6.1.5 向量的线性运算-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习（人教B版）

第六章平面向量初步 6.1.5向量的线性运算 5.已知△ABC中，∠A=60°，∠A的平 效果评价 分线交BC于点M,AB=,AM41C+hM店， 1.(多选题)已知20A+0B+0C=0,点 、 求入和AM1. D为BC边的中点，下列式子中正确的有 A.AO-OD B.A0=20D C.AD=20D D.0A+0D=0 2.已知CP=(1-t)CA+tCB,使P在AB 延长线上的t的取值范围是() A.(1,+∞) B.(-0,-1) C.(0,1) D.(-1,0) 3.AB I=3,IACI=2,IAC-ABI=IAC+ AB,则BC=() A.1 B.V5 C.13 D.5 6.已知△ABC中，点P满足BP=3PC, 4.已知01=2a+b,0E-mb,0C=-3动，过点P的直线与直线AB和AC分别交于点 证明：A,B,C三点共线。 M和N,AM=AAB,ANAC,入，u均为 正数，求入+地的最小值. 练（73 N 高中数学必修第二册人教B版 7.（多选题)已知向量a,b是两个非零 设AB-a,AC=b. 向量，在下列四个条件中，一定能使a,b (1)若P为线段CM的中点，用a,b 共线的有() 表示AP; A.已知梯形ABCD,其中AB=a,CD=b B.2a-3b=4e且a+2b=-2e (2)设CM与BN交于点Q,求B 10W1 C.存在相异实数入，u,使入a-ub=0 的值. D.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0) 8.(多选题)在等边三角形ABC中， Q BD=DC,EC=2AE,AD与BE交于点F, 则下列结论正确的有() 第11题图 A.AD=号MB+MC) B.BE=号BC+}BA C.AF-AD D.B际-耐+C 9.在△ABC中，D为边AC的中点，E 为中线BD上的一点，且AE=xAB+yAC, 则1+2的最小值为 y 提升练习 10.如图所示，在△ABC中，直线PQ 与边AB,BC及AC的 延长线分别交于点P, M,Q,BM=3MC,AP =AB,AQ=sAC,则 1+3= 第10题图 t s 11.如图，已知M,N分别在△ABC的 边AB和AC上，且AM=2MB,AN=NC, 74)练N 高中数学必修第二册人教B版 D为BC边的中点，G为△ABC的重心，.AG=2GD GH=20G,∠ACH=∠DC0,∴△AGH∽△DG0,Ai= 20D,故C错误； 向量OA,OB,0C的模相等，方向不同，故D错 误.故选CD. 第9题答图 10.号或-5【解析】点P在直线AB上，且A =4AP,.AB=4AP或AB=-4AP.若AB=4AP,则AP+ PB-4AP,P-3A正，此时A=；若AB=4A,则 AP+PR=-4M正，P厉=-5AP,此时A=- 提升练习 1.(1)解：Ad=(国店+Ad)=(a+b),AE 号40=号ab)a7-2Cb,mF-A店 -a+2b. (2)证明：由(1)知BF=-+b,BE=AE-AB 号ab)-a=子a+号号a+,BE-号F,E 与BF共线.又BE,BF有公共点B,B,E,F三点 共线。 12.(1)证明：BD-BC+CD=4e+e+8e1-9e,=12e 8e2=4(31-2e2)=4AB,.AB与BD共线.AB与BD有公 共点B,A,B,D三点共线. (2)解：·2入e1+2与e+e2共线，.存在实数u, 2=,入= 使2e,+eu(e+Ae.e,e不共线，1-， ±V② 2 (3)解：假设etAe2与Ae+e2共线，则存在实数u, 86 使e+Ae2u(Aete2). 1=4, 1,e2不共线，∴ .入=±1..当入≠±1时， 入=， e+e2与Aete2不共线。 6.1.5向量的线性运算 效果评价 1.ACD【解析】0i+0元=20市，：0d+0i=0,有0币 =-0A,有0d+Ad--0A+Ad=2A0=20d.故选ACD. 2.A【解析】C庐(1-t)C+tC克，即A市-A,点P 在AB的延长线上，>1.故选A. 3.C【解析】AC-A=AC+AB1,则以AC和A市为邻 边的平行四边形是矩形，由勾股定理得对角线长为 V3+2=-V3.故选C. 4.证明：·.BA=0A-0i=2a+b-(a-b)=a+2b,CB=0i 0心=a-b-(-3b)=a+2b,.C2-BA,因此A,B,C三点共线. 5解：点M在BC上，=4心+A应，A=子 :AM是∠A的平分线，由向量加法的平行四边形法则 知，子M=子AM-3,AM是边长为3的菱形的对角 线，且AM平分∠A,.Ai=3V3. 6.解：B驴-3P心， 位4子成-4心-=}+子记 4 P,M,N三点共线， ,·A市(1-t)AM+Ai .AM-AAB,AN-uAC, .·A产(1-t)4B+u4C A子子京山 a=(a=+0+=1+,当 4λ4u 且仅当长=弘时，入地有最小值1+V3 4入4u 2 7.BC【解析】若AB,CD是梯形ABCD的腰，则 AB,CD不平行，.不一定能使a,b共线，故A错误； 由2a-30-e且+2b=-2e得b=-号e,a-号e,b -4a,则a,b共线，故B正确； 存在相异实数入，u,且入，u不同时为0，使Aa= b,则a,b共线，故C正确； 当x=y=0时，xa+yb=0,a,b不一定共线，故D错 误.故选BC 8.AC【解析】由于BD=DC,EC=2AE,AD= 分a正+MC),放A正确， B配-BC+cE-BC+C-BC+号B-BC)=}BC +号M,放B结误。 由于E,F,B三点共线，AF=AAE+(1-A)AB= 号aC+I-AaE 设a下=a0-分(a店+ad)=方a店+分C, 分l- 解得A=子，x=子，故C正确 BF-BA+AF-BA+AD-BA+(ED-BA)-BA+ 3}BC-)-号+子C,放D错误放选AC 9.9【解析】如图，AE =xAB+yAC,D为边AC的中 点，AE=xAB+2yAD.B, E,D三点共线，x+2y=1 (x>0,y>0),则1+2= 第9题答图 x Y 宁号5+经停52V经9.当且仅当 x y 分，号时取等号，放士+子的最小值为9 x Y 提升练习 10.4【解析】连接AM, 如图所示.·BM=3MC,故可 得AM=AM+BM=AB+3BC B =B+是（花-应=子6+ 4C=+0.p 第10题答图 参考答案。 M,Q三点共线，放可得+宝-1，放}+子4如 =4. 11.解：(I)AP-AC+F=AC+C,又C AW-AC-号E-aC,F号aE+3aCga+2b (2)AN-NC.AN-36.BN-BA'+AN--a+j6. :B,Q,N三点共线，.存在实数入，使得BQ=λBN=-Aa+ Ab.①AN-2E,B-a,且BCb-aC,Q, M三点共线，∴存在实数m,n,使得BQ=mBM+nBC, 且mtn=l,Bd-ga+nb-a)-一号+na*b② A-号+n, 综合①②，得 又m+n=1,解得入= IONI >"6.2向量基本定理与向量的坐标 6.2.1向量基本定理 效果评价 1.ABD【解析】不共线的向量可以作为基底，选项 C中两向量共线，不能作为基底.故选ABD. 2.D【解析】B=2D元，B励-子B武，Ad-A店= 号a心-，得市号心+号4化.放选D 3 3.-号【解析】向量在同一基底上的表达式唯一， 1-2,A3Aw=-2 4.n+2m【解析】，m=-a+b,n=b,a=n-m,b=.又 .c=-2a+3b,.'c=-2(n-m)+3n=n+2m. 5.0【解析】由已知得Bi=BC+Cd=xa+4b+3a-b=(3+ x)a+3b,AB=a+b,A,B,D是共线的三点，.BD kA户，即(3+x)a+3b=k(a+b).a,b两个向量不共线， x+3=k,k=3,∴x=0. 6-}子【解析】AD为BC边上的中线，AD 87