选择性必修第二册 期末检测-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

**基本信息** 以数列与导数为核心，通过构造法、累加法、放缩法等系统方法，整合知识逻辑，培养数学思维与创新意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列|8题|构造等比数列、累加法、裂项相消|递推关系→通项公式→求和证明| |导数与函数|10题|导数几何意义、分离参数、单调性分析|导数定义→函数性质→实际应用| |数学归纳法|2题|步骤对比、项数分析|归纳假设→递推证明→结论推广| |新定义应用|1题|定义转化、逻辑推理|概念理解→性质应用→创新论证|

选择性必修第二册 期末检测 一、单选题 1．已知数列与均为等差数列，且，则（    ） A．14 B．7 C．10 D．5 2．已知数列的前项和为，满足，则（    ） A．108 B．109 C．110 D．111 3．用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 4．若水池的排水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（     ） A．4秒时水池的排水量 B．4秒内水池的排水总量 C．4秒时水池排水量的瞬时变化率 D．4秒内水池排水量的平均变化率 5．设为可导函数，，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 6．已知函数满足，则在的导数为（    ） A． B． C． D． 7．设为定义在 上的奇函数，下列两个结论说法正确的是（     ） ① 若可导，则必为偶函数； ② 若的最小正周期为 ，则在区间 上必存在零点. A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 8．已知函数，，则图象如图的函数可能是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，，则（     ） A． B． C． D． 10．设数列的前n项和为，满足.则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．是等比数列 D．若数列，则数列的前n项和 11．已知，则下列描述正确的是（     ） A． B．的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为 C．被8除所得的余数是1 D． 三、填空题 12．已知为数列的前n项和，且，则数列的前20项和为________． 13．已知，用数学归纳法证明时，比多了___________项． 14．已知函数，，若对任意的，恒成立，则实数a的最小值为______． 四、解答题 15．在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 16．已知正项数列满足 (1)若是等比数列，求的通项公式； (2)若，求数列的前2n项的和. 17．已知函数对任意的，，都有成立，且. (1)求，. (2)若令，求证：数列是等差数列. (3)求证：当时，. 18．定义：设函数在定义域上可导，若曲线上存在三个不同的点，，，使得直线与曲线在点处的切线平行或重合，且成等比数列，则称为“等比函数”． (1)试判断是否为“等比函数”并说明理由． (2)求证：任意二次函数都不是“等比函数”． (3)若，幂函数是“等比函数”，求：的取值范围． 19．已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线的斜率； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C D B C D ABD BCD 题号 11 答案 ABC 1．B 【详解】因为，所以，即， 又数列与均为等差数列，所以，解得. 故选：B. 2．B 【分析】通过构造等比数列求出的通项公式，再由分组求和即可求得. 【详解】由题意得，两边同时加得，又， 则，即是以为公比，为首项的等比数列， 即，则， 则. 3．D 【分析】求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【详解】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： . 故选：D． 4．C 【分析】根据导数的实际意义即可得解. 【详解】由导数的实际意义可知，的实际意义是4秒时水池排水量的瞬时变化率. 5．D 【详解】由导数的概念，得， 又，即 所以. 6．B 【分析】先求导，再求即可. 【详解】因为，所以， 所以， 即， 解得． 7．C 【分析】利用导数的运算法则和函数奇偶性的判定方法，可判定①正确；构造 ，求得是奇函数，得到，可得判定②正确. 【详解】对于①，由函数为奇函数，可得， 根据复合函数求导的法则，可得，即， 所以函数为偶函数，所以①正确； 对于②，函数的最小正周期为，且函数为奇函数， 可得，，且，所以， 构造函数 ， 因为， 且，所以函数也是奇函数， 则，且，即是函数在内的零点，所以②正确. 8．D 【分析】选项AB，利用奇偶函数的定义得解；选项C，利用奇偶函数的定义得到是奇函数，利用导数法得到在上单调递增，从而得解；根据排除法可判断ABC不符题意. 【详解】选项A：设，定义域为， ， 且，则是非奇非偶函数， 与图像关于原点对称不符，选项A错误. 选项B：设， 奇偶性：， 且，则是非奇非偶函数， 与图像关于原点对称不符，选项B错误. 选项C：设， ， 则是奇函数，符合对称性. ， 在上恒成立，函数在上单调递增， 与图像先增后减不符，选项C错误. 因此排除ABC，只有D符合题意. 9．ABD 【分析】分析可知，，即可判断AB；根据周期性计算分析判断CD. 【详解】对于选项A：由题可知，对任意的，， 则对任意的，， 则，所以，故A正确； 对于选项B：因为，，即， 由选项A可知：，所以，故B正确； 对于选项C：因为， 所以，故C错误； 对于选项D：因为，所以，故D正确. 10．BCD 【分析】根据与的关系及等比数列的定义求数列的通项公式，进而判断A、B、C，应用裂项相消法求即可判断D. 【详解】当时，， 当时，，两式相减得：， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，是首项为8，公比为2的等比数列，故C正确； 对于D，， ，故D正确. 11．ABC 【详解】令，得，再令，得， ，A选项正确. 根据二项式系数和的性质，对于二项式，所有二项式系数和为， 且奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，都为， 的展开式中，对于所有含的偶数次项的二项式系数和， 即为展开式中奇数项的二项式系数和，为，B选项正确. 而. 可得除了最后一项外，其余各项均能被8整除，故被8除所得的余数是，C选项正确. 对两边分别求导， 可得. 令，得，D选项错误. 12． 【分析】先求出数列的通项公式，再利用裂项相消求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 所以， 满足， 所以， 设为数列的前项和， 所以 ， 所以. 13． 【详解】， ， ， 则比多了项． 14． 【分析】由题可得在上恒成立，然后通过研究，单调性可得答案. 【详解】∵对任意的，恒成立， 即，在上恒成立， 即在上恒成立， 即，. 设函数，，则在R上为增函数， 则在上恒成立， 则. 令，， 则在上递增，在递减， 则. 15．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的定义，求出，再利用累加法求通项即可； （2）对进行放缩，再利用裂项相消法求和，即可完成证明． 【详解】（1）由数列是公差为2的等差数列，且，， 则， 所以 ， 又满足上式，所以． （2）由（1）得，， 当时，， 当时，． 综上，． 16．(1) (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，，得， 因为，则，，两式相乘得，， 则，因，则得，，， 故. （2）因为，，则， 且，两式相除，得，即， 所以数列的奇数项和偶数项均是以4为公比的等比数列， 奇数项：首项为，公比为，则其前项奇数项的和为， 偶数项：首项为，公比为，则其前项偶数项的和为， 故数列的前2n项的和为. 17．(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）通过对抽象函数赋值，令和，代入已知关系式，直接求得和的值； （2）根据递推关系构造数列，通过计算相邻两项的差为常数，证明其为等差数列； （3）先求出的通项公式，再利用数学归纳法和放缩法，将放缩为等比数列的项，最后求和证明不等式. 【详解】（1）已知对任意，恒成立. 令，得，移项得； 令，得，已知，代入得，解得. （2）已知，对，将代入原函数式得， 即（），两边同除以得，即. 首项，因此是首项为、公差为的等差数列，得证. （3）由（2）可得：，即，从而. 首先用数学归纳法证明当时，： 时，，成立； 假设时，则时，，成立. 因此对，，两边乘，得. 对求和式放缩：， 右边是首项为1、公比为的等比数列前项和，计算得： ， 因此，得证. 18．(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取，计算即可判断； （2）设二次函数，由题意可得，结合已知可得，从而可得结论； （3）由和时，由定义域可知不符合题意，从而且，由，可得符合题意，进而可得均不符合题意. 【详解】（1）取，则， 由，得，所以， 又成等比数列，所以是“等比函数”. （2）设二次函数，求导得， 由直线与曲线在点处的切线平行或重合， 所以，所以， 所以，所以，所以， 又因为成等比数列，所以，所以， 所以，所以，与矛盾， 故任意二次函数都不是“等比函数”． （3）若，可得的定义域不为或在处不可导，所以. 当且时，函数在处无意义，所以的定义域不为， 所以且，结合已知可得 当时，可得，所以，所以， 又，满足，符合题意； 当时，由（2）可知幂函数不是“等比函数”，故不符合题意； 当时，由，得， 因为成等比数列，所以， 所以，所以， 所以， 又， 当且仅当，即时取等号，又，故等号不成立， 所以方程在时无解. 综上所述：. 19．(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减，其中，，. (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义及初等函数的导数求解即可. （2）根据导数与单调性的关系，结合含参数一元二次不等式的求解方法求解即可. （3）通过分离参数，结合导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】（1）当时，. 求导得，. 所以曲线在点处的切线的斜率为. （2）的定义域为. 求导得. 令，则，即. 令，因为，则. 当，即时，恒成立，故， 所以在上单调递增. 当，即时，的两根为，，且. 因为，，所以，. 所以当或时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减，其中，，. （3）不等式对任意恒成立等价于对任意恒成立. 令，则. 则. 令，则. 因为，所以，则在上单调递增， 即在上单调递增. 又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，为，所以. 所以实数的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $