6.1.5 向量的线性运算同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

**基本信息** 2026-2027学年高一数学（人教版B版）第六章平面向量初步6.1.5向量的线性运算课堂限时训练（20分钟/66分），分层覆盖向量线性运算从基础到综合应用，通过几何情境与符号运算培养抽象能力、推理能力及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一向量线性运算（中点、中线表示）|4道单选题，直接考查概念应用，巩固向量加减与数乘基础| |提升层|综合几何情境应用（重心、三等分点）|2道多选题+2道填空题，结合四边形、三角形情境，深化图形与向量关系理解| |综合层|符号运算与逻辑推理（化简、共线问题）|2道解答题，需符号表达与推理过程，培养数学语言表达与问题解决能力|

2026-2027学年第一学期高一数学（人教版B版）第六章平面向量初步 6.1.5 向量的线性运算 课堂限时训练 考试时长：20分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，为的中点，为的中点，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：在中，为的中点，为的中点， 所以 ． 故选：． 2.在中，为边上的中线，为的中点，则  ． A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查向量的线性运算，属于基础题． 根据向量的线性运算求解即可． 【解答】 解：根据向量的运算法则， 可得   ， 所以． 故选A． 3.已知中，，且，点，是边的两个三等分点，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查平面向量加法、减法和数量积运算，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 由知，；根据平面向量的线性运算可推出，；故，展开后代入数据进行运算即可． 【解答】 解：，， 点是边的三等分点， ， 同理可得，， ． 故选：． 4.在中，为的重心，为上一点，且满足，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由题意，画出几何图形如下图所示： 根据向量加法运算可得， 因为为的重心，所以． 又满足，即， 所以． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.年月日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行如图是第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个点作四边形，就可以覆盖会徽的主图案在四边形中，，分别是，的中点，，，则下列等式一定成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】BCD  【解析】解：对于，由题图可知在四边形中，不一定成立，故A错误； 对于，，，所以，故B正确； 对于，，，所以，故C正确； 对于，连接，如下图所示，因为，分别是，的中点，由中位线的性质可知，，故， 又，，所以，所以， 所以，故D正确． 故选：． 6.在中，为中点，且，则(    ) A. B. C. D. 【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查了向量的线性运算及向量平行的判定，属于一般题． 判断出为的重心，在利用平面向量的线性运算和向量平行即可判断． 【解答】 解：因为， 所以，，三点共线，且 又因为为边上的中线， 所以点为的重心， 连接并延长交于点，则为的中点， 所以， 所以， 故选BD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知的三个顶点都在圆上，，且，则圆的面积为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量的加法、减法、数乘运算，属于基础题． 根据题意得出为的中点，则为圆的直径，即可求出结果． 【解答】 解：的外接圆的圆心为，且 为的中点，为圆的直径， ，圆的半径为，圆的面积为． 故答案为． 8.中，已知点满足，若，则          ． 【答案】  【解析】解：，， 即，故， ． 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 化简下列各式： 【答案】解：                 ．     ．       ． 【解析】本题考查向量的线性运算，属于基础题． 根据向量的线性运算，先开括号，再进行向量加减运算． 10.本小题分 已知，是两个不共线的向量，向量，，求用，表示； 设，是不共线的两个非零向量．若与共线，求实数的值． 【答案】解：， 由不共线可知为非零向量，而与共线， 所以存在唯一实数，使得， 即， 又不共线， 所以．  【解析】本题考查平面向量的加减与数乘混合运算，平面向量共线的充要条件，属于基础题． 利用平面向量的加减运算与数乘运算进行计算即可得． 根据两个向量共线的充要条件列式求解即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（人教版B版）第六章平面向量初步 6.1.5 向量的线性运算 课堂限时训练 考试时长：20分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，为的中点，为的中点，则(     ) A. B. C. D. 2.在中，为边上的中线，为的中点，则  ． A. B. C. D. 3.已知中，，且，点，是边的两个三等分点，则(     ) A. B. C. D. 4.在中，为的重心，为上一点，且满足，则(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.年月日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行如图是第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个点作四边形，就可以覆盖会徽的主图案在四边形中，，分别是，的中点，，，则下列等式一定成立的是(     ) A. B. C. D. 6.在中，为中点，且，则(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知的三个顶点都在圆上，，且，则圆的面积为          ． 8.中，已知点满足，若，则          ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 化简下列各式： (3) 10.本小题分 已知，是两个不共线的向量，向量，，求用，表示； 设，是不共线的两个非零向量．若与共线，求实数的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（人教版B版）第六章平面向量初步 6.1.5 向量的线性运算 课堂限时训练 考试时长：20分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，为的中点，为的中点，则(     ) A. B. C. D. 2.在中，为边上的中线，为的中点，则  ． A. B. C. D. 3.已知中，，且，点，是边的两个三等分点，则(     ) A. B. C. D. 4.在中，为的重心，为上一点，且满足，则(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.年月日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行如图是第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个点作四边形，就可以覆盖会徽的主图案在四边形中，，分别是，的中点，，，则下列等式一定成立的是(     ) A. B. C. D. 6.在中，为中点，且，则(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知的三个顶点都在圆上，，且，则圆的面积为          ． 8.中，已知点满足，若，则          ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 化简下列各式： (3) 10.本小题分 已知，是两个不共线的向量，向量，，求用，表示； 设，是不共线的两个非零向量．若与共线，求实数的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $