期末综合冲刺卷·数学(三)-【步步维赢】2025-2026学年高二下学期数学期末综合冲刺卷（人教B版）

高二下学期期末综合冲刺卷·数学（三） (满分：150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an一1，则{an}的通项公式a,= A.2n-1 B.2"-1 C.2”-1 D.2n+1 2.为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛，某同学给自己制订了7天的训练计划：第1天 如 跑5000m,以后每天比前1天多跑200m,则这个同学7天一共将跑 ( A.39200m B.39300m C.39400m D.39500m 3.若等比数列{a,的各项均为正数，且前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为 肥 A.2 C.1 D.2 4.函数f(x)的定义域为R,f(一1)=2，对任意x∈R,f(x)>2,则f(x)>2x十4的解集为 剂 A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞，-1) D.(-∞，十∞) 5.函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则 ( A为的极大值点 B.一2为f(x)的极大值点 翻 C.2为f(x)的极大值点 D.号为(x)的极小值点 6.设函数f(x)=x3十ax,若曲线y=f(x)在点P(.x,f(x)处的切线方程为x十y=0,则 点P的坐标为 蕾 A.(0,0) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(1,-1)或(-1,1) 3-1 7.已知函数f(x)=2sinx一a.x十1的图象在(0,1)处的切线方程为y=x十1，则a=() A.0 B.1 C.-1 D.-2 8.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2一2n十2，则数列{an}的通项公式为 A.a=2n-3 B.an=2n十3 1,n=1, 1,n=1, C.a D.a, 2n-3,n≥2 2n+3,n≥2 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.E两个等差数列Q,和b,的前n项和分别为S,和T,且子-3训十3则使得 数的正整数n的值为 A.2 B.3 C.4 D.14 10.曲线y=x2-1与y=lnx A.在点(1,0)处相交 B.在点(1,0)处相切 C.存在相互平行的切线 D.有两个交点 11.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减 一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是 A.此人第三天走了四十八里路 B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C.此人第二天走的路程占全程的号 D.此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 12.已知函数f(x)=e一ax有两个零点x1,x2,且x1<x2,则下列说法正确的是( A.a>e B.x1+x2>2 C.x2x2>1 D.f(x)有极小值点xo,且x1十x2<2x0 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,a2=2,a3m=2n一2am,a3m+1=an十1，a3m+2= am一n,则S3o=（用数字作答). 3-2 14.已知函数f(x)=a.x3+x+1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a= 2 15.设P是前线y=x一合-1nx上的一个动点，记此曲线在P点处的切线的倾斜角为0， 则θ的取值范围是 16.已知数列{an}满足a1=1,an一am+1=na,am+1(n∈N*）,则an= 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分)设数列{an}的前n项和为Sm.已知a1=a(a≠3)，am+1=Sm十3”， n∈N". (1)设bn=Sn一3”，求数列{bn}的通项公式； 3-3 (2)若am+1≥an,n∈N°，求a的取值范围. 18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=一x3+3x2+9x十a. (1)求f(x)的单调递减区间； 3-4 (2)若f(x)≥2020对于Hx∈[-2,2]恒成立，求a的取值范围. 19.(本小题满分12分)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=一1，am+1=Sm·Sm+1 1)证明：数列{令是等差数列： 3-5 (2)求{an}的通项公式. 20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=12-x2. (1)求曲线y=f(x)的斜率等于一2的切线方程； 3-6 (2)设曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求 S(t)的最小值. 21.(本小题满分12分)各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且4S,=a十2an十1， n∈N+. (1)求数列{an}的通项公式： 3-7 (2)已知公比为q(q∈N+)的等比数列{bn}满足b1=a1,且存在m∈N+满足bm=am, bm+1=am+3,求数列{bn}的通项公式. 2.(本小题满分12分)已知函数f)=。十。a∈K,试讨论函数f()的零点个数 3-8累乘可得，am=n×(n-1)×(n一2)×…×3×2×1=！ 故an=n!.(n∈N) 3a1=a+h(+） .ox1-0.-In(1+1)-in idde-1-In-1-a-3-In n-2 00串中 2 a2-a1=ln1' a,-a1=ln片十n号++ln兰=lnu 又a1=2,∴.am=lnn+2.(n∈N+) 21.[解](1)设数列{an}的公差为d,{b,}的公比为q 由9。好 b3=b1q2=9, .{b}的通项公式b,=b1g”-1=3”-1, 又a1=b1=1,a14=b4=34-1=27, ∴.1+(14-1)d=27,解得d=2. ∴.{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=1+(n-1)X 2=2n-1(n∈N*). (2)设数列{cn}的前n项和为S· cn=an+bn=2n-1+3"1, ∴.Sn=c1十c2+c3+…+cn =2×1-1+30+2×2-1+31+2×3-1+32+…+ 21-1+3-1=2(1+2+…+0)-m+39×1-32 1-3 =2×n+1Dn-n+3",1 2 2 =2+31 2 即数列{c}的前n项和为n2+3”一1 2 22.[解]（1)当a=1时，f(x)=lnx+7x2-2x fx)=-2+中1.f0)=0,f=- 所以所术切线方框为y=一是 (2)f(x)=2-(a+1)x+a_(x-1D(x-a) x 当a=1时，f(x)在(0，十∞)递增： 当a≤0时，f(x)在(0,1)递减，在(1，十o∞)递增； 当0<a<1时，f(x)在(0，a)递增，在(a,1)递减， 在(1，十∞)递增； 当a>1时，f(x)在(0,1)递增，在(1，a)递减， 在(a,十∞)递增. （3)由f>0得x-lna<72-云 设hy号，于是y=-n在0.1造 减，在(1，十o∞)递增，最小值为1，所以Hx∈(e,十∞)， x-In x>0. 于是只要考虑Hx∈(e,十∞)，a< x-ln x 设g(x)= x-Inx' '(x)=2 (x-1D(x+2-2nx) (z-In z)2 设(x)=x十2-21nx,h'(x）=二2，于是h(x) x+2-2lnx在(e,+o∞)递增，h(x)>h(e)=e>0, 所以g(x)在(e,十o∞)递增，于是a≤g(e)= e2-2e 2(e-1) 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（三） 1.B[当n=1时，S1=2a1-1=a1,∴.a1=1, 当n≥2时，an=Sm-S1-1=2an-2an-1, an=2am-1,因此an=2W-1.故选B.] 2.A[依题意可知，这个同学第1天，第2天，…，跑 的路程依次成首项为5000，公差为200的等差数列， 则这个同学7天一共将跑5000×7+7X6×200= 2 39200(m).故选A.] 3.D[设等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠0)，因 为前1项的和为9，积为头，所以10=9，且 1-9 i0+8=ai0-即aig2=是，则++十 al a2 a3 1a-g1二q).=2.故选D.] 1- 1 4.B[依题意可设g(x)=f(x)-2x-4,所以g'(x)= f(x)一2>0.所以函数y=g(x)在R上单调递增，又 因为g(-1)=f(-1)十2-4=0.所以要使g(x)= f(x)-2x-4>0,即g(x)>g(-1),只需要x>-1. 故选B.] 5.A[对于A选项，当-2<x<2时，f()>0,当 2<<2时，(x)<0,号为f(x)的极大值点A选 1 项正确： 对于B选项，当x<-2时，f()<0,当-2<x<司 时，f(x)>0,一2为f(x)的极小值，点，B选项错误； 对于C选项，当 2<x<2时，f(x)<0,当x>2时， f(x)>0,2为f(x)的极小值点，C选项错误： 对于D选项，由于函数y=f(x)为可导函数，且 f(得)）<0，号不是fx)的板值点D选项错误.故选 A.] 6.D[f(x)=x3+a.x2,∴.f(x)=3x2+2a.x, :曲线在点P(x0,f(x0)处的切线方程为x十y=0, ∴.3x8+2a.xo=-1, 2+8+a=0点2l a=2. 当x0=1时，f(xo)=-1, 当x0=一1时，f(x0)=1,∴.点P的坐标为(1，一1)或 (-1,1).故选D.] 7.B[f'(x)=2cosx-a,因为函数f(x)=2sinx-ax 十1的图象在(0,1)点处的切线方程为y=x十1，所以 f(0)=1,即f'(0)=2-a=1,解得a=1,故选B.] 8.C[当n=1时，a1=S1=1,当n≥2时，an=Sn S-1=2n-3,由于a1的值不适合上式，故选C.] (21-1)(a1十a2m-1)） 9ACD[由题意可得2l 2 T2-1(21-1)(b1+b2m-1) 2 S2m-1=3(2m-1)+39 2n10aa则82T21 (2n-1)6n b (2-1)+3 3m+18=3+15, n+1 n+11 由于公为整数，则十1为15的正约数，则十1的可 能取值有3,5,15， 因此，正整数n的可能取值有2,4,14.故选ACD.] 10.ACD[令f(x)=x2-1,g(x)=lnx,f(1)=g(1) =0,f(1)=2,g'(1)=1,A正确，B错误。 f(x)=2x∈R,g(）=∈(0，+∞)，存在f(1) =g(2),C正确. 令F(x)=f)-g(x),则F'(x)=2x-,故F(x) 在(0，号）)上单调运减，在（停，十∞）上单调运增，而 r(）=-+2n2<0,F()>fe)-e2-2>0, D正确.故选ACD.] 11.ABD[设此人第n天走an里路，则{an}是首项为 1,公比为g=2的等比数列. 所以s,-m1-_1-(}) 1=378. 1-q 解得a1=192. ag=ag2=192X=48,所以A正确， 由a1=192,则S6-a1=378-192=186,又192 186=6,所以B正确. 2=u19=192×2=96,而1s=94.5<96, 所以C不正确. a+a:+a=a11+g+g2)=192×(1+2+) 336,则后3天走的路程为378-336=42而且42×8 =336,所以D正确.故选A、B、D.] 12.ABD[由题意，函数f(x)=e-ax,则f(x)=e 一a,当a≤0时，f'(x)=e心-a>0在R上恒成立，所 以函数f(x)单调递增，不符合题意；当a>0时，令 f(x)=er-a>0,解得x>lna,令f'(x)=er-a< 0,解得x<lna,所以函数f(x)在(-o∞，lna)上单调 递减，在(lna,十o∞)上单调递增，因为函数f(x) e-ax有两个零点x1,x2且x1<x2,则f(lna)= ena-alna=a-alna=a(l-lna)<0,且a>0,所 以1-lna<0,解得a>e,所以A正确；又由x1十 z2=In(a2zix2)=2In a+In(x1x2)>2+In(z1z2), 取a=号，则f(2)=e2-2a=0,x2=2,f(0)=1>0, 所以0<x1<1,所以x1十x2>2,所以B正确；由 f(0)=1>0,则0<x1<1,但x1x2>1不能确定，所 以C不正确；由函数f(x)在（一o∞，lna)上单调递 减，在(lna,十∞)上单调递增，所以函数的极小值点 为x0=lna,且x1十x2<2.xo=2na,所以D正确.故 选A、B、D.」 13.75['a3m=2n-2an,a3n+1=an+1,a3n+2=an-, a1=1,2=2,.a3=2-2a1=2-2=0,a4=a1+1=2, a5=a1-1=0, .a3十a4十a5=2. :a3n=21-2ana3m+1=an十1，a3m+2=am一n, .把上面三个式子相加得a3,十a3m+1十a3m+2=n十1， .a10=u(3×3+1)=a3十1=0+1=1，.a30=a3×10=2× 10-2a10=18. ∴.S30=a1+a2+(a3+a4+a5)+(a6+a7+ag)+…+ (a7+a8+a29)+a30=1+2+(②+10)X9+18=75.] 2 14.1[由题意可得f(x)=3a.x2+1,.f'(1)=3a+1, 又f(1)=a十2，∴.f(x)=a.x3+x+1的图象在点(1， f(1))处的切线方程为y-(a+2)=(3a十1)(x-1), 又此切线过点(2,7)， .7-(a十2)=(3a十1)(2-1)，解得a=1. 15(受] [由y=x一名-l1n,得y=1-x一 (x>0), 1--=1-(+2)1-2V…正=-1， 当且仅当x=1时等号成立. y≤一1，即曲线在P点处的切线的斜率小于或等 于-1， ∴.tan0≤-1，又9∈[0，x), e(受]门 2 6十2n∈N)[由巴知得1-上=” an+1 an 1-1 =n-1, 11=-2,… 11 an an-1 an-1 an-2 a2 al =1…11-nm2D.1-2-+2 an al 2 am=-十2ueN)] 17.[解](1)依题意得Sn+1-S,=am+1=Sm+3”, 即Sw+1=2Sn+3”, 由此得Sn+1-3"+1=2(S4-3"),即b+1=2b, 又b1=S1-3=a-3, 因此，所求通项公式为bn=(a一3)2”-1，n∈N (2)由(1)可知Sn=3”+(a-3)2”-1,n∈N*, 于是，当≥2时，an=Sn-Sm-1=3”+(a-3)2”- -3"-1-(a-3)2”-2=2X3”-1+(a-3)2”-2, a+1-am=4X3”-1+(a-3)2"-2 2[12() “+a-3 所以，当≥2时， g≥4.→12(2） 十a-3≥0→a≥-9， 又a2=a1+3>u1,a≠3. 所以，所求a的取值范围是[一9,3)U(3,十o∞). 18.[解](1)f'(x)=-3.x2+6.x+9. 由f(x)<0,得x<-1或x>3, 所以函数f(x)的单调递减区间为（一∞，一1），(3，十∞). (2)由f'(x)=0,-2≤x≤2，得x=-1. 因为f(-2)=2+a,f2)=22+a,f(-1)=-5+a, 故当一2≤x≤2时，f(x)min=一5十a. 要使f(x)≥2020对于Hx∈[-2,2]恒成立，只需 f(x)mim=-5十a≥2020，解得a≥2025. 19.[解](1)证明：因为an+1=Sw+1一Sn,所以S+1 Sm=Sn·Sn+1 两边同险以S51子 =-1. 周为@-1，所以写-1 因此数列{ }是首项为-1，公差为-1的等差数 列. (2)由)得5 =-1+(n-1)(-1)=-n, 5。=-.当n≥2时a,=S1S。=n- (-1,n=1, 于是an= 1 (n(n-1)n≥2，n∈N* 20.[解](1)f'(x)=-2x, 令f(x)=-2,得一2x=-2,解得x=1, f(1)=12-1=11, 所以切，点为(1,11)， 切线方程为y-11=-2(x-1),即2x十y-13=0. (2)二次函数f(x)=12一x2为偶函数，其图象是开 口向下的抛物线，且关于y轴对称，故只需考虑一侧 的情形即可. 不妨考虑x>0时的情形. 设切点为(t,12-t),t>0,可求得切线方程为 y-(12-t2)=-2t(x-t), 得y=-2tx+t2+12, 所以切线与坐标轴的交点分别为A(0,t2十12)， (22.) s)=210A1·10B1=分.12.(+12)= 2 2t t+24t2+144 公 S(0)=31+242-144_3(+12(2-40 4t2 t,S(t),S(t)的变化情况如下表所示： t (0.2) 2 (2,十o∞) S'(t) 0 S(t) 极小值 故当t=2时，S(t)取得最小值，为S(2)=32. 21.[解](1)当n=1时，4S1=4a=a1+2a1+1,整理 得(1-1)2=0，∴.a1=1. :4Sm=a7+2an十1，.4S+1=a7+1+2am+1+1, 两式相减得4an+1=a7+1一a7+2am+1-2an, 即a+1-an-2an+1-2an=0, 即(an+1十an)(an+1-an-2)=0, 数列{an}各项均为正数，∴Qn+1十am>0, ·.un+1一an=2, ∴.数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列， 故am=1+2(n-1)=2n-1. (2)b=a1=1,.bn=b1g-1=g"-1, 依愿专释”。相除行g=-1十 2m-7N+, 6 2m1=1或2m1=3所以公}或 q=3, 当m=1时，bn=7n-1；:当m=2时，bn=3”-1. 综上所述，bn=7”一1或b,=3”一1。 22.[解]函数f(x)的定义域为{xx≠a. (1)当x>a时，ex>0,x-a>0,.f(x)>0, 即f(x)在(a,十o∞)上无零点. (2)当x<a时，f(x)=e(x-a)+1 T一0 令g(x)=e(x-a)+1,则g'(x)=er(x-a+1). 由g'(x)=0得x=a-1. 当x<a-1时，g'(x)<0; 当x>a-1时，g'(x)>0, ∴g(x)在(-o∞，a-1)上单调递减，在(a-1,十o∞) 上单调递增， ·g(x)min=g(a-1)=1-ea-1. .当a=1时，g(a-1)=0,∴.x=a-1是f(x)的唯 一零点； 当a<1时，g(a-1)=1-e-1>0,∴.fx)没有零点； 当a>1时，g(a-1)=1-e-1<0,.fx)有两个零，点. 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（四） 1.A[由题意可得：3Sm=2an-3n,3Su+1=2an+1 3(n+1), 两式作差可得：3an+1=2aw+1一2an一3，即a+1= 2an-3,a+1+1=-2(an十1)， 结合3S1=2a1-3=3a1可得：a1=-3,a1十1=-2， 则数列{am十1}是首项为一2.公比为一2的等比数列， 据此有：a2018十1=(-2)×(-2)2017=2208， .a2018=22018-1.故选A.] 2.B[设{bn}的公差为d, b10-b3=7d=12-(-2)=14,.d=2. b3=-2,.b1=b3-2d=-2-4=-6. bi+++,=76+ =7×(-6)+21×2=0. 又b+b2+…+b7=(a2-a1)+(a3-a2)+…+ (a8-a7）=a8-a1=a8-3=0. .a8=3.故选B.] 3.B[因为公比q不为1，所以刷去的数不是a1,a4.若 别去a2,则由23=a1十a4得2a1q=a1十a1q,又a1≠0，所 以2g2=1+g,整理得g(g-1)=(q-1)(q十1).又q≠1， g=g十1，又g>0,得g=2P;若刷去aa 2a2=a1十a4得2a1q=a1十a1q,又a1≠0，所以2q=1 十q3,整理得q(q+1)(g-1)=q-1.又q≠1，则可得 qg十1D=1,又g>0,得g=二1+5.综上所远，g 2 1十5.故选B.] 2 4.B[.f(x)=x3+kx2-7.x,∴.f(x)=3x2+2kx-7, 由题意可知，不等式f(x)≤0对于任意的x∈[一1,1]恒 成立， 所以P2处0解择-22 因此，实数k的取值范围是[一2,2].故选B.] 5.D[由于f(x)=3.x2-3=3(x+1)(x-1),故函数在 (一∞，-1)和(1，十o∞)上递增，在(-1,1)上递减， f(一1)=f(2)=2,画出函数图象如图所示，由于函数在 区间（一2，m)上有最大值，根据图象可知m∈（xB,xA], 即m∈(-1,2].故选D.] 23x 6.D[因为f(.x)=(x2+x-1)e,所以f'(x)=(x2+ 3.x)ex,f(1)=e,则f'(1)=4e. 因此，切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e. 故选D.] 7.C[由an+1=a,+2V√an十1+1得an+1+1=(Wa,+I +1)2,所以W√an+1十1-√an十1=1，又a1=0,则√/an十1 =n,an=n2-1,则a13=132-1=168.] 构造函数g(x)三1，则g(x)三 8.C f(x)-fx)十10，函教g(x)在R上单调递增· e2-1 又f(x)-1>ex-1,g(1)=1, .原不等式等价于g(x)>g(1), ∴.原不等式的解集为(1，十∞).故选C.] 9.ABC[因为数列{an}为等比数列，又a1·a4=32,所 以a2·a3=32,又a2十a3=12, a2=4, （a2=8, a2=4, 所以g=8,或ag=4又公比g为整教，则ag=8, 1 g=2, q=2' (q=2, 即4，=2S.-2X02型=21-2. 1-2