第3章 ☆问题解决策略：归纳&章末对点导练-【学海风暴】2026-2027学年七年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

n5=2+6=8,a5=n号十1=64十1=65： 观察数值发现，三步为一个周期，2025÷3=675，所以 42025=122. 6.解：（所取三位数不唯一）所取三位数为614，则有614 -416=198,198+891=1089. 现象：结果一定为1089. 设百位上的数字为a,十位上的数字为b,则个位上的 数字为a一2， 原数为100a+10b+a-2=101a+10b-2, 交换后的数为100(a一2)十10b十a=101a+10b一200， 两式相减，得101a+10b一2一(101a+10b一200)= 101a+10b-2-101a-10b+200=198, 所以结果一定为198+891=1089. 1 1 7.A【解析】因为x:=一1中1=一2x= 2 1 1 1 =-2x=--2+1x=一1中=一2 所以每3次运算结果循环出现，且x1·x2·x=1. 因为10÷3=3…1，所以x10=1, 所以x1·x2·xa·…·xo=1X1=1. 8.A【解析】因为图②比图①多出2=2个“树枝”，图③ 比图②多出4=22个“树枝”，图④比图③多出8=23个 “树枝”，所以图@比图-多2-1个“树枝”. 9.解：(1)十字框框出的5个数，上面的数比中间的数小 12,下面的数比中间的数大12，左面的数比中间的数 小2，右面的数比中间的数大2. (2)5个数的和为20+30+32+34+44=160,160=32 ×5,则5个数的和恰为中间的数的5倍. (3)这5个数还存在这种规律. 因为中间的数为a,所以十字框框住的5个数的和为 (a-12)+(a-2)+a+(a+2)+(a+12)=5a. 10.解：设表示身高的三位数的百位上的数字为a,十位 上的数字为b,个位上的数字为c. 根据题意，得[(2a+5)×5+b]×10+c, 化简，得100a+10b+c+250. 由此可知，只要把得数减去250，得到的三位数就是 小亮的身高， 所以小亮的身高为416-250=166(cm). ☆问题解决策略：归纳 1.3n-2 2.3n十2【解析】由所给图形可知，第1个图案中涂有阴 影的小正方形的个数为5=1×3十2：第2个图案中涂 有阴影的小正方形的个数为8=2×3十2；第3个图案 中涂有阴影的小正方形的个数为11=3×3十2，所以 第n个图案中涂有阴影的小正方形的个数为(3n+2). 3.解：(1)当a=1,b=3时， a3+b3+3ab(a+b)=13+33+3×1×3×(1+3)=1 +27+36=64,(a+b)3=(1+3)3=43=64: 当a=一1，b=2时， a3+b3+3ab(a+b)=(-1)3+23+3×(-1)×2× (-1+2)=-1+8-6=1,(a+b)3=(-1+2)3=13 =1. (2)a3+b3+3ab(a+b)=(a+b)3 原式=518+3×51×(-49)×[51+(-49)]+ (-49)3=[51+(-49)]3=23=8. 4.解：)(n+1) 2 (2)n (3)n(n+1) (4)(101+103+105+…+199)+(202+204+206+… +300) =(1+3+5+…+199)-(1+3+5+…+99)+(2+4 +6+…+300)一(2+4+6+…+200) =1002-502+150×151-100×101 =10000-2500+22650-10100 =20050. 【解析】(2)1=1； 1+3=4=22; 1+3+5=9=32: 1+3+5+7=16=4: 1+3+5+…+(2n-1)=n2. (3)2=1×2: 2+4=6=2×3: 2+4+6=12=3×4: 2+4+6+8=20=4×5: 。。 2+4+6+8+…+2n=n(n+1). 章末对点导练 1.C2.A3.B4.B5.C 6.解：(1)2.x2+3xy+7 2)因为x+1D+-引 =0, 所以x+1=0y-3=0,所以x=-1y=了， 1 1 所以2A-3B=2X(-1)2+3×(-1)×3+7=2-1 +7=8. (3)A-B=(4x2-3.xy十2)-(2x2-3xy-1) =4.x2-3.xy+2-2.x2+3.xy+1 =2x2+3>0, 所以A>B. 【解析】(1)2A-3B=2(4x2-3xy+2)-3(2x2-3xy-1) =8.x2-6.xy+4-6.x2+9xy+3 =2x2+3.xy+7. 7.解：(1)7x+7y-11.xy 1 (2)因为x+y=7xy=-2,所以2A-3B=7x+7y 1 -11xy=7(x+y)-11xy=7×7-11X(-2)=1+ 22=23. 【解析】(1)2A-3B=2(3x2-x十2y-4xy)-3(2x2 3.x-y十xy) =6.x2-2x+4y-8.xy-6.x2+9x+3y-3xy =7x+7y-11xy. 上册详解详析 17 8.解：(1)2 (2)m+n2m-n -1 =3(m+n)-(2m-n)·(-1) 3 =3m+3n+2m-n=5m+2n. 当m=2,n=-1时，原式=5×2+2×(-1)=8. 9.47【解析】第1行的第1个数是1，而1=0+1： 第2行的第1个数是3，而3=2+1=2×1+1： 第3行的第1个数是7，而7=6+1=3×2+1： 第4行的第1个数是13，而13=12+1=4×3+1： 第5行的第1个数是21，而21=20+1=5×4+1； …… 第n行的第1个数是n(n-1)十1， 所以第7行的第1个数是7×(7一1)十1=43， 所以第7行从左往右数第3个数是43+2×(3一1)=47. 10.解：(1)56(2)n(n+1) (3)300+302+304+…+2020+2022+2024 =(2+4+6+…+2024)-(2+4+6+…+298) =1012×1013-149×150 =1002806. 11.202612.3780 13.2 +1 【解折抽题意，得公++十+） az a 1,11 1 =2+6+12+…+ n(n+1) 1名+g+g++片 11 =1一 n+1 11 n+1: 所以原式=2” n十1' 第四章基本平面图形 1线段、射线、直线 第1课时认识线段、射线、直线 1.D2.C 3.B【解析】直线可以向两端无限延伸，射线向一端无限 延伸.在B选项中，射线EF延长后可以与直线AB相 交，故B选项符合题意. 4.C【解析】A.点C在线段AB的延长线上，不在线段 AB上，故原说法错误，不符合题意；B.点C在直线AB 上，不在射线AB上，故原说法错误，不符合题意；C.线 段AB和射线DC有一个交点，故原说法正确，符合题 意；D.直线没有延长线，故原说法错误，不符合题意. 5.2直线AB,EF3线段AB,AC,BC4射线 BE.BF.CE.CF 6.A【解析】①用两个钉子固定木条，依据的是两点确 定一条直线；②拉绳的两个支点确定终点线，依据的是 两点确定一条直线：③开凿隧道缩短距离，依据的是两 点之间线段最短.故可用“两点确定一条直线”来解释 的是①②. 变式题两点确定一条直线 7.C【解析】根据“P是直线a外一点”排除A选项，根 18 七年级数学BS版 据“过点P有一条直线b与直线a相交于点Q”排除 B,D选项. 8.解：如图所示 9.D【解析】如图①，点A,B,C三点共线时可以画出1 条直线：如图②，三点不共线时可以画出3条直线，所 以可以画出的直线有3条或1条， A B C A 图① 图② 10.C【解析】因为图中线段有AB,AC,AD,AE,BC, BD,BE,CD,CE,DE,共10条，所以单程要10种车 票，往返就是20种车票. 11.③④【解析】①以C为端点的射线共有3条，故①错 误；②射线BD和射线DB不是同一条射线，故②错 误；③直线BC和直线BD是同一条直线，故③正确； ④射线AB,AC,AD的端点相同，故④正确. 12.12【解析】由题意得，直线有1条，射线有6条，线段 有3条，所以x=1,y=3,之=6，所以3x十y十之=3× 1+3+6=12. 13.解：(1)直线AB、线段BC、射线CD如图所示. D (2)点E如图所示.（答案不唯一） (3)76 14.解：(1)6 (2)设该线段上共有x条线段， 则x=(m一1)+(m一2)十(m-3)十…十3+2十1， 所以倒序排列有x=1+2+3+…十(m一3)+(m 2)+(m-1),所以2x=m十m十m+…十m=m(m 。1 -1),所以x=2m(m-1). (3)共握2×45×(45-1)=990（次）手. 第2课时比较线段的长短 1.A 2.解：抽水站C的位置如图所示. 理由：两点之间线段最短 A ‘C B 3.B4.< 5.解：如图所示. A F B☆问题解决 已课内基础闯关 ==0 知识点归纳一从特殊情形到一般规律 1.已知一组数：1,4,7,10,13，….按此规律，第 n个数是 2.(2025一2026鹰潭余江区期末)如图，边长相 等的小正方形组成一组有规律的图案，其中 部分小正方形涂有阴影.按照这样的规律， 第n个图案中涂有阴影的小正方形的个数 为 (用含n的式子表示). 第1个 第2个 第3个 第2题图 3.探究代数式a3+b3+3ab(a+b)与代数式 (a+b)3的关系. (1)请分别计算当a=1,b=3时以及当a= 一1，b=2时两个代数式的值. (2)请写出你发现的规律： 请利用你发现的规律计 算：513-3×51×49×2-493的值. 已课外拓展提高 4.(2025一2026深圳南山区期末)【探究】某数 学小组利用“归纳”的研究方法，将数字转化 为图形变化，对1十2+3十4十…十n的结果 进行探究.具体操作如图①. 1 1+2 1+2+3 1+2+3+4 图① 458 七年级数学BS版 策略：归纳 将图①中的图形复制，标上阴影后与对应的 原图组成新的图形（如图②）. 口口 图② 直观地发现，小正方形的数量和依次为1× 2,2×3,3×4,4×5,…, 因此空白部分的小正方形的数量和依次为 1×22×33×44×5 2’2,2,2… (1)1+2+3+4+5+…+n= 【迁移】数学小组受此启发，继续对连续奇数 的和、连续偶数的和进行研究 (2)连续奇数的和：1+3+5+7十…+(2n 1)= (3)连续偶数的和： 2+4+6+8+…+2n= 【应用】(4)利用以上结论，计算(101+103+ 105+…+199)+(202+204+206+…+ 300)的值. 知识要点归纳 “归纳”是从几种特殊情形出发，进而找到一般规 律的过程，归纳是发现数学结论、解决数学问题 的一种重要策略 章末对点导练 色单元考点整合 (2)当x,y满足(x+1)+y-号引=0时， 考点①代数式的相关概念 求2A-3B的值. 1.下列式子中，不是代数式的是 (3)数学中有一种比较两数（式）大小的方 A.3a+26 B.2025mn 法，叫“作差法”，即通过计算两个数的差值， C.3.x+4=6 D.6 进而根据差值与0的大小来比较两数（式） a+1 的大小.试通过“作差法”比较A,B的大小. 2.情境应用某书店开展促销活动，促销方法 是将原价为x元的一批图书以(0.8x一10) 元的价格出售，则下列说法中，能正确表达 这批图书的促销方法的是 ) A.在原价的基础上打八折再减去10元 B.在原价的基础上打零点八折再减去10元 C.在原价的基础上减去10元再打八折 D.在原价的基础上减去10元再打零点八折 考点②整式的相关概念 .3ab ab 3.下列武子：x+3,十5,2π，，5z,0 考点④ 整式的化简求值 十0c=ab.其中整式的个数是 7.已知A=3x2-x+2y-4xy,B=2x2-3x A.6 B.5 C.4 D.3 -y+xy. 4.（2025一2026萍乡期中)下列语句中，错误的 (1)化简：2A-3B= 是 ( 1 (2)当x+y= 7,xy=一2时，求2A-3B A.2y2-3xy-2026是二次三项式 B.单项式-a的系数与次数都是1 的值 C.数字0也是单项式 D.把多项式一2x2+3.x3一2十x按x的降幂 排列是3.x3-2x2十x一2 考点③整式的加减 5.下列计算正确的是 A.x2+2x2=3x4 B.-a2b+b2a=0 C.2a2-3a2=-a2 D.3(a+b)=3a+b 6.(2025一2026周口期末)已知代数式A=4x2 -3xy+2,B=2x2-3.xy-1. (1)化简：2A-3B= 上册第三章 59△ 6 8.若规定一个新的运算法则为 -ad-bc. d 32 (1)计算： 4 m+n 2m-n (2)化简 ,并计算当m=2, -1 3 n=一1时代数式的值. 考点⑤探索与表达规律 9.由1,3,5,7,9,11,13,15,17,19，…组成的三角形 数阵如图所示.第7行从左往右数第3个数是 1 35 7911 13151719 2123252729 第9题图 10.从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况 如下表： 加数的个数n 和S 1 2=1×2 2 2+4=6=2×3 3 2+4+6=12=3×4 … (1)若n=7,则S的值为 (2)根据表中的规律猜想：用含n的式子表 示S的公式为S=2+4十6+8+…+2n= (3)根据(2)中总结的规律计算300+302+ 304十…+2020+2022+2024的值. 460 七年级数学BS版 中考真题演练 11.(2026湖南)已知x2一4x=0,则代数式 2x2-8x+2026的值是 12.(2026达州)中国古代数学家李冶的《测圆 海镜》是现存使用天元术的最早著作、天元 术是设未知数列方程的方法.开创了中国 的半符号代数学.其中天元式可以用来表 示多项式，如在未知数的一次项旁标注 “元”字.未知数的其他幂次由与“元”的相 对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低 次幂在下.图①中的天元式表示多项式 144x2+5184x+2488320,则图②表示的 多项式的二次项系数为 144 1三 5184 三|上元 2488320← 川三m兰川=O 图① ‖=m元 图② 第12题图 13.(2026内江)南宋时期数学家杨辉的著作 《详解九章算法》记载着如图所示的图表， 后人把这个图表称作“杨辉三角”.图中两 条平行线之间的一列数：1,3,6,10,15，… 我们把第一个数记为a1=1,第二个数记为 a2=3,第三个数记为a3=6,…,第n个 数记为a.,则1十1+1十…十1 al a2 a3 1 11 12/1 13/3/1 14/6/41 15/10/1051 1615/201561 第13题图