精品解析：吉林省第二实验高新学校2025-2026学年下学期八年级期末数学试题

2025—2026学年度下学期八年级（三年制）数学学科期末试卷 一、选择题（共8道题，每题3分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．等号两边都是整式，只含一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A．是一元三次方程，故本选项不符合题意； B．是一元二次方程，故本选项符合题意； C．是二元二次方程，故本选项不符合题意； D．是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段，则线段长为（ ） A. 24 B. 32 C. 36 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例得到求解即可． 【详解】解：如图，过作交格线于，则于， 由题意，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 3. 下列命题中正确的是（　　） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项． 【详解】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确； C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误； D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 4. 如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L之间的距离为6千米，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，仰角问题，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴(千米)． 故选：C． 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，涉及两个角对应相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；两边成比例，夹角相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即． A、∵，∴，故选项不符合题意； B、∵，∴，故选项不符合题意； C、∵，∴，故选项不符合题意； D、∵，与的大小无法判定，∴无法判断，故选项符合题意． 故选：D． 6. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，设彩纸的宽度为，根据“在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设彩纸的宽度为， 由题意可得：，即， 故选：D． 7. 如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点分别作轴于点，轴于点，证明， 然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点分别作轴于点，轴于点， ∴， ∵以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且把的边长放大到原来的2倍， ∴点在一条直线上， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵点B的坐标是，点的坐标是， ∴， ， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、C均在函数的图象上，顶点B在函数的图象上，且轴，轴．若，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设点的横坐标为，根据函数图像上点的坐标特征可得，继而得到，，得出，，再根据，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点，延长交轴于点， ∴轴，轴， 设点的横坐标为， ∵点在函数的图像上， 当时，得， ∴， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∵顶点、均在函数的图像上， 当时，得；当时，得； ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 二、填空题（共6道题，每题3分） 9. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设比例系数，用表示和，代入所求式子化简即可得到结果． 【详解】解：设，得，， ∴． 10. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式的意义可以得到，然后解关于m的不等式即可． 【详解】根据题意，可知该方程根的判别式，解得：． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练使用一元二次方程根的判别式是解题关键． 11. 若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数值的大小，根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内随的增大而增大， ∵点、、在反比例函数的图象上，且， ∴； 故答案为：． 12. 如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据位似图形的性质得到，且相似比为，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为O， ∴，且相似比为， ∴的周长与的周长之比为， ∵的周长为4， ∴的周长为6． 13. 如图，在中，对角线，相交于点，过点的直线交于点，交于点，且，若，则阴影部分面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】先证，得，所以，又因为，所以，再根据平行四边形性质得，所以，把代入即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 14. 如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于M，现在有如下5个结论：①定是直角三角形；②；③当M与C重合时，有；④平分正方形的面积；③，在以上5个结论中，正确的有______． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】由折叠的性质可得°，由“”可证，可得，由平角的性质可求，故①和②正确；通过证明，可得，可得，故⑤正确；如图1，设．则，通过证明，可得，可求，可得，故③正确；当点F与点D重合时，直线不平分正方形的面积，故④错误，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵E为的中点， ∴， 由翻折可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴是直角三角形， 故①②正确， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵ ∴，故⑤正确， 如图1中，当M与C重合时， 设．则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴，故③正确， 如图2中， 当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，故④错误， 综上所述，正确的有：①②③⑤， 故答案为：①②③⑤ 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等知识，利用相似三角形的性质求线段的关系是解题的关键． 三、解答题 15. 计算与解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解： ． 16. 如图，已知，在中，E、F是对角线AC上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：连接交于， ∵在中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【详解】略． 