∴原式． 17. 某校对七、八年级学生进行了“国家安全知识”测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）． 【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）． 【整理数据】将抽取的两个年级成绩进行整理，用x表示成绩，分成五组：A． ，B． ，C． ，D． ，E． ． ①七年级学生成绩在C组的具体数据是：85，85，86，87，87，88，89，89． ②八年级学生成绩在D组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94． ③将七、八年级的样本数据整理并绘制成不完整的统计图如图： 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 92 100 57.4 八年级 92.6 m 100 49.2 根据以上信息解答下列问题： （1）扇形统计图中的________，________；频数分布直方图中C组的频数是________； （2）本次抽取八年级学生成绩的中位数________；本次抽取七年级学生成绩的中位数落在________组（填“A”或“B”或“C”或“D”或“E”）； （3）分析两个年级样本数据的对比表，你认为________年级的学生测试成绩较为稳定（填“七”或“八”）； （4）若八年级有400名学生参加了此次测试，估计参加此次测试的学生中，求该年级成绩不低于95分的学生的人数． 【答案】（1）16，22，13 （2）93，D （3）八 （4）160人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图，用样本估计总体，求中位数，利用方差判断稳定性等知识点，读懂统计图，正确理解题意是解题的关键． (1)由C组的个数除以总数即可求解；再由“”减去 的占比即可求解；组的频数利用减去 组的人数即可求解； (2)利用中位数的概念求解即可； (3)根据方差的意义判断稳定性即可； (4)利用样本估计总体的方法求解． 【小问1详解】 解：，即； ，即， ∵， ∴C组的频数是13； 故答案为：16，22，13； 【小问2详解】 解：将抽取的50名八年级学生成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数为92和94，因此本次抽取八年级学生成绩的中位数， 本次抽取七年级学生成绩的中位数落在D组， 故答案为：93，D； 【小问3详解】 解：样本中七年级学生成绩的方差为57.4，而八年级学生成绩的方差为49.2，由于， 因此八年级的学生测试成绩较整齐； 故答案为：八； 【小问4详解】 解：估计参加此次测试的学生中，该年级成绩不低于95分的学生有：（人）， 故答案为：160． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线： 交反比例函数的图象于点P，交x轴于点Q，交y轴于点M，已知，点P到y轴的距离为2． （1）求直线和反比例函数的解析式； （2）如图1，点N在反比例函数第三象限的图象上，若，直接写出N的横坐标t的取值范围； （3）如图2，将直线： 沿y轴向下平移，平移后的直线与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，交y轴于点B，且，求直线到直线的平移距离． 【答案】（1）， （2） （3）6 【解析】 【分析】本题考查反比例函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，相似三角形判定与性质等，解题的关键是掌握一次函数，反比例函数的相关性质． （1）由，得，代入 中得，故直线的函数解析式为，由点 到 轴的距离为2，可得，代入得反比例函数的解析式为； （2）求出，设,，可得，故 ； （3）过 作轴于，过作轴于 ，证明，得，而，知，可得，用待定系数法得直线解析式为，从而，即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， 把代入 中得：， 解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点 到 轴的距离为2， ， ， 把代入得：， 解得 ， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：， ， 设，其中， ， ， 解得 ； 【小问3详解】 解：过 作轴于，过作轴于 ，如图： ∵直线直线， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，令得 ， ， 设直线解析式为， 把代入得：， ， ∴直线解析式为， 令得 ， ， 由知， ∴直线向下平移6个单位可得直线，即平移距离为6． 19. 根据下列素材，完成探索任务． 核验山区5G信号塔高度项目 素材1 图①是某山区信号塔高度检测基地的横断面示意图，它是由一段斜坡与一段水平地面构成．斜坡用表示，水平地面用表示．有两个监测点分别在斜坡的端点A点处与水平地面上的C点处．根据选址时勘测日志中的记载，A点的地面海拔高度为592米，B点的地面海拔高度为542米，A、B两点垂直方向上的高度差即为海拔差，在整个检测过程中，检测员小李从A点到B点共走了130米，从B点到C点共走了60米． 素材2 图②为信号塔高度检测基地与修建在山上的5G信号塔与山的横断面示意图，垂直于水平面的5G信号塔就建在山上的Q点处．根据施工日志资料显示，信号塔底Q点的海拔高度为802米．检测员小李在检测基地的A点处利用测角仪测得塔顶P点的仰角为，在C点利用测角仪测得塔顶P点的仰角为，测角仪的高度忽略不计． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比． 任务二 如图②，根据小李记录下的测量数据，求这个5G信号塔的高度．（参考数据：，， ，，，） 【答案】（1）；（2）36米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰俯角和坡比问题，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作，交延长线于点，由题意得：米，米，则由勾股定理得米，则，继而可求坡比； （2）过点A作交延长线于点，延长交延长线于点，设，则，，在中，，则，故，在中，，得到，即可求解． 【详解】解：（1）延长，过点A作，交延长线于点， 由题意得：米，米， 则由勾股定理得：米， ∴， ∴斜坡的坡比为：； （2）过点A作交延长线于点，延长交延长线于点， 则由题意得：米， ，米，米， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得： ， 答：这个5G信号塔的高度为36米． 20. 综合与实践： 准备 在复习探究《几何图形变化》的时候，老师让同学们准备了两张全等的直角三角形纸片，并且把它们的一条直角边重合在一起（如图），已知，，． 实践探究 平移 如图，小明同学把沿直线平移，当点 与点重合时，点与点重合，点的对应点为点． 结论：四边形 是矩形，判断该结论是否正确：________，填“正确”或“错误” 旋转 如图，小红同学把绕点顺时针旋转，当点的对应点恰好落在边上时，点B的对应点为点，与边交于点． 