2.1 一元二次方程的概念（课时作业）2026-2027学年苏科版九年级数学上学期

**基本信息** 本同步练聚焦一元二次方程概念，分基础练习（17题）和拓展提升（2题），以“概念辨析—形式转化—根的应用—综合拓展”为路径，强化数学抽象、运算能力与推理意识，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练习|一元二次方程概念辨析、一般形式转化、根的意义应用、参数取值|通过期中真题（如第1题）强化概念辨析，设置填表题（第11题）巩固运算规范，定义新运算题（第15题）培养模型意识| |拓展提升|参数分类讨论、代数式求值综合应用|通过含参方程分类（第18题）发展推理能力，结合方程根的性质（第19题）提升综合思维|

盐城市北蒋实验学校九年级数学导学活动单 九年级数学•上册•第2章•一元二次方程 2.1 一元二次方程的概念（课时作业） 班级 姓名 作业时间 【基础练习】 1．(2026春•牟平区期中)下列方程中：①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③(x+2)(x﹣3)＝x2﹣3，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．(2026春•柯城区校级期中)将一元二次方程3x2＝﹣2x+1化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，2，﹣1 B．3，﹣2，1 C．3，2，1 D．3，﹣2，﹣1 3．(2025秋•龙岩期末)若关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣1＝0有一个根为1，则m的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 4．(2026春•南湖区校级)若a是关于x的方程2x2﹣x﹣4＝0的一个实根，则代数式的值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 5．(2025秋•游仙区)若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足，则ax2+bx+c＝0必有一根为（　　） A．9 B．﹣9 C．3 D．﹣3 6．（2025秋•久治县）若关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是　 　 ． 7．(2026•黄埔区二模)若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣5x+m2﹣4＝0有一个根为0，则m的值为　 ． 8．(2026•武威)已知m是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则代数式2m2+4m的值是　 　 ． 9．（2026•福田区校级）若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4＝0的解是x＝2，则2026+2a﹣b的值是　 ． 10．（2025秋•陇南期末）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 　 　 ． 11．(2026春•同步)填表（要求改写后二次项系数为正）： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 2x2＝7x 　 　 　 　 　 　 5﹣3x2＝6x 　 　 　 　 　 　 (x+1)(x﹣3)＝3x+4 　 　 　 　 　 12．(2026•南山区校级模拟)先化简，再求值：，其中a是方程2x2﹣x﹣1＝0的解． 13．(2026春•西湖区校级月考)已知a是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根． （1）求2a2+2a的值；（2）求a3﹣2a+2026的值． 14．(2025秋•克州期中)已知关于x的方程（k2﹣1）x2﹣（k+1）x﹣2＝0． （1）当k= 时，此方程为一元一次方程？此方程的根是 ． （2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 15．(2026春•姑苏区校级期中)定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程2x2+9x+7＝0是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“联合方程”，若﹣2是此“联合方程”的一个根，求m和n的值． 16．(2025秋•白塔区校级期末)定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足：a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程4x2﹣11x+7＝0是否为“黄金方程”，并说明理由； （2）已知ax2﹣3x+c＝0是关于x的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是 　 　 ； （3）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求m的值． 17．(2025春•宿迁校级期末)已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【拓展提升】 18．(2025秋•湟源县校级期中)已知关于x的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+3m﹣1＝0． （1）当m 时，该方程是一元二次方程？ （2）当m 时，该方程是一元一次方程？ 19．(2025秋•云南校级期中)已知m是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，则：①= ．②= ． 2.1 一元二次方程的概念（课时作业）(答案) 班级 姓名 作业时间 【基础练习】 1．(2026春•牟平区期中)下列方程中：①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③(x+2)(x﹣3)＝x2﹣3，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（　B　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．(2026春•柯城区校级期中)将一元二次方程3x2＝﹣2x+1化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　A　） A．3，2，﹣1 B．3，﹣2，1 C．3，2，1 D．3，﹣2，﹣1 3．(2025秋•龙岩期末)若关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣1＝0有一个根为1，则m的值为（　A　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 4．(2026春•南湖区校级)若a是关于x的方程2x2﹣x﹣4＝0的一个实根，则代数式的值是（　D　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 5．(2025秋•游仙区)若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足，则ax2+bx+c＝0必有一根为（　C） A．9 B．﹣9 C．3 D．﹣3 6．(2025秋•久治县)若关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是　a≠1 ． 7．(2026•黄埔区二模)若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣5x+m2﹣4＝0有一个根为0，则m的值为　 -2 ． 8．(2026•武威)已知m是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则代数式2m2+4m的值是　 6　 ． 9．（2026•福田区校级）若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4＝0的解是x＝2，则2026+2a﹣b的值是　2024 ． 10．（2025秋•陇南期末）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为　 -2 　 ． 11．(2026春•同步)填表（要求改写后二次项系数为正）： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 2x2＝7x 　2x2﹣7x＝0　 　2　 　﹣7　 　0　 5﹣3x2＝6x 　3x2+6x﹣5＝0　 　3　 　6　 　﹣5　 (x+1)(x﹣3)＝3x+4 x2﹣5x﹣7＝0　 　1　 　﹣5　 　﹣7　 12．（2026•南山区校级模拟）先化简，再求值：，其中a是方程2x2﹣x﹣1＝0的解． 解： • ． ∵a是方程2x2﹣x﹣1＝0的解， ∴2a2﹣a﹣1＝0， ∴a+1＝2a2， ∴原式． 13．(2026春•西湖区校级月考)已知a是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根． （1）求2a2+2a的值；（2）求a3﹣2a+2026的值． 解：（1）由条件可知a2+a﹣1＝0， ∴a2+a＝1， ∴2a2+2a＝2（a2+a）＝2； （2）由条件可知a2＝1﹣a， ∴a3﹣2a+2026＝a•a2﹣2a+2026＝a•（1﹣a）﹣2a+2026＝a﹣a2﹣2a+2026 ＝﹣a2﹣a+2026＝﹣（a2+a）+2026＝﹣1+2026＝2025． 14．(2025秋•克州期中)已知关于x的方程（k2﹣1）x2﹣（k+1）x﹣2＝0． （1）当k= 1 时，此方程为一元一次方程？此方程的根是 -1 ． （2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 解：（1）∵原方程为一元一次方程，∴，解得k＝1； （2）∵原方程为一元二次方程，∴k2﹣1≠0，解得k≠±1， 该方程的二次项系数为k2﹣1，一次项系数为﹣（k+1），常数项为﹣2． 15．(2026春•姑苏区校级期中)定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程2x2+9x+7＝0是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“联合方程”，若﹣2是此“联合方程”的一个根，求m和n的值． 解：（1）该方程是“联合方程”，理由如下： 在一元二次方程2x2+9x+7＝0中，a＝2，b＝9，c＝7， ∵a﹣b+c＝2﹣9+7＝0， ∴一元二次方程2x2+9x+7＝0是“联合方程”； （2）由条件可知3﹣（﹣m）+n＝0， ∵﹣2是此“联合方程”的一个根， ∴3×（﹣2）2﹣m×（﹣2）+n＝0，即，解得， ∴m的值为﹣9，n的值为6． 16．(2025秋•白塔区校级期末)定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足：a+b+c＝0， 那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程4x2﹣11x+7＝0是否为“黄金方程”，并说明理由； （2）已知ax2﹣3x+c＝0是关于x的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程” 是 　x2﹣3x+2＝0 　 ； （3）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求m的值． 解：（1）一元二次方程4x2﹣11x+7＝0是“黄金方程”．理由如下： 当x＝1时，4x2﹣11x+7＝0，则x＝1为方程的解， ∴一元二次方程4x2﹣11x+7＝0是“黄金方程”； （2）∵ax2﹣3x+c＝0是关于x的“黄金方程”，∴a﹣3+c＝0， 把x＝2代入ax2﹣3x+c＝0得4a﹣6+c＝0，解得a＝1，c＝2， ∴这个“黄金方程”为x2﹣3x+2＝0； 故答案为：x2﹣3x+2＝0； （3）∵3x2﹣mx+n＝0是关于x的“黄金方程”，∴3﹣m+n＝0，即n＝m﹣3， ∵m是此方程的一个根，∴3m2﹣m2+n＝0，即2m2+m﹣3＝0， 解得m1，m2＝1，即m的值为或1． 17．(2025春•宿迁校级期末)已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 解：（1）△ABC是等腰三角形， 理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0， ∴2a＝2b，∴a＝b， ∴△ABC的形状是等腰三角形； （2）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c， ∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，即x2﹣x＝0， 解得：x1＝0，x2＝1， 即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1． 【拓展提升】 18．(2025秋•湟源县校级期中)已知关于x的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+3m﹣1＝0． （1）当m ≠±2 时，该方程是一元二次方程？ （2）当 =2 时，该方程是一元一次方程？ 解：（1）根据题意，m2﹣4≠0，解得：m≠±2， 当m≠±2时，该方程是一元二次方程； （2）根据题意，m2﹣4＝0且m+2≠0，解得：m＝2， 故当m＝2时，该方程是一元一次方程． 19．(2025秋•云南校级期中)已知m是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，则：①= ﹣3 ．②= 11 ． 解：①∵m是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，∴m2+3m﹣1＝0，且m≠0 ∴，∴，即的值为﹣3． ②∵，∴()2=9， 即： -2=9，= 11 学科网（北京）股份有限公司 $