期末综合冲刺卷·数学(二)-【步步维赢】2025-2026学年高二下学期数学期末综合冲刺卷（人教B版）

又f(a)=(日-1)lm2-2-1=am=o. aa 故是f(x)=0在(0，x0)上的唯一实根。 综上，f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为 倒数. 19.[解]af0=an2+2a-1Dx+2,/0)=2. e 因此曲线y=f(x)在(0，一1)处的切线方程是 2x-y-1=0. (2)当a≥1时，f(.x)+e≥(x2+x-1+ex+1)ex 令g(x)=x2+x-1+e+1,则g'(x)=2.x+1+ e+1. 当x<-1时，g(x)<0,g(x)单调递减； 当x>-1时，g'(x)>0,g(x)单调递增. 所以g(x)≥g(-1)=0.因此f(x)+e≥0. 20.[解](1)依题意，Su+1一Sn=an+1=Sn十3”， 即S+1=2S+3”,由此得S+1-3+1=2(S,-3"), 又S1一31=a一3(a≠3)，故数列{Sm一3"}是首项为 一3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为 bn=Sn-3”=(a-3)2”-1,n∈N (2)由(1)知S=3”+(a-3)2”-1,n∈N, 于是，当n≥2时，am=Sm-S-1=3”+(a-3)2”-1 -3”-1-(a-3)2”2=2×3"1+(a-3)2”-8 刀一2 a+1-a,=4×31+(a-3)2-[12.(号）+a-3], 当n≥2时，aw+1≥an台12· 十a-3≥0台 a≥一9. 又a2=a1十3>a1. 综上，所求的a的取值范围是[一9,3)U(3,十∞). 21.[解](1)由题意，设等差数列{an}的公差为d,则 an=a1+(n-1)d, 因为a1=1,a3=一5，可得1十2d=一5， 解得d=-3, 所以数列{am}的通项公式为an=1十(n一1)× (-3)=4-3n. (2)由(1)可知a,=4-3,所以S,=1+(4-3)] 2 =-号+， 又由S=-25,可得-2+号A=-25,即362 k一50=0，解得k=5或k=-,又因为k∈N, 所以k=5. 22.[解](1)f(x)=4+x(x>0), 若a≥0，则f'(x)>0,f(.x)在(0，十o∞)上单调递增； 若a<0,令f(x)=0,解得x=士一a, 由f=-a+@0,得>厂a, 由f'(x)<0,得0x<√一a. 从而f(x)的单调递增区间为（√一a,十∞），单调递 减区间为(0，一a). 综上，当a≥0时，f(x)在(0，十o∞)上单调递增， 当a<0时，f(x)在（一√a,十o∞）上单调递增， 在(0，√一a)上单调递减. (2)证明：令(x)=f(x)-g(x), 当a=1时，ox)=nx于2x2-3x3十6x>0), 则g()=是+x-2x2=1+2x (1-x)(2.x2+x+1) 令o'(x)=0,解得x=1. 当0x1时，0(x)>0,o(x)单调说增； 当x>1时，9'(x)<0,p(x)单调递减； ∴.当x=1时，(x)取得最大值9(1)= 2 23 6=0, 1 p(x)≤0，即f(x)≤g(x) 故a=1时f(x)的图象不在g(x)的图象的上方. 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（二） 1.A,[数列{an}的前n项和Sn=n2十21，Sm-1=n2-1, 两式作差得到an=21十1. 1「117 an·am+1(2m+1D(21+3)2L2n+12+3' 梨项求和得到8（+…）品故选A] 2.C[{an}是等差数列，Sm-1=-2,Sm=0, .am=Sm-Sm-1=2. 又Sm+1=3,∴.am+1=Sm+1-Sm=3, ∴.d=am+1-am=1. n(a1+am)_m(a1+2）=0, 又Sm= 2 ∴.a1=-2,∴.am=-2+(m-1)·1=2,∴.m=5.故 选C.] 3.B[设等比数列{an}的公比为q,因为a3,a15是方程x2+ 6r十2=0的根，所以a3·a15=a=2,a3十a15=-6,所 以a3<0,a5<0,则ag=-√2，所以a2a16=a =a9= -√2.故选B. 4.D[由题图可知，当1<x<2时，f'(x)>0, 当2<x<4时，f'(x)<0, 当4<x<5时，f'(x)>0, '.x=2是函数f(x)的极大值，点，x=4是函数f(x) 的极小值，点，故A,B,C正确，D错误.故选D.] 5.A「对于A,函数一f(一x)与函数f(x)的图象关于 原，点对称，因此一x0是一f(一x)的极小值，点：对于B, 极值是一个局部性概念，因此不能确定在整个定义域 上f(x0)是否最大：对于C,函数f(一x)与函数f(x) 的图象关于y轴对称，因此一x0是f(一x)的极大值 点；对于D,函数f(x)与函数一f(x)的图象关于x轴 对称，因此x0是一f(x)的极小值点.故选A.] 6.A[.y=er(x2+a.x+1-2a), y=e(x2+ax+2x+1-a),…y'|x=0=1-a, .曲线y=e(x2+ax十1-2a)在点P(0,1-2a)处的 切线1为y一1十2a=(1-a)x,其过定点（一2，一1）， 易知定点在圆内，∴.切线l与圆C:(x一1)2+y2=16 的位置关系是相交.故选A.」 7.D[由题意知，a1+a2十a3+…十a100=-1+3-5+7 +…+(-1)100(2×100-1)=(-1+3)+(-5+7) +·+(-197十199)=2×50=100.故选D. 8.D[设直线l在曲线y=√x上的切点为(x0,√x0), 则x0>0, 函数y=√反的导数为y=L,则直线1的斜率= 2VT ,1设直线1的方程为y一√o2/ =(x-x0), 2√0 即x-2√x0y+x0=0, 由于直线1与国x2十y2=号相切，则0 √/1+4x0/5 两边平方并整理得5.x8-4.x0一1=0， 解得x0=1,x0=一5（含)， 则直线1的方程为x-2y十1=0，即y=2x十2 故选D. 9.ABD[由{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且 S5<S6,S6=S7>S8, 则a6=S6-S5>0,a7=S,-S6=0,a8=S8-S7<0, a7+a8=S8-Se0, 则数列{an}为递减数列，即选项A,B正确； 由Sg-S5=ag+a8+a7+a6=2(a8+u7)0, 即Sg<S5,即选项C错误； 由a1>a2>…>a6>a7=0>a8>a9>…,可得S6与 S7均为S,的最大值，即选项D正确.故选ABD.门 10.CD作出函数y=x和 y=4x2-3x y=4x3一3.x的图象，如图 所示.对于选项A,若f(x) 有两个极值点，则a=0或 a>2,所以选项A错误； 对于选项B,当a=0时， x=0是函数f(x)的极小值 点，所以选项B错误；对于选 项C,由图易知正确：对于选 项D,使f(x)连续的a有3个取值，即一1,0,1，所以选 项D正确.故选CD.] 2 11.AC[由题意得am=十市十n千十十n十 1+2+3十…十n=2, n+1 2 多4日) 1 2 2 ∴.数列{bn}的前n项和Sn=b1十b2十b3十…十bm =40+++…+》 'nn+1/ =4-)0 故选A、C.] 12.BC 13.130[由am=2m-10(n∈N*)知{an}是以-8为首项，2 为公差的等差数列，又由an=21-100得n≥5，.n≤5 时，an≤0，当n>5时，an>0,∴.a1+a2|+…+ |a15|=-(a1+a2十a3十a4)+(a5十a6+…+a15)= 20+110=130.] 14.x一y十1=0[本题考查导数的几何意义. :y=2+y=2x-3∴y1=1=2-1=1, .所求切线方程为y-2=x-1,即x-y十1=0.] 15.(-4,0)[f'(x)=(x+1)ex,∴.f'(1)=2e,设，点 B(x0,xoe)为曲线C上任意一，点. ,y'=ex十xex=(x十l)er,则曲线C在点B处的切 线方程为y-x0e。=（x0+1)e(x-xo),根据题 意，切线l不经过点A,则关于x0的方程0一xoe。= (0十1)e(a一xo),即x6-ax0一a=0无实根. .△=a2+4a<0,解得-4<a<0. ∴.a的取值范围是(-4,0).] 1() ）(n∈N+)[当n=1时，a=S=3a1十 34=1. 1 1 当n≥2时，an=Sn-Sm-1=3an-3am-1' a”=-2 4n-1 “数列a为首项a1=1,公比q=一2的等比数列， 故a,=(-合)》1∈N刀 1.[解]1)由S.=+a,a∈N) 1 可得a1=2i+241,解得a1=1: 1 S=a1+ag=ai+7a,解得a1=2: 同理，a3=3,a4=4. 12 1 (2)Sm=2a员+zam, ① 12 1 当n≥2时，Sm-1=2a元-1十2aw1, ② ①-②得(an-an-1-1)(an十au-1)=0, 由于an十an-1≠0， 所以an一an-1=1, 又由(1)知a1=1, 故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故 an=n. 18.[解]设速度为每小时千米，燃料费是每小时 p元，那么由题设知p=kv3, 6 因为0=10，p=6,所以k=10=0.006. 于是有p=0.006v3. 又设船的速度为每小时千米，行驶1千米所需的总费 用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.0063十96) 元，而行驶1千米所用时间为】小时，所以行驶1千米 的总费月为g-@05+86)=006n2+5 g=0.012w9- 95=0.012(u2-800)y 令q’=0,解得0=20. 当v<20时，9<0： 当>20时，q>0, 所以当v=20时，g取得最小值. 即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需的费用 总和最少 19.[解]函教f(x)的导函数f(x)=1-1 由f(x1)=f(x2)得 1=1 1 2Vm1x12m22 因为x1丰x2’ 所以十1=1 由基本不等式得21x2=√m+√2≥21x, 因为x1≠x2,所以x1x2>256. 由题意得f(x1)+f(x2)=√1-lnx1+√x2 1 lnx2=2√x1x2-h(c1x2. 设g(x)= 2反-lh,则g)= 7-40, 所以 x (0,16) 16 (16,十o∞) g(x) 0 g(x) 2-4ln2 所以g(x)在[256，十0∞)上单调递增， 故g(x1x2)>g(256)=8-8ln2, 即f(x1)+f(x2)>8-81n2. 20.[解](1).an+1=3am+2, .a+1+1=3(an+1), :+1十1 an+1 =3 ∴.数列{an十1}为等比数列，公比q=3,又a1十1=2， ∴.an十1=2·3"-1，.an=2·3"-1-1.(n∈N+) (2):a+1=(n十1Dan0=十1. an ,01=1-1,.22=3,42=2,a1=1. an-I 4n-2 a2 1 累乘可得，am=n×(n-1)×(n一2)×…×3×2×1=！ 故an=n!.(n∈N) 3a1=a+h(+） .ox1-0.-In(1+1)-in idde-1-In-1-a-3-In n-2 00串中 2 a2-a1=ln1' a,-a1=ln片十n号++ln兰=lnu 又a1=2,∴.am=lnn+2.(n∈N+) 21.[解](1)设数列{an}的公差为d,{b,}的公比为q 由9。好 b3=b1q2=9, .{b}的通项公式b,=b1g”-1=3”-1, 又a1=b1=1,a14=b4=34-1=27, ∴.1+(14-1)d=27,解得d=2. ∴.{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=1+(n-1)X 2=2n-1(n∈N*). (2)设数列{cn}的前n项和为S· cn=an+bn=2n-1+3"1, ∴.Sn=c1十c2+c3+…+cn =2×1-1+30+2×2-1+31+2×3-1+32+…+ 21-1+3-1=2(1+2+…+0)-m+39×1-32 1-3 =2×n+1Dn-n+3",1 2 2 =2+31 2 即数列{c}的前n项和为n2+3”一1 2 22.[解]（1)当a=1时，f(x)=lnx+7x2-2x fx)=-2+中1.f0)=0,f=- 所以所术切线方框为y=一是 (2)f(x)=2-(a+1)x+a_(x-1D(x-a) x 当a=1时，f(x)在(0，十∞)递增： 当a≤0时，f(x)在(0,1)递减，在(1，十o∞)递增； 当0<a<1时，f(x)在(0，a)递增，在(a,1)递减， 在(1，十∞)递增； 当a>1时，f(x)在(0,1)递增，在(1，a)递减， 在(a,十∞)递增. （3)由f>0得x-lna<72-云 设hy号，于是y=-n在0.1造 减，在(1，十o∞)递增，最小值为1，所以Hx∈(e,十∞)， x-In x>0. 于是只要考虑Hx∈(e,十∞)，a< x-ln x 设g(x)= x-Inx' '(x)=2 (x-1D(x+2-2nx) (z-In z)2 设(x)=x十2-21nx,h'(x）=二2，于是h(x) x+2-2lnx在(e,+o∞)递增，h(x)>h(e)=e>0, 所以g(x)在(e,十o∞)递增，于是a≤g(e)= e2-2e 2(e-1) 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（三） 1.B[当n=1时，S1=2a1-1=a1,∴.a1=1, 当n≥2时，an=Sm-S1-1=2an-2an-1, an=2am-1,因此an=2W-1.故选B.] 2.A[依题意可知，这个同学第1天，第2天，…，跑 的路程依次成首项为5000，公差为200的等差数列， 则这个同学7天一共将跑5000×7+7X6×200= 2 39200(m).故选A.] 3.D[设等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠0)，因 为前1项的和为9，积为头，所以10=9，且 1-9 i0+8=ai0-即aig2=是，则++十 al a2 a3 1a-g1二q).=2.故选D.] 1- 1 4.B[依题意可设g(x)=f(x)-2x-4,所以g'(x)= f(x)一2>0.所以函数y=g(x)在R上单调递增，又 因为g(-1)=f(-1)十2-4=0.所以要使g(x)= f(x)-2x-4>0,即g(x)>g(-1),只需要x>-1. 故选B.] 5.A[对于A选项，当-2<x<2时，f()>0,当 2<<2时，(x)<0,号为f(x)的极大值点A选 1 项正确： 对于B选项，当x<-2时，f()<0,当-2<x<司 时，f(x)>0,一2为f(x)的极小值，点，B选项错误； 对于C选项，当 2<x<2时，f(x)<0,当x>2时， f(x)>0,2为f(x)的极小值点，C选项错误： 对于D选项，由于函数y=f(x)为可导函数，且 f(得)）<0，号不是fx)的板值点D选项错误.故选 A.] 6.D[f(x)=x3+a.x2,∴.f(x)=3x2+2a.x, :曲线在点P(x0,f(x0)处的切线方程为x十y=0, ∴.3x8+2a.xo=-1, 2+8+a=0点2l a=2. 当x0=1时，f(xo)=-1, 当x0=一1时，f(x0)=1,∴.点P的坐标为(1，一1)或 (-1,1).故选D.] 7.B[f'(x)=2cosx-a,因为函数f(x)=2sinx-ax 十1的图象在(0,1)点处的切线方程为y=x十1，所以 f(0)=1,即f'(0)=2-a=1,解得a=1,故选B.] 8.C[当n=1时，a1=S1=1,当n≥2时，an=Sn S-1=2n-3,由于a1的值不适合上式，故选C.] (21-1)(a1十a2m-1)） 9ACD[由题意可得2l 2 T2-1(21-1)(b1+b2m-1) 2 S2m-1=3(2m-1)+39 2n10aa则82T21 (2n-1)6n b (2-1)+3 3m+18=3+15, n+1 n+11 由于公为整数，则十1为15的正约数，则十1的可 能取值有3,5,15， 因此，正整数n的可能取值有2,4,14.故选ACD.]高二下学期期末综合冲刺卷·数学（二） (满分：150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1 1.已知数列{an}的前n项和Sn=n十2n,则数列 的前6项和为 am·am+1 c Di 如 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=一2，Sn=0,Sm+1=3,m≥2，m∈N*,则m= A.3 B.4 C.5 D.6 中 3.在等比数列{a}中，a,a15是方程x2+6x十2=0的根，则a1的值为 A._ 2+2 B.-√2 C.√2 D.-√2或2 4.函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的 邻 是 ( A.在(1,2)上函数f(x)为增函数 帕 B.在(3,4)上函数f(x)为减函数 翻 C.在(1,3)上函数f(x)有极大值 D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点 5.设函数f(x)的定义域为R,x。(x≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是 ( 童 A.一x。是一f(一x)的极小值点 B.对任意x∈R,f(x)≤f(x,) C.一x。是f(一x)的极小值点 D.x是一f(x)的极大值点 2-1 6.对任意a∈R,曲线y=e(x2+a.x+1-2a)在点P(0,1-2a)处的切线1与圆C:(x-1)2 +y2=16的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.以上均有可能 7.若数列{an}的通项公式是an=（-1)”·(2n-1),则a1十a2十a3十…十a1oo= A.-200 B.-100 C.200 D.100 8.若直线1与曲线y=反和x2+y-号都相切，则1的方程为 () A.y=2x+1 By=2z+号 C.y=2x+1 D=+号 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.设{an}(n∈N“)是等差数列，公差为d,Sn是其前n项的和，且S<S,S6=S,>S8,则下 列结论正确的是 A.d<0 B.a7=0 C.S>S D.S。与S,均为Sn的最大值 C,C≥a, 10.已知函数f(x)= 则 4x3-3.x,x<a, A.若f)有两个极值点，则a=0或号<a< B.若x)有极小值点，则。>司 C.若f(x)有极大值点，则a>一 2 D.使f(x)连续的a有3个取值 1.已知数列a:，+号++…+品++…+品…若6=。设 a·am+1 数列{b,}的前n项和S.,则 Aa,=号 B.an=n C.5. D.S. 12.下列函数在x=0处取得极小值的是 ( A.y=x3 B.y=x2+1 C.y=x D.y=2 2-2 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.设数列{an}的通项公式为an=2n-10(n∈N“),则|a1十a2|+…十a15= 1.曲线y=+在点(1,2)处的切线方程为 15.已知f(x)=xe,则f(1)=2e.若过点A(a,0)的任意一条直线都不与该曲线C相切， 则a的取值范围是 16.卫知数列{a,的前n项和S.=a十号则{a,》的通项公式a,- 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)已知S为正项数列a的前n项和，且满足S=d+a,n∈N). (1)求a1,a2,a3,a4的值； 2-3 (2)求数列{a,}的通项公式 18.(本小题满分12分)一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为 每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮 船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？ 2-4 19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=√J-lnx. 若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x,)十f(x2)>8-8ln2. 20.(本小题满分12分)根据下列条件，确定数列{an}的通项公式. (1)a1=1,an+1=3an十2； 2-5 (2)a1=1,an+1=(n+1)am; (3)a1=2,a+1=a,十ln1+2): 2-6 21.(本小题满分12分)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3,b3=9,a1=b1, a14=b4. (1)求{am}的通项公式； (2)设cn=an十bn,求数列{cn}的前n项和. 2-7 2.(本小题满分12分)已知函数f(x)=alnx十r-(1十a)r,a∈R (1)当a=1时，求函数y=f(x)的图象在x=1处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性； (3)若对任意的x∈(e,十∞)都有f(x)>0成立，求a的取值范围. 2-8