第十三章 三角形 基础测试题 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 本试卷为初中数学第十三章三角形单元测试卷，立足基础，通过生活情境（如窗钩固定、自行车结构）和创新定义（如“梦想三角形”），考查三角形稳定性、三边关系、内角和等核心知识，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|三角形稳定性、三边关系、内角和|结合生活情境（如窗钩固定考稳定性）| |填空题|5/15|中线性质、折叠问题|动态问题（点D运动中折叠求角度）| |解答题|8/75|角平分线综合、新定义应用|创新题型（“梦想三角形”定义探究）|

第十三章 三角形基础测试题 （时间：100分钟 总分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（  ） A．三角形的内角和等于180° B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 2．下列各组中的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．1 cm，2 cm，5 cm B．3 cm，3 cm，3 cm C．2 cm，2 cm，4 cm D．3 cm， 4 cm， 9 cm 3．如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，为的中线，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 5．等腰三角形的周长是 16cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边长为（  ） A．8cm B．4cm C．10cm D．4cm或8cm 6．如图，光线照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，光线的反射角等于入射角，若已知，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，，在延长线上，的角平分线与的角平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．在下列条件： ； ； ； ； 中，能确定为直角三角形的条件有（        ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 9．健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论： ①： ②； ③； 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．如图，在中，顶点F的对边是_____ _． 12．三角形的两边长分别是4、7，则周长L的取值范围是 ______ __________． 13．如图，在中，的角平分线相交于点P，则____ ______． 14．如图，在中，是边上的高，平分交于点E，，，则___ ____． 15．如图，在三角形中，，，，点D在上运动，E是上一定点，将三角形沿所在直线折叠，点A的对应点为F，当时，的度数为_ _____． 三、解答题（共75分） 16．（9分）如图，点是的边上的一点，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交于点； (2)过点画的高； (3)线段______的长度是点到直线的距离． 17．（9分）完成下面的证明． 已知，如图，是直线，，．求证：． 证明：∵（已知） （ ） ∴（            ） ∵（已知） 在中， 同理，在中， ； ∴ （等量代换） ∵（已知） ∴ （两直线平行，同位角相等） ∴ （等量代换） ∴（ ） 18．（9分）如图，网格中每个小正方形边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． (1)作边上的高线，垂足为D； (2)在边上取一点E，连接，使得平分的面积； (3)的面积为_________． 19．（9分）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． 20．（9分）如图，，分别是的高和角平分线． (1)若，，求和的度数； (2)若，，且，直接写出和的度数（用含，的代数式表示）． 21．（9分）如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为6，则的面积为 ； (2)若，求和的度数． 22．（10分）如图，已知，现将一直角三角形放入图中，其中，交于点E，交于点F． (1)当所放位置如图①所示时，求出与的数量关系； (2)当所放位置如图②所示时，求证：； (3)在（2）的条件下，若与交于点O，且，，求的度数． 23．（11分）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如，一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． (1)如图1，已知，在射线上取一点，作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点，重合）．若，则_____“梦想三角形”，_____“梦想三角形”（均填“是”或“不是”）； (2)如图2，点在的边上，连接，平分交于点，作交于点，．若是“梦想三角形”，求的度数； (3)如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为_______． 试卷第6页，共7页 试卷第2页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、单选题 1. 【答案】 D 【分析】本题考查了三角形的稳定性，窗户打开后，用窗钩将其固定，这样就形成了一个三角形；由题意可知，形成的三角形可使打开后的窗户固定，至此，结合三角形的特征即可解答，掌握三角形的特征是解题的关键． 【详解】解：用窗钩将打开的窗户固定，这样就形成了一个三角形，所以所运用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：D． 2. 【答案】 B 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系逐项判断即可． 【详解】解：A．，不满足三角形两边之和大于第三边，故A不能组成三角形，不符合题意； B．，满足三角形两边之和大于第三边，故B能组成三角形，符合题意； C．，不满足三角形两边之和大于第三边，故C不能组成三角形，不符合题意； D．，不满足三角形三边关系，故D不能组成三角形，不符合题意； 故选：B． 3. 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴； 故选：A． 4. 【答案】C 【分析】根据三角形的中线的定义，结合三角形的周长公式，得到与的周长之差为，即可得出结果. 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∴与的周长之差为 ； ∵，， ∴周长之差为. 5. 【答案】．B 【分析】分4cm是底边和腰长两种情况讨论，再利用三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形． 【详解】解：①4cm是底边时，腰长为×（16-4）=6，能组成三角形， ②4cm是腰长时，底边为16-2×4=8， ∵4+4=8， ∴不能组成三角形， 综上所述，该等腰三角形的底边长为4cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的任意两边之和大于第三边的性质，难点在于分情况讨论． 6. 【答案】D 【分析】本题考查了光线的反射角等于入射角的性质、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．由光线的反射角等于入射角得出，，，由平角的定义和三角形内角和定理求出即可得出结果． 【详解】解：根据题意可得，，，； 由三角形内角和定理和平角的定义得； 故选：D． 7. 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义．先利用三角形的外角的性质求得，，利用角平分线的定义求得，，据此列式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的角平分线与的角平分线交于点， ∴，． ∴． ∴． 故选：B． 8. 【答案】C 【分析】根据直角三角形的判定和三角形内角和定理对各个条件进行分析，从而得到答案． 【详解】解： 不能确定为直角三角形，故错误，不符合题意； ，， ， 为直角三角形，故正确，符合题意； ， 设， ， ， 解得：， ， 不是直角三角形，故错误，不符合题意； ， 设，则，， ， ， 解得：， ， 为直角三角形，故正确，符合题意； ， 设，则， ， ， 解得：， ， 为直角三角形，故正确，符合题意； 说法正确， 故选：C． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 9. 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 根据和、的度数分别求出和的度数，然后根据求出，进而求出，再求解结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 故选：D． 10. 【答案】C 【分析】利用余角性质可得，即可判定①；由角平分线的定义得，由三角形外角性质得，，进而可得，即可判定②；由角平分线的定义和三角形外角性质得，进而可得，即可判定③，综上即可求解． 【详解】解：①∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ③∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 综上，结论正确的有个． 二、填空题 11./ 【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，掌握三角形的相关定义是解题的关键． 由的三边分别为，其中与顶点F相邻，与顶点F相对，据此即可解答． 【详解】解：由题意得，在中，顶点F的对边是． 故答案为：． 12. 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合周长表达式得到周长的取值范围． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， ∴， ∵周长， ∴，即． 13. 【答案】 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理．熟练掌握角平分线，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，由是的平分线，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 【答案】20 【分析】由角平分线的定义可得，由三角形内角和定理求出，从而即可得出结果． 【详解】解：∵平分交于点E， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴． 15. 【答案】或 【分析】分两种情况：当点在的右边时，当点在的左边时，分别利用平行线的性质求出的度数，再结合折叠的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①当点在的右边时，如图所示， ∵，， ， ， 将沿所在直线折叠，点的对应点为点，， ，，， ， ， ， ； ②当点在的左边时，如图， ，， ， 将沿所在直线折叠，点的对应点为点， ，， ， ∴， ； 综上所述，为或． 三、解答题 16. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直的定义，过点作； （2）根据三角形的高的定义，过点作，线段即为所求； （3）根据点到直线的距离的定义可知：线段的长度是点到直线的距离． 【详解】（1）解：下图直线即为所求， （2）解：下图线段即为所求， （3）解：线段的长度是点到直线的距离． 17. 【答案】；对顶角相等；等量代换；；；；；内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的性质与判定定理，三角形内角和定理和已给证明过程求解即可． 18. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】本题主要考查了画三角形的高，画三角形中线，求三角形面积． （1）根据三角形高的画法作图即可； （3）只需要令为的中点即可； （3）直接利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：的面积为． 故答案为：8． 19. 【答案】．(1)的周长为9 (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，绝对值的化简，整式的加减混合运算，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边是解题的关键． （1）先根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由为偶数即可得出的值，进而可得出答案； （2）根据三角形的三边关系得出，，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， ，即． 又为偶数， ． ． （2），， ，． ． 20. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先利用三角形内角和求出，结合角平分线定义得到，再用内角和算出；根据高线得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出，最后作差得到； （2）先用三角形内角和表示出，结合角平分线得到，代入内角和公式化简求出；再由高线推出，通过角度相减化简得到的代数式． 【详解】（1）解：在中，由三角形内角和定理得：， 是的角平分线， ， 在中，由三角形内角和定理得：， 是的高， ， 在中，， ； （2）解：在中，由三角形内角和定理得：， 是的角平分线， ， 在中，由三角形内角和定理得：， 是的高， ， 在中，， ． 21. 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查三角形的三线，与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据三角形的中线平分面积即可得出结果； （2）高线得到，三角形的内角和定理求出，的度数，角平分线求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵是边的中线， ∴， ∵的面积为6， ∴的面积为12， 故答案为：； （2）解：∵是的高， ∴， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 22. 【答案】(1) (2)证明：如图，过点P作， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质得到，，根据解答； （2）过点P作，根据平行线的性质得到，，因此，再由平行线的性质有，即可得出结论； （3）根据邻补角互补并结合（2）的结论得到，进而有，过点N作，根据平行线的性质得到，，再由角的和差即可求解． 【详解】（1）解：过点P作， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）略 （3）解：∵， ∴， 由（2）有， ∴， ∴． 过点N作， ∴， ， ∴． 23. 【答案】(1)是，是 (2)的度数为或 (3)或 【分析】（1）根据三角形内角和为分别求解出与中每个角度，判断是否存在“某个内角的度数是另一个内角度数的3倍”即可； （2）先由平行线的性质以及角平分线的性质得到，再由平角的性质可得，根据三角形内角和为以及“梦想三角形”的定义列式求解即可； （3）先设出其余两个内角为，再由三角形内角和为以及“梦想三角形”的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴是“梦想三角形”； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“梦想三角形”； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是“梦想三角形”， 当，即，解得， 此时中，，满足条件； 当，即，解得， 此时中，，满足条件； 综上，的度数为或； （3）解：如果一个“梦想三角形”有一个角为， 设该“梦想三角形”的另外两个内角为， 则有， 当时，解得， 此时，故最小内角的度数为； 当时，解得，不满足题意； 当时，则有，解得， 此时，故最小内角的度数为； 综上，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为或． $