结论：可求出图中任意一条线段的长，如； 对折 如图，若点，分别是，的中点，小军同学将沿着直线 对折，点 的对应点为． 结论：点，，在同一条直线上． 验证计算 根据以上同学对三种图形变化的探究，请你完成结论的判断，结论的计算，结论的证明． 【答案】结论1：正确； 结论2：； 结论3：证明：如图，连接 、， 由结论2可得，四边形是平行四边形， ，， 点M，N分别是，的中点，， ，， ， 又， 四边形 是平行四边形， ， 由翻折的性质得， ，， ，， ， ， 直线和直线 重合， 点C，，N在同一条直线上． 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变换（平移、旋转、翻折）的性质、矩形的判定、直角三角形的性质、等腰三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握图形变换（平移、旋转、翻折）的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质得到，，再利用矩形的判定即可证明； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据旋转的性质得到，，，利用直角三角形的性质和等角对等边推出，得出的长度，再利用 即可求解； （3）连接 、，先证明四边形 是平行四边形，得出，再由翻折的性质得到 ，，进而得出，推出，即可得证． 【详解】解：结论1： 由平移的性质得，，， 四边形 是平行四边形， 又， 平行四边形 是矩形． 结论2： ， ，， 又 ， 四边形是平行四边形， ， ， 由旋转的性质得，，，， ， ， ， ， ， ， ． 结论3：略 21. 如图，在中，，平分，交于点，交于点，作 交于点，交于点，且 ． （1）求 的度数； （2）探究线段 的数量关系，并说明理由； （3）若 ，求的值．（直接写出计算的结果） 【答案】（1） （2） ，理由如下： ∵，平分， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， 即 ； （3） 【解析】 【分析】（）设 ，则 ， ，再根据三角形内角和定理即可求解； （）证明 即可求证； （）过点作 于，设 ，则 ， ，由是等腰直角三角形可得 ， ，即得 ，由 得到 ，由 可得，得到 ， ，即得 ，由 得，得到 ，即可得 ， ，最后代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：设 ，则 ， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作 于， ∵ ， ∴设 ，则 ， ， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ， ∴ ， ∴ ， ∴， 即， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， 即， ∴ ， ∴ ， ， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 22. 如图，在中，，以为直径的分别交边，于点D，F，过点D作于点E． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，，求的长； （3）若 ， ，求图中阴影部分的面积．（直接写出计算的结果） 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由，得 ，由等边对等角得， ，进而可得 ，所以 ，由平行线的性质得出 ，即可证明是的切线； （2）连接， ，利用勾股定理及三角函数解 ，求出，由等腰三角形三线合一得出 ，再通过证明 ，推出 ，根据对应边成比例即可求解； （3）过点O作 于点M，连接，构造矩形 ，设 ，则 ， ，解 求出半径，根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ， 为的直径，的半径为3， ， ， ， ， 在 中，， ， 解得（负值舍去）， 中，，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点O作 于点M，连接， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， 设 ， ， ， 在 中， ， ， 解得， ，即半径为， ，， ． 【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，不规则图形面积的计算，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是正确添加辅助线，综合应用上述知识． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数）． （1）将抛物线向上平移2个单位，若平移后的抛物线过点，求a的值； （2）若抛物线的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，求a的取值范围； （3）若， ①在抛物线上有两点，，若，则m的取值范围是________； ②当时，该二次函数的最大值与最小值的和为，求n的取值范围． 【答案】（1） 或4； （2）； （3）①；②． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换等知识，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，设平移后的抛物线为，即，又图象过点，则，进而计算可以判断得解； （2）依据题意，由，则抛物线开口向下，对称轴为直线 ，顶点为，又二次函数为常数）的图象上有且仅有两个点到轴的距离等于个单位长度，故，进而计算可以得解； （3）依据题意，由时，抛物线为，则顶点为，开口向下． ①由抛物线开口向下，则抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，结合，则，进而计算可以得解； ②依据题意，由抛物线开口向下，且对称轴是直线，再结合时，该二次函数的最大值与最小值的和为，可以分类讨论计算得解． 【小问1详解】 解：设平移后的抛物线为：，即， 又∵图象过点， ∴， 解得： 或4； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ，顶点为， ∵二次函数（a为常数）的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当时，， ∴顶点，开口向下， ①由题意，∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， 又， ∴， ∴当时， ， ∴无解； 当 时，， ∴，则， 当 时， ∴ ， 综上，， 故答案为：； ②由题意，∵抛物线开口向下，且对称轴是直线， 当 时，最大值在，最小值在， ， ∴． 当时，最大值在顶点，最小值在或， 若，则最小值为 ， ，符合题意， 若，则最小值在， ， ， 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $