期末综合冲刺卷·数学(九)-【步步维赢】2025-2026学年高二下学期数学期末综合冲刺卷（人教B版）

高二下学期期末综合冲刺卷·数学（九） (满分：150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.设数列{an}满足：a1=1,a2=3,且2a,=(n-1)an-1+(n十1)an+1,则a2的值是( A号 R4号 C. D.45 如 2.在等差数列{am}中，Sn为其前n项的和，S4=5,S,=20,则a7 ( A.-3 B.-5 C.3 D.5 帝 3.已知在等比数列{an}中，a=2,a4a。=16,则。二a的值为 ( as-a8 A.2 B.2√2 C.±2√2 D.±8 4.枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2,枪弹从枪口 射出时所用时间为1.6×10一3s,则枪弹射出枪口时的瞬时速度为 A.800m/s B.600m/s C.200m/s D.400m/s 剂 5.已知函数f(x)=x2-9lnx+3x在其定义域内的子区间(m-1,m十1)上不单调，则实数 m的取值范围为 ( A(合引 B[1,2) c.(12) D[1, 6.函数f(x)=x一3x十2在区间[一1,1]上的最大值是 帕 A.-2 B.0 C.2 D.4 期 .吧知等数列Q,b的面项和分别为S.N者子-则爱 ( A号 a号 D.3 8.函数f(x)是定义在(1，十∞)上的可导函数，f(x)为其导函数，若f(x)十(x一1)f(x) 童 =x(x-2),且f(e)=0,则不等式f(e)<0的解集为 ( A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(2,十o) 9-1 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.下列函数中，存在极值点的是 A.y=x- B.y=2l C.y=-2x3-x D.y=xln x 10.定义在区间[一号，4]上的函数()的导函数了(x)的图象如图所示，则下列结论正确 的是 A.函数f(x)在区间(0,4)单调递增 B.函数f(x)在区间(-2,0单调递减 C.函数f(x)在x=1处取得极大值 D.函数f(x)在x=0处取得极小值 11.如果a1,a2,…,a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则 A.asa6aas B.asa6aas C.a3十a6=a4十a5 D.asa6-aas 12.若函数f(x)=3x一x3在区间(a2一12，a)上有最小值，则实数a的可能取值是( A.0 B.1 C.2 D.3 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.若等差数列{a,}和等比数列(b,}满足a,=b=-1,a4=b,=8,则% b 14设函数)=。若f=号，则a= 15.设定义域为R的函数f(x)满足f'(x)>f(x),则不等式e1f(x)<f(2x一1)的解集为 16.已知函数f(x)=x-ln(x十a),若a=2,则f'(0)= ;又若f(x)的最小值为0， 其中a>0,则a的值为 .(第一空2分，第二空3分) 9-2 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)已知数列 。 (1)求这个数列的第10项； (2)是不是该数列中的项？为什么？ 9-3 (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内. 18.(本小题满分12分)设曲线y=x"+1(∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴交点的横坐标 为，令a,=lg,计算a+a,十a,十…+aas 9-4 19.（本小题满分12分)已知在等比数列{an}中，a1=1,且a1,a2,a3-1成等差数列. (1)求数列{a,}的通项公式； (2)若数列{bn}满足b,=2-1十an(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Sm,试比较Sn与n2 +2”的大小. 9-5 20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e-ax一a(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点x1,x2,求实数a的取值范围，并证明x1十x2>0. 9-6 21.(本小题满分12分)设数列{an}满足a1=3,am+1=3am一4n. (1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明； (2)求数列{2”an}的前n项和Sn 9-7 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=axe,g(x)=x2+2x+b,若曲线y=f(x)与曲线 y=g(x)都过点P(1,c).且在点P(1,c)处有相同的切线1. (1)求切线1的方程； (2)若关于x的不等式k[ef(x)]≥g(x)对任意x∈[-1，十o∞)恒成立，求实数k的取值 范围。 9-8=3=9=3, 19.[解](1)等比数列{bm}的公比g==3 所以1=2=1，b1=g=27. 0 设等差数列{an〉的公差为d. 因为a1=b1=1,a14=b4=27, 所以1+13d=27,即d=2. 所以am=2n-1(n=1,2,3,…). (2)由(1)知，aw=2-1,bn=3”-1. 因此cn=an十bn=2-1十3”-1. 从而数列{cn}的前n项和 Sm=1+3+…+(21-1)+1+3+…+3"-1 =0(1十2n-1D+1-3” 2 1-3 =7+”2 20.[解](1)因为g(x)=f(x)=2a.x+a-2e2x, 所以g'(x)=2a-4e2x=-2(2e2-a), ①当a≤0时，g'(x)<0,g(x)在R上单调递减 ②当a>0时，令g(x)>0,则n号 1 令g'(x)<0,则x>21n2' 所以gx)在(-o,n号)单拥道增，在[号n号， 十∞)上单调递减. 综上所述，当a≤0时，g(x)在R上单调递减； 当a>0时，g(x)在(-∞，2ln号)上单调递增，在 [21n号，十o∞)上单调递减. (2)因为f(x)=a.x2+a.x十1-e2x,可知f(0)=0, f(x)=2a.x+a-2e2x=a(2x+1)-2e2x=(2x+1) (a-2x+7, 2e2x 令f(x)=0,得a=2x十： 。2e2r 8xe2x 设hx)=2+,则h'(x）=2x+1.当t>0时， h'(x)>0,在(0，+∞)上单调说增， 所以h(x)在(0，十∞)上的值域是(2，十∞)，即 2e2r 2+7>2. 当a≤2时，f'(x)=0没有实根，且f'(x)<0, 在(0，十∞)上单调递减，f(x)f(0)=0,符合题意. 当a>2时，h(0)=2<a, 2e2r 所以h(x)=22十=a有唯一实根x0, 当x∈(0，xo)时，f(x)>0,f(x)在(0，x0)上单调递 f(x)>f(0)=0,不符合题意. 综上，a≤2，即a的取值范围为(-∞，2]. 21.[解](1)设数列{an}的公差为d,由a2十a8=2a5=18, 则a5=9, 又由S2= _7(a1十a2=7a4=49,a4=7, 2 ∴.d=a5-a4=2, 又a4=a1十3d=7,所以a1=1,∴.n=2n-1 (2)证明：由(1)可知b,=(十D”十1 1 11 “盘列，的膏以项不为T,=1子十子子十弓 ++日1- 4 由0<11 ≤2，所以g<T<1 22.[解](1)f(x)=3(x2-2),令f(x)=0, 得x1=-√2，x2=√2. 当x∈(-o∞，-√2)U(W2,+o∞)时，f(x)>0, 当x∈(-√瓦，√2)时，f'(x)<0, 因此x1=一√2，x2=√2分别为f(x)的极大值点、极 小值点 (2)由(1)的分析可知y=f(x)图象的大致形状及走 向如图所示，要使直线y=a与y=f(x)的图象有3 个不同交点需5-4W2=f(W2)<a<f(-√2)=5+ 4√2.则方程f(x)=a有3个不同实根时，所求实数 a的取值范围为(5一4√2,5+4√2). y=时fx) Y=d 2 -2 (3)f(x)≥k(x一1)， 即(x-1)(x2+x-5)≥k(x-1), 因为x>1,所以k≤x2十x一5在(1，十∞)上恒成立， 令g(x)=x2+x一5，由二次函数的性质得g(x)在 (1,十∞)上是增函数，所以g(x)>g(1)=一3，所以 所求k的取值范围是（一∞，一3]. 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（九） 1.D[2an=(n-1)an-1十(n+1)an+1,.数列 {nan}是以a1=1为首项，2a2-a1=5为公差的等差 数列20uw=1十5X19=95,郎释a0=8=4号 故选D.] 2.C[方法一设等差数列{an}的公差为d.S4=5 2(az+a)-u+aas- 5d,联立两式得d=a,=a+2d=3故运C 方法二Sg-S4=a5十a6十a7十a8十ag=(a5十ag） +a7+(a6+a8)=5a7=20-5=15..a7=3.故选 C. 3.C[.等比数列{an}中，a3=2,a4a6=16, ÷-s 解得a1=1,q=±2， .9-a1=a198-a1g0 a6-as aig-ang' =q3=士2√2.故选C.] 4.A[位移公式为s=2at2,:△=2a(to十△)2 12 1 2at6=ato△t+za(△)2， ÷器-a+a 1 ∴m3是-lm(ato+aa）=ao, 1 已知a=5.0X105m/s2,to=1.6×103s,∴.at0=800m/s. 所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为8O0m/s.故选A.] 5.D[因为fx)=2-9nx+3x,所以f)=2x-9+3, 令)=0，即2x号+3=0，解得x=昌或=-3会， 所以x∈(o,号)时f)<0f)单羽运减， x∈（受，+∞）时，fx)>0,x)单调通增， 6 而f(x)在区间(m一1，m十1)上不单调，所以m一1 多<m+1, 解得2<m<号，周为(m-1,m十1D是函数f代x)定义 .5 域内的子区间， 所以m-1≥0，即m≥1，所以m的范国为[1，号)： 故选D.] 6.C[.f(x)=3.x2-6x,令f(x)=0,得x=0或x=2. .f(x)在[一1,0)上是增函数，f(x)在(0,1]上是减函 数.·f(x)max=f(x)极大值=f(0)=2.] 7.A由题意不妨设S,=n(21一1)， Tn=n(n+1), 所以a12=S12-S11=12×23-11×21=45, b6=T6-T5=6×(6+1)-5×(5+1)=42-30=12, 所以器=号-5战选A] 8.C[函数f(x)是定义在(1，十∞)上的可导函数， f(x)为其导函数， 令(x)=(x-1)f(x),则9'(x)=(x-1)·f'(x)十 f(x)=x2(.x-2),可知当x∈(1,2)时，(x)是单调减 函数， 并且0·f(1)+f(1)=1(1-2)=-1<0,即f(1)<0, x∈(1，十o∞)时，函数是单调增函数，f(e2)=0, 则p(e2)=(e2-1)f(e2)=0, 则不等式f(e)<0的解集就是(e-1)f(er)<0的 解集，即p(e)<p(e2), 故不等式的解集为：{x1<x<2).故选C.] 9.BD[由题意函数y=x-上则y=1十>0， 所以函数y=x-1在(-0,0)和(0，十∞)内单调递 增，没有极值点，故A错误； 五”2一仔旅据指数高数的因象与 性质可得，当x<0时，函数y=2x单调递减，当x>0 时，函数y=2x单调递增，所以函数y=2x在x=0 处取得极小值，故B正确： 函数y=一2x3-x,则y=一6x2一1<0，所以函数 y=一2x3一x在R上单调递减，没有极值，点，故C错误； 函教y=xn,则y-1+ln,当x∈(0，)时 y<0,函数单调道减，当x(日十∞)时>0，函 数单调递增，当x=】时，函数取得极小值，故D正 确.故选BD. 10.ABD[根据题中导函数图象可知，f()在区间(-2， 0)上，f(x)<0,f(x)单调递减，在区间(0,4)上，f(x)> 0,f(x)单调递增，所以f(x)在x=0处取得极小值， 没有极大值，所以A、B、D选项正确，C选项错误.故 选ABD. 11.BC[由通项公式，得a3=a1+2d,a6=a1+5d,那 么a3+a6=2a1+7d,a3a6=(a1+2d)(a1+5d)= a+7a1d+10d,同理a4+a5=2a1+7d, a4a5=a1+7a1d+12d2,显然a3a6-a4a5=-2d2< 0,故选B、C. 12.ABC[由f(x)=3-3x=0,得x=士1. 当x变化时，f'(x)及f(x)的变化情况如下表： (-0∞，-1) -1 (-1,1) 1 K1,+∞ (x) 0 0 f(x) -2 2 由此得a2-12<-1<a, 解得-1<a<√1. 又当x∈(1，+o∞)时，f(x)单调递减，且当x=2时， 综上，-1<a≤2.故选ABC.] 13.1[设等差数列的公差和等比数列的公比为d和q, -1计3d=-,=8,求得9=-2d=3,那么号 -1+3=1.] 2 、14.1Lf()=g业，可得f)=e (1+a)2= 中十0=子，解得a=1. 即 15.(1,+o∞)[设f(x)=f2, 则f(x=f()-f) e f(x)>f(x),∴f(x)>0,即函数f(x)在定义域 上单调递增 e-1f(x)<f(2x-1),.f2<f2x-D ex e2x-1 即F(x)<F(2x-1), ∴.x2x-1,即x>1,∴.不等式ex-1fx)<f2x-1)的 解为(1，十∞).] 16.号1[fx)的定义城为(-a,十∞) f)-1.42当a2时f-1 点3f0=1名 11 又由f'(x)=0,解得x=1-a>-a. 当-a<x<1-a时，f(x)<0,f(x)在(-a,1-a)上单 调递减；当x>1-a时，f(x)>0,f(x)在(1一a,+o∞) 上单调递增. 因此，f(x)在x=1一a处取得最小值， 由题意知f(1-a)=1-a=0,故a=1.] 17.[解]设fn)=9n2-9n+2 9n2-1 =(3n-1)(3n-2)_31-2 (3-1)(3m+1)3n+1 (1)令n=10,得第10项a10=f10)=28 311 2)◆-器得9m=30. 此方程无正整能解，所以器不是演戴列中的项。 3m-2-3m+13-1-3m千： (3)证明：an=3十13n+1 3 又n∈N年， 3 0<3m+<10<am<1. 即数列中的各项都在区间(0,1)内. 18.[解]因为y=x”+1,所以y=(n十1)x”,所以曲线 在(1,1)处的切线斜率为k=n十1， 切线方程为y一1=(n十1)(x一1). 令y=0,得=即行 所以aw=1g1=1g(n十1)-1g, 所以a1+a2十a3十…十a2019 =1g 2-1g 1+1g 3-lg 2+1g 4-1g 3+...+1g 2 020 -1g2019=lg2020=1+1g202. 19.[解](1)设等比数列{am}的公比为9， a1,a2,a3一1成等差数列， 2a2=a1+(a3-1)=a3,∴g=a2=2, a2 .a,=a1g”-1=2"-1(n∈N*). (2)由(1)知bn=2n-1十an=2n-1+2”-1, .Sm=(1+1)+(3+2)+(5+22)+…+(2-1+ 2-1)=[1+3+5+…+(2-1)]+(1+2+22+… +2出》+号=+81 2 Sm-(n2+2”)=-1<0,.S<n2+2". 20.[解](1)由题意得f(x)=e-a(x∈R), ①当a≤0时，f'(x)>0,所以f(x)在R上单调递 增； ②当a>0时，由f'(x)=0,得x=lna, 当x<lna时，f(x)<0,f(x)在(-o∞，lna)上单调 说减； 当x>lna时，f(x)>0,f(x)在(lna,+∞)上单调 递增. (2)由于f(x)有两个零点x,x2,不妨设x1<x2, 由(1)可知，当a≤0时，f(x)在R上单调递增，不符 合题意； 当a>0时，x∈R,f(x）mim=f(lna)=a-a(lna+l) =-a·lna<0,即lna>0,解得a>1, 此时有f(-1)=上>0，f(0)=1-a<0,所以存在 x1∈(-1,0)，使得f(x1)=0, 由于y=e2-x-lnx-1(x>1),所以y=ex-1- 在(1，+∞)上单调遍增， 所以当x>1时，y'>e-2>0,所以y=e2-x-lnx 一1在(1，十o∞)上单调递增， 所以当x>1时，y=e2-x-lnx-1>e-2>0; 所以f(a十lna)=ea+la-a(a+lna+l)=a(e-a -lna-1)>0, 所以存在x2∈(lna,a十lna),使得f(x2)=0, 综上，当Q>1时，f(x)有两个零，点x1,x2: 证明：由于e=a(x1+1),e2=a(x2+1),且-1< x1<0<lna<x2,则0<x1+1<x2+1, 所以x1=lna+ln(x1+1),x2=lna+ln(x2+1), 所以2-刘1=n9十1 x+1' 设+1 2+1 >1D,有+16，则 z1+1=Int t-1' (z2-x1=Int,x2+1=tlnt t-11 要证1十2>0，只需证t1)ln1-2>0, t-1 即证lnt>2t-1) t+1 设h(t)=lnt一 t+1(>1), 2(t-1) 1 4 (t-1)2 则')=7+1=+1>0： 所以h(t)在(1，十o∞)上单调递增， 所以当>1时，h(t)>(1)=0,即1nt>21-1, t+1 故x1十x2>0. 21.[解](1)由题意可得a2=3a1-4=9-4=5,a3 3a2-8=15-8=7, 由数列{an}的前三项可猜想数列{an}是以3为首项， 2为公差的等差数列， 即a,=2n十1. 证明如下： 当n=1时，a1=3成立； 假设n=k时，ak=2k十1成立. 18 那么n=k+1时，ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k= 2k+3=2(k+1)+1也成立. 则对任意的n∈N,都有an=2n十1成立； (2)由(1)可知，an·2”=(2m十1)·2” Sm=3×2+5X22+7X23+…+(2n-1)X2"-1+ (2n+1)·2", ① 2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)×2" (2n+1)×2"+1, ② 由①-②得：-Sn=6+2×(22+23+…+2”)-(2n +1)X2”+1 =6+2×2×12"）-（2m+1)×2+1=1 1-2 2)X2"+1-2, 即Sm=(2-1)·2n+1+2. 22.[解](1)f'(x)=ae(x+1),g'(x)=2x+2,由 已如可程得9 2ae=4, 即ae=3+bc 解得a=2,b=-1,c=2, e ∴.切线的斜率g(1)=4, .切线1的方程为y一2=4(x-1),即4x-y-2=0. (2)由(1)可得f(x)=2xex-1,g(x)=x2+2x-1, 设h(x)=k[ef(x)]-g(x)=2kxe”-(.x2+2.x-1), 即h(x)≥0，对任意x∈[一1，十∞)恒成立，从而 h(x)min≥0， .∴.h'(x)=2k(x+1)ex-2(x+1)=2(x+1)(kex-1), ①当k≤0时，h'(x)≤0，h(x)在[-1，+∞)上单调 递减，又h(1)=2ke-2<0,显然h(x)≥0不恒成立， ②当k>0时，h'(x)=0,解得x1=-1,x2=-lnk, (i)当-lnk<-1时，即k>e时，h'(x)≥0，h(x)单 调递增， 又h(.x)mn=h(-1)=-2k+2=2(e-2<0, e e 显然h(x)≥0不恒成立， (i)当-lnk=-1时，即k=e时，h'(x)>0,h(x)单 调递增， ∴h(x)mm=h(-1)=-2张+2=2e2=0,即 e e h(x)≥0恒成立， (m)当-lnk>-1时，即0<k<e时， 当x∈[-1，-lnk)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，当 x∈(-lnk,十o∞)时，h'(x)>0,h(x)单调递增， ..h(x min=h(-In k)=-2In k-(In2k-2In k-1) =1-1n2k≥0，解得≤k≤e, .1≤k<e e 综上所迷得】≤k≤e. 高二下学期期未综合冲刺卷·数学（十） 1.D[若数列{am}的最大项为第n项，则anar-1, (an≥0n+1: an=8+2n-7. 2m≥8+201-10"7 8+2m-7 2n-1 2” 8+228+2-7 2n+1 11 解得 2' 号 nEN”m=5:=2为教列a的装大项，当n