17. 如图，在热气球上A处测得塔顶B的仰角为，测得塔底C的俯角为，已知A处距地面为96米，求塔高．（结果精确到1米）（参考数据：，，） 【答案】塔高约为221米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得米，再解直角三角形求出的长，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 则四边形是矩形， ∴米， 由题意得：， ∴在中，米， 在中，（米）， ∴（米）， 答：塔高约为221米． 18. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中，作的中线； （2）在图②中，在上找一点E，连接，使得； （3）在图③中，在上找一点P，连接，使． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）构造矩形，利用矩形性质即可求解； （2）由图知，由平行线分线段成比例定理可知，所以； （3）构造平行四边形，对角线交点即为中点，则，因为，勾股定理可得，则． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 19. 如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长为33米． （1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米? （2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？ 【答案】（1）长为15米，宽为10米； （2）不可能达到200平方米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一面靠墙的矩形面积求法以及判断方程是否有解问题，理清题意，正确列出方程并解方程是解题的关键． （1）设宽为米，然后用含有的式子表示出长，注意去掉门的宽度，再根据矩形面积列出方程并解方程即可； （2）假设鸡场的面积可能达到200平方米，在（1）中方程的基础上，将矩形面积换成200平方米，再列出方程，然后利用根的判别式判断方程是否有解，从而判断面积能否达到200平方米． 【小问1详解】 解：设垂直于墙面的一边长为米，则墙对面的一边长为米，即米，则， 整理得， 解得，， 当时，， 当时，，不符合题意，舍去． 答：鸡场的长和宽各为15米和10米． 【小问2详解】 假设鸡场的面积可能达到200平方米，则由题意可得， 整理得， ，，， ， 方程无解， 鸡场的面积不可能达到200平方米． 20. 如图，在中，D为上一点，E为上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】对于本题重点，掌握相似三角形的判定定理1，以及相似三角形的对应边成比例的性质． （1）根据两角对应相等，两三角形相似证明即可； （2）根据得到，然后求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：在（1）中已证明， ， ，，， ， ． 21. 如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． （1）以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． （2）如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； （3）关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 【答案】（1）①④ （2）证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解， ∴ ，即． ∵ 有意义， ∴ ． ∴ ． 故对任意一个完美方程，总有 （3）正整数的值为1或3 【解析】 【分析】（1）分别解四个方程即可得解； （2）由题意可知根的判别式，从而求出； （3）求解这个一元二次方程，再根据同族方程定义即可得解． 【小问1详解】 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故①是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故②不是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故③不是同族方程； 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故④是同族方程； 故是同族方程的是①④； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由一元二次方程得：，， 解得：， ∵一元二次方程属于同族方程， ∴是整数， ∴正整数k的值为1或3． 22. 为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①镜子；②皮尺；③长为2m的标杆；④高为1.5m的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题： （1）在你设计的方案中，选用的测量工具是___；（用工具序号填写） （2）在下图中画出你的测量方案示意图； （3）你需要测量示意图中的哪些数据，并用a，b，c，，等字母表示测得的数据； （4）写出求树高的算式：AB＝___m．（用a，b，c，，等字母表示） 【答案】（1）①② （2）见解析 （3）EA（镜子离树的距离）＝am，EC（人离镜子的距离）＝bm，DC（目高）＝cm （4） 【解析】 【分析】此题要求学生根据题意，自己设计方案，答案不唯一； 可借助相似三角形的对应边成比例的性质进行设计测量方法，先测得CE，EA与CD的大小，根据相似三角形的性质；可得：；即AB=． 【小问1详解】 解：①②； 【小问2详解】 解：测量方案示意图； 【小问3详解】 解：EA（镜子离树的距离）＝am EC（人离镜子的距离）＝bm，DC（目高）＝cm； 【小问4详解】 解：根据相似三角形的性质； 可得：； 即AB=． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，构造相似三角形，借助相似三角形的性质解决问题． 23. 综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作． （1）初步发现：如图1，由三角形中位线构造，可知：______． （2）猜想探究：如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （3）结论应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，则_______． （4）延伸思考：如图4，在中，，，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．分别取，的中点M，N．当绕点B旋转过程中，直接写出当面积最大时，的面积是_______． 【答案】（1） （2）解：，证明如下， 由题可得，和是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先根据中位线性质得到对应边比例、与的相似比，再结合是中点得到长度，用平行线等分线段定理计算比值； （2）旋转后，先求出与的比值，证明和相似，即可得到与的数量关系； （3）先根据过点得到，用勾股定理求出的长度，再利用（2）得到的与的数量关系计算； （4）根据勾股定理求出，结合三角形中位线定理得到，，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，，根据N到的距离，可知当时，面积最大，此时，分两种情况根据旋转的性质作答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，的中点为，，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图1可得，，的中点为，， ∴，， ∴， ∴， ∴如图3，当所在直线过点时，， ∴在中，， 由（2）可得，， ∴， 解得； 【小问4详解】 解：如图， ∵在中，，，， ∴， ∵分别取，的中点D，E， ∴，，，， ∵分别取，的中点M，N， ∴，， ∵N到的距离， ∴当时，面积最大， 此时． 如图，当N在上方时， 由旋转的性质可知， ∴即点E在线段上， 此时； 如图，当N在下方时， 同理可知即点D在线段上， 此时； 综上所述，当面积最大时，的面积是4． 24. 如图，在中，，，．点P在边上（点P不与点A、B重合），点Q在射线上，且，连结，以为对角线作菱形，使，且点M、点B始终在同侧． （1）当点时，连接，则的面积是______． （2）连结，当与的边平行时，求的长． （3）当菱形与重叠部分是轴对称四边形时求的取值范围． （4）当直线与边所夹锐角正切值等于时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）或 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，先证明，求出，即可求出； （2）设，则，当时，，证明，求出；当时，，证明，求出；当时，，不符合题意； （3）若要使得菱形与重叠部分是轴对称四边形，就要使菱形在的内部，设，则，当点在边上时，由，求出；当点在边上时，由，求出，所以； （4）设与交于点，与交于点，过点作，垂足为，设，则，当为锐角时，由，求出；当为锐角时，由，求出． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作，垂足为， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴． 【小问2详解】 解：设，则， ∵四边形是菱形， ∴， 当时，则，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； 当时，则，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； 当时，， ∵点在上， 又∵过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴此时点会与点重合，不符合题意； 综上：或． 【小问3详解】 解：若要使得菱形与重叠部分是轴对称四边形，就要使菱形在的内部， 设，则， 当点在边上时，如图所示： ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； 当点在边上时，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴，解得：，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； ∴要使菱形在的内部，． 【小问4详解】 解：设与交于点，与交于点，过点作，垂足为， 设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 当为锐角时，如图所示： 由（1）可得：， ∴， ∴，解得：，， ∴， ∵直线与边所夹锐角正切值等于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， 当为锐角时，如图所示： 由（1）可得：， ∴， ∴，解得：，， ∴， ∵直线与边所夹锐角正切值等于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期八年级（三年制）数学学科期末试卷 一、选择题（共8道题，每题3分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段，则线段长为（ ） A. 24 B. 32 C. 36 D. 48 3. 下列命题中正确的是（　　） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 4. 如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L之间的距离为6千米，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（　　） A. B. C. D. 7. 如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、C均在函数的图象上，顶点B在函数的图象上，且轴，轴．若，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、填空题（共6道题，每题3分） 9. 若，则________． 10. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是____． 11. 若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是________．（用“”连接） 12. 如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 13. 如图，在中，对角线，相交于点，过点的直线交于点，交于点，且，若，则阴影部分面积是______． 14. 如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于M，现在有如下5个结论：①定是直角三角形；②；③当M与C重合时，有；④平分正方形的面积；③，在以上5个结论中，正确的有______． 三、解答题 15. 计算与解方程： （1）； （2）． 16. 如图，已知，在中，E、F是对角线AC上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 17. 如图，在热气球上A处测得塔顶B的仰角为，测得塔底C的俯角为，已知A处距地面为96米，求塔高．（结果精确到1米）（参考数据：，，） 18. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中，作的中线； （2）在图②中，在上找一点E，连接，使得； （3）在图③中，在上找一点P，连接，使． 19. 如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长为33米． （1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米? （2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？ 20. 如图，在中，D为上一点，E为上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 21. 如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． （1）以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． （2）如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； （3）关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 22. 为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①镜子；②皮尺；③长为2m的标杆；④高为1.5m的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题： （1）在你设计的方案中，选用的测量工具是___；（用工具序号填写） （2）在下图中画出你的测量方案示意图； （3）你需要测量示意图中的哪些数据，并用a，b，c，，等字母表示测得的数据； （4）写出求树高的算式：AB＝___m．（用a，b，c，，等字母表示） 23. 综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作． （1）初步发现：如图1，由三角形中位线构造，可知：______． （2）猜想探究：如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （3）结论应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，则_______． （4）延伸思考：如图4，在中，，，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．分别取，的中点M，N．当绕点B旋转过程中，直接写出当面积最大时，的面积是_______． 24. 如图，在中，，，．点P在边上（点P不与点A、B重合），点Q在射线上，且，连结，以为对角线作菱形，使，且点M、点B始终在同侧． （1）当点时，连接，则的面积是______． （2）连结，当与的边平行时，求的长． （3）当菱形与重叠部分是轴对称四边形时求的取值范围． （4）当直线与边所夹锐角正切值等于时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $