第3章 3 探索与表达规律-【学海风暴】2026-2027学年七年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

1 原式=(-2)+2×2 =4+1=5. 4.解：5(3m2n-m22-mn)-（mn2+3m2n)十5mn =15m2n-5mn2-5mn-mn2-3m'n+5mn =12m2n-6mn. 因为m-号引+(u号)广=0， 1 所以m一2 1 =0,n- -=0,即m= 3 m= 1 1 当m=2n=3时， 原式=12x(分)×-6××（）- 5解：原式=-5y+23y-4-74)+6y =-5xy+6xy-8xy2-xy+6xy =-2xy 因为x2=1,|y|=3, 所以x=士1，y=士3. 因为x十y<0, 所以y=一3. 当x=1,y=-3时，原式=-2×1×(-3)2=-18； 当x=-1,y=-3时，原式=-2×(-1)×(-3)2 =18. 综上所述，原式的值为-18或18。 6.解：2(x2y+xy)-3(x2y-x)-2xy =2.x2y+2xy2-3.x2y+3x-2xy =-x2y+3x. 因为x是最大的负整数，y是倒数等于它本身的数， 所以x=-1,y=士1. 当x=-1,y=1时，原式=-(-1)2×1+3×(-1)= -1-3=-4; 当x=-1,y=-1时，原式=-(-1)2×(-1)+3× (-1)=1-3=-2. 综上所述，原式的值为一4或一2. 7.解：-3(ab-a2)-[2b2-(5ab-a2)-2ab] =-3ab+3a2-(2b2-5ab+a2-2ab) =-3ab+3a2-2b2+5ab-a2+2ab =2a2-2b2+4ab. 因为|a2-b2-1与(ab+2)2互为相反数， 所以|a2-b2-11+(ab+2)2=0, 所以a2-b2-1=0,ab十2=0， 所以a2-b2=1,ab=-2, 所以原式=4ab+2(a2-b2)=-6. 8.解：(1)4 (2)因为A=3x+2xy-9y,B=3x-2.xy-3y, 所以2B一A =2(3x-2xy-3y)-(3x+2.xy-9y) =6x-4xy-6y-3.x-2xy+9y =3.x+3y-6xy =3(x+y)-6xy 3y= 当x十y= 时，原式=3×-6x(-） =10. 416 七年级数学BS版 【解析】(1)因为2x2-3y=7, 所以4x2-6y-10=2(2x2-3y)-10=2×7-10=4. 9.解：(1)2026 (2)7 (3)因为a2+2ab=5,ab-2b2=-6, 所以3a2+4ab+4b2 =3a2+6ab-2ab+4b =3(a+2ab)-2(ab-2b2) =3×5-2×(-6) =15+12=27. 【解析】(1)因为a2+a一3=0， 所以a2+a=3, 所以2a2+2a+2020 =2(a2+a)+2020 =2×3+2020=2026. (2)因为a-2b+3=0, 所以a-2b=-3, 所以3(a+b)-7a+5b-5 =3a+3b-7a+5b-5 =-4a+8b-5 =-4(a-2b)-5 =-4×(-3)-5 =12-5=7. 3探索与表达规律 1.C【解析】数值部分：第1个数值为2，第2个数值为 三，第3个数值为4… 所以第n个数值为，十 1 符号部分：n为奇数时为正号，n为偶数时为负号，所 以符号可用（一1）+1表示. 故第n个数为(-1)1” n+1 2.(21一1)x+1【解析】第1项系数为1，指数为2：第2 项系数为3，指数为3：第3项系数为5，指数为4；… 系数的规律为2n一1，指数的规律为n十1，故第n个代 数式为(2n一1)x"+1. 3.45【解析】观察题图可知，奇数行的第一个数是行号 的平方：偶数行的最后一个数是行号的平方.因为44 =1936,452=2025,所以2025在第45行. 4.D【解析】第①个图形从上面可以看到1个正方形，即 1=1:第②个图形从上面可以看到3个正方形，即1+2 =3:第③个图形从上面可以看到6个正方形，即1十2 十3=6：第④个图形从上面可以看到10个正方形，即1 +2+3十4=10；…第@个图形从上面可以看到的正 方形的个数为1+2+3+·十198+199+200= (1+200)×200 =20100. 2 5.122【解析】根据题意，得 n1=5,a1=n+1=25+1=26: n2=2+6=8,a2=n2+1=64+1=65; n4=5+6=11,a3=n号+1=121+1=122： n1=1+2+2=5,a,=n+1=25+1=26: n5=2+6=8,a5=n号十1=64十1=65： 观察数值发现，三步为一个周期，2025÷3=675，所以 42025=122. 6.解：（所取三位数不唯一）所取三位数为614，则有614 -416=198,198+891=1089. 现象：结果一定为1089. 设百位上的数字为a,十位上的数字为b,则个位上的 数字为a一2， 原数为100a+10b+a-2=101a+10b-2, 交换后的数为100(a一2)十10b十a=101a+10b一200， 两式相减，得101a+10b一2一(101a+10b一200)= 101a+10b-2-101a-10b+200=198, 所以结果一定为198+891=1089. 1 1 7.A【解析】因为x:=一1中1=一2x= 2 1 1 1 =-2x=--2+1x=一1中=一2 所以每3次运算结果循环出现，且x1·x2·x=1. 因为10÷3=3…1，所以x10=1, 所以x1·x2·xa·…·xo=1X1=1. 8.A【解析】因为图②比图①多出2=2个“树枝”，图③ 比图②多出4=22个“树枝”，图④比图③多出8=23个 “树枝”，所以图@比图-多2-1个“树枝”. 9.解：(1)十字框框出的5个数，上面的数比中间的数小 12,下面的数比中间的数大12，左面的数比中间的数 小2，右面的数比中间的数大2. (2)5个数的和为20+30+32+34+44=160,160=32 ×5,则5个数的和恰为中间的数的5倍. (3)这5个数还存在这种规律. 因为中间的数为a,所以十字框框住的5个数的和为 (a-12)+(a-2)+a+(a+2)+(a+12)=5a. 10.解：设表示身高的三位数的百位上的数字为a,十位 上的数字为b,个位上的数字为c. 根据题意，得[(2a+5)×5+b]×10+c, 化简，得100a+10b+c+250. 由此可知，只要把得数减去250，得到的三位数就是 小亮的身高， 所以小亮的身高为416-250=166(cm). ☆问题解决策略：归纳 1.3n-2 2.3n十2【解析】由所给图形可知，第1个图案中涂有阴 影的小正方形的个数为5=1×3十2：第2个图案中涂 有阴影的小正方形的个数为8=2×3十2；第3个图案 中涂有阴影的小正方形的个数为11=3×3十2，所以 第n个图案中涂有阴影的小正方形的个数为(3n+2). 3.解：(1)当a=1,b=3时， a3+b3+3ab(a+b)=13+33+3×1×3×(1+3)=1 +27+36=64,(a+b)3=(1+3)3=43=64: 当a=一1，b=2时， a3+b3+3ab(a+b)=(-1)3+23+3×(-1)×2× (-1+2)=-1+8-6=1,(a+b)3=(-1+2)3=13 =1. (2)a3+b3+3ab(a+b)=(a+b)3 原式=518+3×51×(-49)×[51+(-49)]+ (-49)3=[51+(-49)]3=23=8. 4.解：)(n+1) 2 (2)n (3)n(n+1) (4)(101+103+105+…+199)+(202+204+206+… +300) =(1+3+5+…+199)-(1+3+5+…+99)+(2+4 +6+…+300)一(2+4+6+…+200) =1002-502+150×151-100×101 =10000-2500+22650-10100 =20050. 【解析】(2)1=1； 1+3=4=22; 1+3+5=9=32: 1+3+5+7=16=4: 1+3+5+…+(2n-1)=n2. (3)2=1×2: 2+4=6=2×3: 2+4+6=12=3×4: 2+4+6+8=20=4×5: 。。 2+4+6+8+…+2n=n(n+1). 章末对点导练 1.C2.A3.B4.B5.C 6.解：(1)2.x2+3xy+7 2)因为x+1D+-引 =0, 所以x+1=0y-3=0,所以x=-1y=了， 1 1 所以2A-3B=2X(-1)2+3×(-1)×3+7=2-1 +7=8. (3)A-B=(4x2-3.xy十2)-(2x2-3xy-1) =4.x2-3.xy+2-2.x2+3.xy+1 =2x2+3>0, 所以A>B. 【解析】(1)2A-3B=2(4x2-3xy+2)-3(2x2-3xy-1) =8.x2-6.xy+4-6.x2+9xy+3 =2x2+3.xy+7. 7.解：(1)7x+7y-11.xy 1 (2)因为x+y=7xy=-2,所以2A-3B=7x+7y 1 -11xy=7(x+y)-11xy=7×7-11X(-2)=1+ 22=23. 【解析】(1)2A-3B=2(3x2-x十2y-4xy)-3(2x2 3.x-y十xy) =6.x2-2x+4y-8.xy-6.x2+9x+3y-3xy =7x+7y-11xy. 上册详解详析 173 探索与表达规律 课内基础闯关 A.10100 B.5050 C.40200 D.20100 知识点①探索数、式规律 知识点③ 借助运算解释规律和现象 1.(2025一2026萍乡期中)观察下列一组数： 123 5.让我们做一个数字游戏轻松一下.第一步：取一 4 2’一3’4，一5….第n个数是 ( 个自然数n1=5,计算n+1得a1;第二步：算 A开 B.(-1)”” 出a1的各位数字之和得n2,计算n2十1得a2; n+1 第三步：算出a2的各位数字之和得n3,计算n C.(-1)”+1” D（-1"” 十1得a3;….以此类推，a2o2s= n+1 6.如下图，小明在研究数字问题时发现了一个 2.(2025一2026鹰潭余江区期中)按一定规律 有趣的现象。 排列的代数式：x2,3.x3,5x,7x5,9x6,….第 任意写一个三位数， 例 n个代数式是 百位上的数字比个 785 位上的数字大2 3.将从1开始的连续自然数按如图所示的方 交换百位上的数字 与个位上的数字 587 式排列： 第1行 用大数减小数 785-587=198 1 第2行 234 交换差的百位上的数 字与个位上的数字 897 第3行 98765 做加法 第4行 98+891=1089 10111213141516 第5行252423222120191817 请你用不同的三位数（个位上的数字不能为 0)再做一做，能发现什么有趣的现象？用你 第3题图 所学过的知识进行解释. 则2025在第 行 知识点② 探索图形规律 4.(2025一2026九江湖口期中)如图所示的是 由棱长为1的正方体搭成的立体图形.第① 个图形由1个正方体搭成，从上面可以看到 1个正方形；第②个图形由4个正方体搭成， 从上面可以看到3个正方形；第③个图形由 10个正方体搭成，从上面可以看到6个正方 形；….以此类推，搭成第@个图形，从上 面可以看到正方形的个数是 第4题图 456 七年级数学BS版 巴课外拓展提高 (3)如果将十字框上下左右移动，仍框住5 个数，这5个数还存在(2)中的规律吗？设 7.新定义题当x≠一1时，我们把一1 十了称为 中间的数为a,用代数式表示十字框框住的 x的“和1负倒数”.如：2的“和1负倒数”为 5个数的和. 1 1 2+1= 3若x=1x2是x1的“和1负 倒数”，x3是x2的“和1负倒数”，….以此 类推，x1·x2·…·x10的值为 ) A.1 B.-1C.2 1 D.一2 综合能力提升 8.情境应用小优观察家里的桃树幼苗，并按 10.(教材变式)小明让小亮把表示自己身高 照一定规律画出了如下的“生长图”.经观察 (单位：cm)的三位数写在一张纸条上，按下 可以发现：图②比图①多出2个“树枝”，图 面步骤进行计算： ③比图②多出4个“树枝”，图④比图③多出 ①把百位上的数字乘2：②将得到的积加上 8个“树枝”，….按照此规律，图回的“树 5;③再将这个和乘5；④再加上十位上的数 字；⑤再乘10；⑥再加上个位上的数字. 枝”个数比图-多 小亮做好后，对小明说：“最后的得数是 416.”小明稍加思索便报出答案：“你的身 高是166cm.”小亮非常惊讶，但很快明白 图① 图② 图③ 图④ 了其中的道理.亲爱的同学，你能告诉大家 第8题图 这是为什么吗？ A.2m-1 B.2" C.2"+1 D.22m-1 9.将连续偶数2,4,6，…按下图所示的方式排 列，用十字框框出5个数.问： 24681012 141618202224 262830323436 384042444648 505254565860 (1)十字框框出的5个数分别与框中间的数 32有什么关系？ (2)5个数的和与中间的数有什么关系？ 知识要点归纳 探索规律问题的特点：给出一组具有某种特殊关 系的数、式、图形，或与图形有关的操作变化过 程，或某一具体问题情境，要求通过观察、分析 推理、猜想来探索其中蕴含的规律，体现了“从特 殊到一般”的数学思想。 上册第三章