期末综合冲刺卷·数学(一)-【步步维赢】2025-2026学年高二下学期数学期末综合冲刺卷

高二下学期期末综合冲刺卷·数学（一） (满分：150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 如 1.若S为数列{a,的前u项和，且S则 A.6 B. D.30 删 2.已知等差数列{am}的前n项为Sn,b,n=2且b1十b3=17,b2十b=68,则S1o= A.90 B.100 C.110 D.120 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=一1，S4=一5，则S,= A.-9 B.-21 C.-25 D.-63 4.函数y=血‘的最大值为 x 邻 A.e1 B.e C.e2 D.10 5.某箱子的体积与底面边长c的关系为V()=(0,0<<60),则当箱子的体积鼓 大时，箱子底面边长为 ( A.30 B.40 C.50 D.60 阳 6.已知离散型随机变量X一B(,p)且E(x)=4,D(x)=g,则+的最小值为 () 阳 力q A.2 B.9 c D.4 7.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒 中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X),则P(X=4)的值为() 童 1 B. 27 A.220 C.220 D 1 25 1-1 8.下面是2×2列联表： Y X 合计 yi y2 x1 33 21 54 Z2 a 13 46 合计 b 34 则表中a,b处的值应为 ) A.33,66 B.25,50 C.32,67 D.43,56 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,下列数列中一定是等比数列的有 ( ) A.{a} B.(aan+ C.(g a D.S,Sn-S,SanSzm 10.若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是 ( A.y=cosx B.y=In x C.y=e D.y=x2 1山.设0∈[百，】，随机变量的分布列如表所示，则E(g ( 1 2 3 P 1 2sin20 1-2 2c0s0 A.有最大值号 B有最大值号 C有最小值子 D.无最小值 1-2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和.若对任意的n∈N,Sn∈{2,3}， 则的最大值为 13.甲、乙、丙、丁、戊共5人排成一排照相合影，如果甲、乙必须在丙的同侧，则不同的排法 有 种 14.已知函数y=2+3,当x由2变到1.5时，函数的增量△y= 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分)设数列{an}的前n项和为Sn,满足(1一qSn十qan=1,且q(q一1)≠0. (1)求数列{a,}的通项公式； 1-3 (2)若S3,S。,S成等差数列，求证：a2,as,a成等差数列. 16.（本小题满分15分)已知函数f(x)=(x一1)lx一x一1.证明： (1)f(x)存在唯一的极值点； 1-4 (2)f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 17.(本小题满分15分)有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果 100个，其质量（均为111kg)频数分布表如下（单位：kg): 分组 [1,3) [3,5) [5,7) [7,9) [9,11) 频数 10 30 40 15 5 以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率. (1)由种植经验认为，种植园内的水果质量X近似服从正态分布N(,σ2)，其中近似 为样本平均数元，62≈4，请估计该种植园内质量在(5.5,9.5)内的百分比. 1-5 (2)现在从质量为[1,3)，[3,5)，[5,7)的三组水果中，用分层抽样方法抽取8个水果，再 从这8个水果中随机抽取2个.若质量为[1,3)，[3,5)，[5,7)的水果每销售一个所获得 的利润分别为2元、4元、6元，记随机抽取的2个水果总利润为Y元，求Y的分布列和 数学期望 附：若服从正态分布N(,6),则P(μ-o<<十σ)=0.6827，P(4一2o<4+2o)=0.9545. 1-6 18.(本小题满分17分)在等差数列{an}中，已知a1=1,a3=一5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前k项和S.=一25，求k的值. 1-7 19.(本小题满分17分)尼知函数f)=anx十2. (1)求f(x)的单调区间； (2②)两数g)=号-名>0，求证：当a=1时：代)的图象不在8)的图象的 上方. 1-8参考答豸 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（一） 1,D[当n≥2时，am=Sn-Sm-1=n十-n n n-l D=5X6+1D=30.故选D] 1 a5 2.A[设(a）公差为d,+0=0十2 b2十b4=2“2+2“= 2,+1+24+d 241+2g =20=8=4∴d=2.+6g=24+ 17 243=2%1+24,+2d=17,2%1=1,a1=0,.S10=10a1十 10×9d=10X9×2=90.故选A.] 2 2 3.B[由等比数列性质得S2,S4一S2,S6-S4成等比数 列，即-1×(S6+5)=(-5+1)2,.S6=-21.故 选B.] 4.A[令y=1-h2=0>7=e.当>e时，y<0:当 x2 0<x<e时，y'>0,所以ymx=e1,因为在定义域内 只有一个极值，所以ymnx=e1.故选A.] 5.B[V')=-号，2+60r=-号-40，因为0< 2 x<60,所以当0<x<40时，V'(x)>0,此时V(x)单 调递增：当40<x<60时，V(x)<0,此时V(x)单调 递减，所以V(40)是V(x)的极大值，即当箱子的体积 最大时，箱子底面边长为40.故选B.] E(x)=np=4 6.C[由X~B(n,p),则 D(x)=np(1-p)=q 41-p)=g台4p+g=4台p+9=1, 从1=+=(+p+. p q p q 1=++ 而依题意：p>09>0,则1=号+（品十号）≥号十 2√品号-月+2×名号当且仅净易号g 2p时取“=”号. 即。+的最小值为是] 7.C[由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故 P(X=4)= 架器长越《 8.A[由2×2列联表知a十13=46，所以a=33,又b= a十33，所以b=33+33=66.故选A.] 9.AB[由数列{an为等比数列可知，a”=q(g≠0). 'a-1 与详解 对于A,2 =9,故A正确；对于B,m-0m1 4n-1 an-lan an-1 q≠0，故B正确：对于C,lgam-lga4-1=lga” an-1 为等差数列，但是吸”不一定为常数， lgan}不一定为等比数列，故C错误；对于D,若an= (-一1)”为等比数列，公比为一1，则Sm有可能为0，不 一定成等比数列，故D错误.故选AB.] 10.AD[由题意y=f(x)具有T性质，则存在x1,x2, 使得f(x1)f(x2)=一1.对于选项A,因为f(x) 一n,存在=受m=-受使得ffg）=-1: 对于选项B,因为f(x)=二>0，不存在x1x2,使得 f(x1)f(x2)=-1;对于选项C,因为f(x)=e>0, 不存在x1,x2,使得f(x1)f(x2)=-1;对于选 项D,因为广()=2x,存在x1=1,x=-子，使得 f(x1)f(x2)=4.x1x2=-1.故选AD.] 1.AC[区)=号sin9+2X号+3X2csg-2+cosa :9e[音晋]s9e[3g] os9e[7], .E()= 3 +cos20 [] 故E()有最大值是，有最小位子.故选AC.] 12.4[依题意得，a1=S1∈{2,3}，Sn∈{2,3}且Sm+1∈ {2,3},因此am+1=Sm+1-Sn∈{-1,0,1}(n∈N*), 即数列{an}从第2项起的不同取值不超过3个，进而 可知数列{an}中的项的所有不同取值的个数k≤4， 且事实上，取数列{am}为2,1,0，-1,1,0、一1,1,0， 一1，…，此时相应的=4，Sn∈{2,3}.因此，k的最 大值是4.] 13.80[由题意可知当丙排在最中间时有C2A号A号=8（种） 当丙在左侧排一个或三个人时有C2AA?=24(种) 当丙排在两端时有C2A1=48(种)，故共有8十24十 48=80(种).] 1.号[Ay=f1.5)-f2)=(+3）-(号+3) 号-1=3] 15.(1)[解]当n=1时，由(1-q)S1十qa1=1,得a1=1. 当n≥2时，由(1-q)Sn+qn=1,得(1-q)Sw-1十 9an-1=1. 两式相减，得an=qn-1.又因为q(q一1)≠0，所以 q≠0且q≠1， 所以{an}是以1为首项，g为公比的等比数列， 故数列{an}的通项公式，=g”1. 1-ang (2)[证明]由()可知S=1-q ,1-a39+1-a69 又由题意得S3+S6=2Sg,即1-g 1-9 2(1-a9q) 1-q 化简得ag十a6=2ag,两边同时除以g,得a2十a5=2a8. 故a2,a8,a5成等差数列. 16.[解](1)由题意知f(x)的定义域为(0，十∞). fx)-+lnx-1=hx- 因为y=lnx在(0，十∞)内单调逅增，y=在 (0,十∞)内单调递减，所以f(x)单调递增. 又0=-1<0.f2)=n2-}-h>0. 2 故存在唯一的x0∈(1,2)，使得f(x0)=0. 又当x<x0时，f(x)<0,f(x)单调递减， 当x>x0时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 因此，f(x)存在唯一的极值点. (2)由(1)知fx0)<f1)=-2,又fe2)=e2-3>0,所 以f(x)=0在(x0,十∞)内存在唯一实根x=a. 由a>w>1得日<1<w 又（日）-（日1}日-1-@-0， 故三是f(x)=0在(0,0)上的唯一实根， 综上，f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为 倒数. 17.[解]17=品(2X10+4X30+6×40+8X15+ 10×5)=5.5, 由正态分布知， P(5.5<X<9.5)=P(<g<+2o)=2P(g-2a< 5k+2o)=7×0.9545=0.47725. 该种植园内水果质量在(5.5,9.5)内的百分比为 47.725%. (2)由题意知，从质量在[1,3)，[3,5)，[5,7)的三组水 果中抽取的个数分别为1,3,4， Y的取值为6,8,10,12. 则P(Y=6)= CC 3 C28 P(Y=8)= CCC 7 1 C8284 P(Y=10)= CC4_3 C7: P(Y=12)= C263 C82814 Y的分布列为： Y 6 8 10 12 P 3 1 3 28 BY)=6×0+8×+10×号+12×是-9.5 18.[解](1)由题意，设等差数列{an}的公差为d,则 an=a1+(n-1)d, 因为a1=1,a3=-5,可得1+2d=-5, 解得d=-3, 所以数列{an}的通项公式为an=1+(n一1)× (-3)=4-3n. (2)由(1)可知am=4-3,所以Sn=[1+(4-3m)] 2 =-2+2, 又由S=-25,可得-名2+号=-25，即36： 5谈-50=0，解得k=5或6=-号又因为kCN,所 以k=5. 19.[解](1)f(x)=4+x(x>0), x 若a≥0，则f(x)>0,f(x)在(0，十∞)上单调递增； 若a<0,令f'(x)=0,解得x=士√一a, 由f(x)=u-a(+@>0, x 得x>√-a, 由f(x)<0,得0<x<√-a. 从而f(x)的单调递增区间为（√一a,十o∞），单调递 减区间为(0，J一a). 综上，当a≥0时，f(x)在(0，十o∞)上单调递增， 当a<0时，f(x)在（一√a,十oo)上单调递增， 在(0，√一a)上单调递减. (2)证明：令p(x)=f（x)-g(x), 2x22 当a=1时，9(x)=lnx十1x +x>0 则g（)=}十x-2r2=1+2x (1-x)(2.x2+x+1) 令9'(x)=0,解得x=1. 当0<x<1时，9(x)>0,9(x)单调递增； 当x>1时，p'(x)<0,p(x)单调递减； 查=1时9红)取释大位g=名号十 10 6 p(x)≤0，即f(x)≤g(x. 故a=1时f(x)的图象不在g(x)的图象的上方